теоремы о среднем

Теорема 1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b].$ Причем функция $g$ не меняет знак на $[a,b].$ Пусть $m=\displaystyle\inf_{x \in [a,b]}f(x), M = \displaystyle\sup _{x \in [a,b]}f(x).$ Тогда найдется такое число $\mu \in [m, M]$ , что

$\int^b_a f(x)g(x)dx= \mu \int^b_a g(x)dx.$

Геометрический смысл первой теоремы о среднем

Можем считать, что $a < b,$ т. к. если поменять местами $a$ и $b,$ то знаки обеих частей равенства поменяются на противоположные. Пусть $g(x) \ge 0.$ Неравенство $m \le f(x) \le M$ умножим на $g(x)$ и проинтегрируем от $a$ до $b.$ В силу монотонности и линейности интеграла получим

$m \int^b_a g(x)dx \le \int^b_a f(x)g(x)dx \le M \int^b_a g(x)dx.$ Если

$\int^b_a g(x)dx=0,$ то из этого неравенства видно, что утверждение теоремы справедливо при любом

$\mu.$ Если же

$\int^b_a g(x)dx>0,$ то положим

$\mu = \frac{\int^b_a f(x)g(x)dx}{\int^b_a g(x)dx}.$ Тогда из полученного выше неравенства следует, что

$m \le \mu \le M,$ и теорема доказана.

Случай $g(x) \le 0$ рассматривается аналогично.

Следствие. Если в условиях теоремы 1 функция $f$ непрерывна на $[a,b],$ то найдется такая точка $\xi \in [a,b],$ что

$\int^b_a f(x)g(x)dx = f( \xi )\int^b_a g(x)dx.$ Действительно, в этом случае, по теореме Больцано — Коши о промежуточном значении, число

$\mu$ является значением функции

$f$ в некоторой точке

$\xi \in [a,b].$

Лемма. Пусть функция $g$ интегрируема на отрезке $[a,b].$ Тогда функция $G(x)\equiv \int^x_a g(t)dt (a \le x \le b)$ равномерно непрерывна на $[a,b].$

Пусть $x^{\prime}, x^{\prime\prime} \in [a,b], x^{\prime} < x^{\prime\prime}.$ Тогда

$G(x^{\prime\prime}) — G(x^{\prime}) = \int^{x^{\prime\prime}}_a g(t)dt — \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt =$

$= \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt + \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} g(t)dt — \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt = \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} g(t)dt.$ Поскольку

$g$ интегрируема, то она ограничена, т. е. существует такое

$M$ , что

$|g(t)| \le M$ для всех

$t \in [a,b]$ . Поэтому получаем

$|G(x^{\prime\prime}) — G(x^{\prime})| \le \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} |g(t)|dt \le M(x^{\prime\prime} — x^{\prime}).$ Отсюда следует, что функция

$G$ равномерно непрерывна на

$[a,b].$

Теорема 2 (вторая теорeма о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b],$ причем функция $f$ монотонна на $[a,b].$ Тогда существует точка $\xi \in [a,b],$ такая, что

$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\xi}_a g(x)dx + f(b) \int^b_{\xi} g(x)dx. \qquad \qquad (7.3)$

Геометрический смысл второй теоремы о среднем

Сначала предположим, что $f$ убывает на $[a,b]$ и неотрицательна. Возьмем произвольное разбиение $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ отрезка $[a,b].$ Тогда, по свойству аддитивности интеграла,

$I \equiv \int^b_a f(x)g(x)dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int ^{x_{i+1}}_{x_i} f(x)g(x)dx =$

$= \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \int ^{x_{i+1}}_{x_i} g(x)dx +$

$+ \sum_{i=0}^{n-1} \int^{x_{i+1}}_{x_i} [f(x) — f(x_i)]g(x)dx \equiv I’ + \rho.$ Для оценки суммы

$\rho$ воспользуемся тем, что интегрируемая функция

$g$ ограничена, т.е. существует такое

$M,$ что

$|g(x)| \le M, x \in [a,b].$ Тогда получим

$| \rho | \le \sum^{n-1}_{i=0} \int^{x_i+1}_{x_i} |f(x) — f(x_i)||g(x)|dx \le M \sum^{n-1}_{i=0} \omega_i \Delta x_i,$ где

$\omega_i$ — колебания функции

$f$ на

$[x_i,x_{i+1}]$ . Правая часть стремится к нулю при стремлении к нулю диаметра разбиения в силу критерия интегрируемости Римана. Следовательно, сумма

$I^{\prime}$ стремится к интегралу

$I$ . Оценим

$I^{\prime}$ . Для этого обозначим

$G(x) = \int^x_a g(t)dt.$ Получим

$I^{\prime} = \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i)[G(x_{i+1}) — G(x_i)] = \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i)G(x_{i+1}) -$

$- \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i)G(x_i) = \sum^{n}_{i=1} f(x_{i-1})G(x_i) — \sum^{n-1}_{i=1} f(x_i)G(x_i) =$

$=f(x_{n-1})G(x_n) + \sum^{n-1}_{i=1} [f(x_{i-1}) — f(x_i)]G(x_i).$ Мы воспользовались равенством

$G(x_0) = G(a) = 0.$

Обозначим через $L$ и $U$ соответственно нижнюю и верхнюю грани функции $G$ на $[a,b].$ Поскольку, в силу леммы, функция $G$ непрерывна на $[a,b],$ то они существуют в силу первой теоремы Вейерштрасса. Учитывая также, что функция $f,$ по предположению, неотрицательна и монотонно убывающая, т.е. $f(x_{i-1} — f(x_i) \ge 0,$ получаем следующее неравенство:

$L \left[ f(x_{n-1}) + \sum^{n-1}_{i=1} [f(x_{i-1}) — f(x_i)] \right] \le$

$\le I’ \le U \left[ f(x_{n-1}) + \sum^{n-1}_{i=1} [f(x_{i-1}) — f(x_i)] \right].$ При этом мы использовали неравенство

$L \le G(x_i) \le U.$ Поскольку, как легко видеть, сумма в квадратных скобках равна

$f(x_0) = f(a),$ то полученное неравенство принимает вид

$Lf(a) \le I^{\prime} \le Uf(a).$ Но поскольку

$I^{\prime} \to I$ при

$d(\Pi) \to 0,$ то отсюда получаем

$Lf(a) \le I \le Uf(a).$ Разделив это неравенство на

$f(a) > 0,$ получим

$L \le \frac{I}{f(a)} \le U.$ Но поскольку функция

$G$ непрерывна на

$[a,b]$ в силу леммы, то найдется точка

$\xi \in [a,b],$ такая, что

$G(\xi) = \frac{I}{f(a)}.$ Отсюда следует, что

$I = f(a)G(\xi),$ а учитывая определение функции

$G,$ получаем равенство

$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\xi}_a g(x)dx \quad (\xi \in [a,b]). \qquad \qquad (7.4)$

Итак, равенство $(7.4)$ доказано нами в предположении, что функция $f$ убывает и неотрицательна. Рассмотрим теперь случай, когда $f$ убывает на $[a,b].$ Положим $\overline{f}(x) = f(x) -f(b).$ Тогда $\overline{f}$ убывает и неотрицательна. По доказанному, найдется точка $\overline{\xi},$ такая, что

$\int^b_a \overline{f}(x)g(x)dx = \overline{f}(a) \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx \quad (\overline{\xi} \in [a,b]).$ Учитывая, что

$\overline{f}(x) = f(x) — f(b),$ отсюда получаем

$\int^b_a [f(x) — f(b)]g(x)dx = [f(a) — f(b)] \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx,$ или, тоже самое,

$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx + f(b) \int^b_a g(x)dx -$

$-f(b)\int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx = f(a) \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx + f(b) \int^b_{\overline{\xi}} g(x)dx.$ Этим доказано равенство

$(7.3).$

В случае когда функция $f$ возрастает и неотрицательна на $[a,b],$ аналогично тому, как было доказано равенство $(7.4),$ можно показать что существует такая точка $\xi,$ что

$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(b)\int^b_{\xi} g(x)dx. \qquad \qquad \qquad (7.5)$ Далее, из

$(7.5)$ легко можно получить

$(7.3)$ точно так же, как и

$(7.3)$ было получено из

$(7.4).$

Замечание.

Формулы $(7.3) -(7.5)$ называются формулами Бонне. В этих равенствах точки $\xi,$ вообще говоря, разные. В самом деле, мы можем изменить функцию $f$ в точках $a$ и $b,$ сохранив при этом монотонность функции $f$ . При этом левая часть $(7.3)$ не изменится, а изменение множителей $f(a)$ и $f(b)$ перед интегралами справа в $(7.3),$ очевидно, повлечет изменение значения $\xi$ справа в $(7.3).$

Вторую теорему о среднем иногда записывают в следующем виде:

$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a+0) \int^{\xi’}_a g(x)dx + f(b — 0) \int^b_{\xi’} g(x)dx.$ В этом равенстве точка

$\xi’,$ вообще говоря, не совпадает со значением

$\xi$ в равенстве

$(7.3).$

Примеры применения теорем о среднем

1.Найти

$\lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x} dx.$

Оценим

$0 \le \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x}dx \le \int^{1}_{0} x^n dx = \frac{1}{n+1}.$ Отсюда получаем

$\lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x} dx = 0.$

2.Найти

$\lim_{n \to \infty} \int ^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx.$

Зафиксируем $\xi > 0.$ Тогда получим

$\int^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx = \int^{\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2}}_{0} \sin^n xdx + \int^{\frac{\Pi}{2}}_{\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2}} \sin^n xdx \le$

$\le \left( \sin \left(\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) \right)^n \frac{\Pi}{2} + \frac{\xi}{2}.$ Поскольку

$\sin \left( \frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) < 1 ,$ то первое слагаемое справа стермится к нулю при

$n \to \infty .$ Поэтому найдется такое

$N,$ что для всех

$n \ge N$ справедливо неравенство

$\left( \sin \left( \frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) \right)^n \frac{\Pi}{2} < \frac{\xi}{2}.$ Итак, для заданного

$\xi > 0$ мы нашли номер

$N,$ начиная с которого

$\int^{\frac{\Pi}{2}_{0}} \sin^n xdx < \xi .$ Это означает, что

$\lim_{n \to \infty} \int^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx = 0.$

3. Оценить сверху

$I \equiv \int^{1}_{0} \frac{\sin x }{1 + x^2} dx.$

Первый способ. Применяя первую теорему о среднем, получаем

$I = \frac{1}{1 + \xi^2} \int^{1}_{0} \sin x dx = \frac{1}{1 + \xi^2}(-\cos x) |^1_0 =$

$=\frac{1}{1 + \xi^2}(1 — \cos 1) \le 1 -\cos 1.$

Второй способ. В силу первой теоремы о среднем имеем

$I = \sin \eta \int^1_0 \frac{dx}{1 + x^2} = \sin \eta \quad \text{arctg} x |^1_0 = \frac{\Pi}{4} \sin \eta \le \frac{\Pi}{4} \sin 1.$

4. Оценить интеграл

$I \equiv \int^B_A \frac{\sin x}{x}dx, \quad 0 < A < B < +\infty .$

Первый способ. Применим вторую теорему о среднем. Для этого обозначим $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = \sin x.$ Функция $f$ монотонна на $[A,B],$ так что во второй формуле Бонне получаем

$I = \frac{1}{A} \int^{\xi}_{A} \sin xdx = \frac{1}{A} (-\cos x) \bigg|^{\xi}_{A} = \frac{1}{A}(\cos A — \cos \xi ).$ Отсюда следует, что

$|I| \le \frac{2}{A}$ .

Второй способ. Применяя первую теорему о среднем, получим

$I = \sin \xi \int^B_A \frac{dx}{x} = \sin \xi ln \frac{B}{A}.$ Отсюда следует, что

$|I| \le ln \frac{B}{A}$ .

5. Показать, что если $f \in R[a,b],$ где $R$ — класс интегрируемых на отрезке, $m = \displaystyle\inf_{[a,b]} f(x),$ $M = \displaystyle\sup_{[a,b]} f(x),$ то при условии непрерывности $f$ на $[a,b]$ найдется точка $\xi \in [a,b],$ такая что $\int^b_a f(x)dx = f(\xi )(b-a).$

Решение

Воспользуемся первой теоремой о среднем, тогда можем представить

$\int^b_a f(x)dx = \int^b_a f(x)g(x)dx,$ где

$g(x) =1,$ Тогда

$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(\xi)\int^b_a 1dx = f(\xi)(b — a),$

6. Найти среднее значение функции $y = x^2 -5x + 7$ на отрезке $[2,13].$

Решение

Воспользуемся выше упомянутой формулой и подставим в нее известные значения:

$f(\xi) = \frac{\int^{13}_2 (x^2 — 5x + 7)dx}{13 — 2} = \frac{1}{11}\int^{13}_2 (x^2 -5x +7)dx =$ Вычислим интеграл:

$= \frac{1}{11} \left(\frac{x^3}{3} — 5\frac{x^2}{2} + 7x\right) \bigg|^{13}_2 =$ Используем формулу Ньютона — Лейбница и найдем значение полученного выражения:

$= \frac{1}{11}\left( \frac{13^3}{3} — 5\frac{13^2}{2} + 7 \cdot 13 — \left( \frac{2^3}{3} — 5\frac{2^2}{2} + 7\cdot 2 \right) \right) =$ Упростим выражение и вычислим его результат:

$= \frac{1}{11} \left( \frac{2197}{3} -\frac{845}{2} + 91 — \frac{8}{3} + 10 — 14 \right) =$

$= \frac{1}{11} \left( \frac{2189}{3} — \frac{845}{2} + 87 \right) = \frac{1}{11} \cdot \frac{4378 — 2535 +522}{6} = \frac{2365}{66}$ Получили среднее значение функции

$y = x^2 -5x +7$ на отрезке

$[2, 13]$ равным

$\frac{2365}{66}$ .

Смотрите также

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970

Теоремы о среднем

Пройдите этот тест чтобы проверить свои знания по теме «теоремы о среднем».

Задание 1 из 4

1.
Найти среднее значение функции $y=2x+3$ , заданной на отрезке [2,5].
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Выберите правильные формулировки теорем о среднем.
- Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ , причем $f(a)=f(b)$ . Тогда существует точка $\xi \in [a, b]$ такая, что $f'(c)=0$ .
- Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b]$ . Причем функция $g$ не меняет знак на $[a,b]$ . Пусть $m=\displaystyle\inf_{x \in [a,b]}f(x), M = \displaystyle\sup_{x \in [a,b]}f(x)$ . Тогда найдется такое число $\mu \in [m, M]$ , что $\int^a_b f(x)g(x)dx= \mu \int^b_a g(x)dx.$
- Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на [a,b], причем функция $f$ монотонна на $[a,b]$ . Тогда существует точка $\xi \in [a,b]$ , такая, что $\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\xi}_a g(x)dx + f(b) \int^b_{\xi} g(x)dx.$
- Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a, b)$ и сохраняет непрерывность на концах этого интервала, тогда существует такая точка $\xi \in (a, b)$ , что $f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ .
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Составьте верное утверждение.
- Если
- в условиях теоремы 1
- функция $f$ непрерывна на $[a,b]$
- то
- найдется такая точка $\xi \in [a,b]$ ,
- что
- $\int^a_b f(x)g(x)dx = f( \xi )\int^b_a g(x)dx.$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Найти среднее значение функции $f(x)=e^x$ , на отрезке $[0,5]$ .
Правильно

Неправильно

Метка: теоремы о среднем

7.6 Теоремы о среднем

Примеры применения теорем о среднем

Смотрите также

Теоремы о среднем

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Средний результат
Ваш результат