тождественно постоянная функция

Функция f называется
тождественно постоянной на интервале I, если для любых двух точек $x’$ , $x^{\prime\prime}$ справедливо равенство $f(x’)=f(x^{\prime\prime})$

Если функция постоянна на интервале $I$ , то она дифференцируема в каждой точке этого интервала и ее производная равна нулю. Обратно, если в каждой точке некоторого интервала $I$ производная функции $f$ равна нулю, то $f$ постоянна на $I$ . Последнее утверждение нами было получено как следствие из теоремы Лагранжа. Таким образом, функция $f$ постоянна на интервале $I$ тогда и только тогда, когда $f'(x)=0$ для любого $x\in I$ .

Пусть непрерывная на интервале $I$ функция $f$ такова, что $f'(x)=0$ для всех $x\in I$ , за исключением, быть может, конечного числа точек. Докажите что $f$ постоянна на $I$ .

Функция $f$ называется монотонно возрастающей (убывающей) на интервале $I$ , если для любых $x,y\in I$ из условия $x$ < $y$ следует, что $f(x)$ ≤ $f(y)$ . Если из условия $x$ < $y$ следует, что $f(x)$ < $f(y)$ ,то $f$ называется строго возрастающей. Если из $x$ < $y$ следует $f(x)$ ≥ $f(y)$ , то $f$ называется убывающей (невозрастающей), а если из $x$ < $y$ следует $f(x)$ > $f(y)$ , то $f$ называется строго убывающей.

Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $I$ . Для того, чтобы $f$ была возрастающей на $I$ , необходимо и достаточно, чтобы для всех $x\in I$ выполнялось неравенство $f'(x) ≥ 0$ .

Доказательство. Если $f$ возрастает то $\frac{f(x+h)-f(x)}h$ ≥ 0 для любого h > 0 и ,следовательно, $f'(x)$ =lim_h→0+ $\frac{f(x+h)-f(x)}h ≥ 0$ .
Обратно, если $x$ < $y$ , то, по формуле конечных приращений(теореме Лагранжа), $f(y)-f(x)=f'(ξ)(y-x) ≥ 0$ ,где $x$ < ξ < $y$ и $f'(ξ) ≥ 0$ по условию.

Если $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , дифференцируема на интервале $\lbrack a,b\rbrack$ и $f'(x) ≥ 0$ для всех $x\in(a,b)$ , то $f$ монотонно возрастает на $\lbrack a,b\rbrack$ . Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1 и основано на применении теоремы Лагранжа.

Аналогично теореме 1 получаем что справедлива

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале $I$ функция $f$ была убывающей, необходимо и достаточно, чтобы для всех $x\in I$ выполнялось неравенство $f'(x) ≤ 0$ .

Достаточное условие строгой монотонности дает:

Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $I$ и $f'(x) > 0$ для всех $x\in I$ . Тогда $f$ строго возрастает на $I$ .

По теореме Лагранжа, для $x < y$ имеем
$f(y)-f(x)=f'(\xi)(x-y).$

Обратное утверждение неверно. Из строгой монотонности функции $f$ не следует, что $f'(x) > 0$ . Например, функция $f(x)=x^{3}$ строго возрастает на $(-1,1)$ , но $f'(0)=0$ .

Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $I$ и $f'(x) < 0$ для всех $x\in I$ . Тогда $f$ строго убывает на $I$ .

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

Докажем, что функция $f(x)=x-sin(x)$ строго возрастает на $(-\infty,+\infty)$ . Имеем $f'(x)=1-cos(x) ≥ 0$ для всех $x\in(-\infty,+\infty)$ . Отсюда уже следует, что $f$ возрастает на $(-\infty,+\infty)$ . Осталось показать, что $f$ строго возрастает.Пусть $x < y$ . Тогда
$f(y)-f(x)=y-\sin\left(y\right)-x+\sin\left(x\right)=$
$=y-x-2\sin\left(\frac{y-x}2\right)\cos\left(\frac{y+x}2\right)\geq y-x-2\left|\sin\left(\frac{y-x}2\right)\right|$

Так как $\left|\sin\left(t\right)\right|<\left|t\right|$ для всех $t\neq0$ ,то $f(y)-f(x)\geq y-x-2\left|\sin\left(\frac{y-x}2\right)\right|>y-x-2\frac{y-x}2=0$ ,
т.е. $f(y) > f(x)$ .
Аналогично тому, как была доказана теорема 2 , легко показать что справедлива

Пусть функция $f$ непрерывна на $\lbrack a,b\rbrack$ , дифференцируема на $(a,b)$ и $f'(x) > 0$ для всех $x\in(a,b)$ . Тогда $f$ строго возрастает на $\lbrack a,b\rbrack$ .

Из этой теоремы легко получается

Пусть непрерывная на интервале $I$ функция $f$ такова, что $f'(x) > 0$ всюду, за исключением конечного числа точек. Тогда $f$ строго возрастает на $\lbrack a,b\rbrack$ .

Для функции $f(x)=\sin\left(\frac1x\right)-\frac1x$ ( $x > 0$ ) имеем
$f'(x)=\cos\left(\frac1x\right)(-\frac1{x^2})-(-\frac1{x^2})=\frac1{x^2}(1-\cos\left(\frac1x\right))\geq0$

Значит, $f$ возрастает. Покажем, что $f$ строго возрастает. Пусть $x < y$ . Тогда на отрезке $\lbrack x,y\rbrack$ не более, чем в конечном числе точек производная $f’$ обращается в нуль. В силу следствия, $f(x) < f(y)$ .

Некоторые неравенства.

$1.\frac2{\mathrm\pi}x<\sin\left(x\right)<x\;(0<x<\frac{\mathrm\pi}2)$

Правое неравенство $\sin\left(x\right)<x\;(x>0)$ было доказано ранее. Докажем левое. Ранее было доказано что, $x<\tan\left(x\right)\;\;\;(0<x<\frac{\mathrm\pi}2)$ . Поэтому для функции $\varphi(x)=\frac{\sin\left(x\right)}x$ при $0<x<\frac{\mathrm\pi}2$ имеем $\varphi(\frac{\mathrm\pi}2)=\frac2{\mathrm\pi}$ , $\varphi'(x)=\frac{x\cos\left(x-\sin\left(x\right)\right)}{x^2}=\frac{\cos\left(x\right)}{x^2}\;(x-\tan\left(x\right))<0$ . Значит функция $\varphi$ строго убывает на $\lbrack0,\frac{\mathrm\pi}2\rbrack$ , т.е $\varphi(x)>\varphi(\frac{\mathrm\pi}2)=\frac2{\mathrm\pi}$ , а это равносильно тому, что $\frac2{\mathrm\pi}x<\sin\left(x\right)$ .

$2.(1+x)^\alpha>1+\alpha x\;(x>0,\alpha>1)$

Положим $\varphi(x)=\;(1+x)^\alpha-1-\alpha x$ . Тогда $\varphi'(x)=\alpha\lbrack(1+x)^{\alpha-1}-1\rbrack>0$ . Значит, функция $\varphi$ строго возрастает, и поэтому $\varphi(x)>\varphi(0)=0$ при $x>0$ . Это равносильно требуемому неравенству.

$3.(x+y)^p>x^p+y^p\;(0<p<1,\;x,y>0)$

Требуемое неравенство равносильно такому $(1+t)^p<1+t^p$ ,где $t=\frac xy>0$ . Положим $\varphi(t)=(1+t)^p$ . Тогда $\varphi(0)=0$ и $\varphi'(t)=p\lbrack(1+t)^{p-1}-t^{p-1}\rbrack<0$ . Значит ,функция $\varphi$ строго убывает.

$4.(x+y)^{p}>x^{p}+y^{p}(p>1,x,y>0)$

Доказательство этого неравенства аналогично доказательству предыдущего.

Примеры решения задач

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

$1.f(x)=x^3-30x^2+225x+1$

Решение

Данная функция всюду дифференцируема,причем
$f'(x)=3x^2-60x+225=3(x-5)(x-15)$

Так как f'(x) > 0 при $x\in(-\infty,5)$ и $x\in(15,+\infty)$ и $f'(x) < 0$ при $x\in(5,15)$ , то на интервалах $(-\infty,5)$ и $(15,+\infty)$ функция строго возрастает, а на интервале $(5,15)$ строго убывает.

$2.f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac1e,\;\;если\;\;x\;<\;e,\\\frac{\ln\left(x\right)}x,\;\;если\;\;x\;\;\geq\;e;\end{array}\right.$

Решение

Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\;\;если\;\;x<e,\\\frac{1-\ln\left(x\right)}{x^2},\;\;если\;x\geq e.\end{array}\right.$

Так как $f'(x) ≤ 0$ при всех x, то данная функция является невозрастающей на всей числовой оси. На интервале $(-\infty,e)$ она постоянна, на интервале $(e,+\infty)$ строго убывает.

$3.f(x)=\cos\left(\frac{\mathrm\pi}x\right)$

Решение

Данная функция является четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при $x > 0$ . Решая при $x > 0$ неравенство

$f'(x)=\frac{\mathrm\pi}{x^2}\sin\left(\frac{\mathrm\pi}x\right)>0,$

получаем

$\;0<\frac{\mathrm\pi}x<x\;\;или\;\;2\mathrm{πk}<\frac{\mathrm\pi}{\mathrm x}<\mathrm\pi+2\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{N}$ откуда $x>1\;\;или\;\;\frac1{2k+1}<x<\frac1{2k},\;k\in\mathbb{N}.$

Таким образом, на интервалах $(1,+\infty)$ и $(\frac1{2k+1},\frac1{2k}),\;k\in\mathbb{N}$ функция строго возрастает. На интервалах $(\frac1{2k},\frac1{2k-1}),\;k\in\mathbb{N}$ ,очевидно, справедливо неравенство $f'(x)<0$ , и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если $x<0$ , то, используя четность функции, получаем, что на интервалах $(-\frac1{2k},-\frac1{2k-1}),\;k\in\mathbb{N}$ , функция строго возрастает, а на интервалах $(-\infty,-1)$ и $(-\frac1{2k-1},-\frac1{2k}),\;k\in\mathbb{N}$ , строго убывает.

Литература

В.И.Коляда, А. А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. Часть 1. Одесса. «Астропринт». 2010. с. 166-169.

Кудрявцев Л.Д.,Кутасов А.Д.,Чехлов В.И.,Шабунин М.И.Сборник задач по математическому анализу.Предел,Непрерывность,Дифференцируемость.Учеб. пособие/Под.ред. Л.Д.Кудрявцевк-2-е изд.,M.2003.с. 371-379

Б.П.Демидович. СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.с.140-142

Условия постоянства и монотонности

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1

2

3

4

5

6

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Условия постоянства и монотонности функции».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

Нет рубрики 0%

максимум из 13 баллов

Место Имя Записано Баллы Результат

Таблица загружается

Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:
Капча:

1

2

3

4

5

6

С ответом

С отметкой о просмотре

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 4

Если функция $f(x)$ __________ на отрезке $[a,b]$ ,____________ на интервале $(a,b)$ и удовлетворяет условию ________,то эта функция _____________ на отрезке $[a,b]$ .

непрерывна

дифференцируема

$f'(x)>0$

строго возрастает

Правильно

Неправильно

Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 1

Если для любых двух точек $x’,x^{\prime\prime}\in I$ справедливо равенство $f(x’)=f(x^{\prime\prime})$ , то функция $f$ называется

Правильно

Неправильно

Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 2

Дана функция $f(x)=\frac1x$ .Выбрать все правильные утверждения

Eсли $x<0$ ,то $f(x)$ монотонно убывает

Если $x>0$ , то $f(x)$ монотонно возрастает

Eсли $x<0$ , то $f(x)$ монотонно возрастает

Eсли $x<0$ , то $f(x)$ монотонно убывает

$f(x)$ монотонна на всей оси

$f(x)$ не монотонна

Правильно

Неправильно

Задание 4 из 6

4.
Количество баллов: 4

Найти промежутки монотонности функций

Элементы сортировки

возрастает на промежутке $(0,6)$ и убывает на промежутках $(-\infty,0)\cup(6,+\infty)$

убывает на $\lbrack0,\frac12\rbrack$ , возрастает на $\lbrack\frac12,+\infty\rbrack$

возрастает на $(0,2)$ ,убывает на $(-\infty,0)\cup(2,3)\cup(3,+\infty)$

убывает $(-\infty,\frac13)$ ), возрастает на $(\frac13,+\infty)$

$f(x)=9+3x^2-x^3$

$f(x)=2^x\ln\left(x\right)$

$f(x)=\sqrt[3]{3x^2-x^3}$

$xe^{-3x}$

Правильно

Неправильно

Задание 5 из 6

5.
Количество баллов: 1

Пусть функция $f(x)$ возрастает на интервале $(а,b)$ .Следует ли из этого ,что производная $f'(x)$ также возрастает на интервале $(a,b)$ ?

Правильно

Неправильно

Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 1

Строго убывающей является функция

$f(x)=e^x$ , $x\in\mathbb{R}$

$f(x)=a$ , $a\in\mathbb{R}$

$f(x)=\cos\left(x\right)$ , $x\in\lbrack0,\mathrm\pi\rbrack$

$f(x)=\sin\left(x\right)$ , $x\in\lbrack-\frac{\mathrm\pi}2,\frac{\mathrm\pi}2\rbrack$

Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Условия постоянства и монотонности

максимум из 13 баллов

Место Имя Записано Баллы Результат

Таблица загружается

Нет данных

Метка: тождественно постоянная функция

5.8.1 Условия постоянства и монотонности функции

Некоторые неравенства.

Примеры решения задач

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

Литература

Условия постоянства и монотонности

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Таблица лучших: Условия постоянства и монотонности