Метка: тригонометрический многочлен

Тригонометрическим многочленом степени $n$ называют бесконечно дифференцируемую и $2\pi$-периодическую функцию $$T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$$ где $a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ — некоторые вещественные числа, $a_n \cdot b_n \neq 0$. Множество всех тригонометрических многочленов образует линейное пространство.

Теорема 1 (Вейерштрасса)

Любую непрерывную $2\pi$-периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такой тригонометрический многочлен $T_n(x)$, что $$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_n(x) \right| < \varepsilon.$$

Доказательство

Так, как сумма Фейера $\sigma_n(x)$ — это среднее арифметическое частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$, которые являются тригонометрическими многочленами, то она также будет тригонометрическим многочленом. В силу теоремы Фейера, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся сумма Фейера $\sigma_n(x)$ такая, что $$\max \limits_{x \in \mathbb{R}} \left| f(x) — \sigma_n (x) \right| < \varepsilon.$$

Замечание

Непрерывную функция $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ можно равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда $f(\pi) = f(-\pi)$.

Теорема 2 (Вейерштрасса)

Непрерывную на отрезке $[a, b]$ функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить с любой степенью точности многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся многочлен $P_n(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ такой, что $$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_n(x) \right| < \varepsilon.$$

Доказательство.

Пусть $[a, b] = [0, \pi]$ и чётным образом продолжим функцию $f(x)$ на отрезок $[-\pi, 0]$, а затем на всю вещественную ось с периодом $2 \pi$. Получим чётную, $2 \pi$-периодическую непрерывную функцию, совпадающую с $f(x)$ на отрезке $[0, \pi]$ (рис.1).

В силу теоремы Фейера для любого $\varepsilon > 0$ найдётся тригонометрический многочлен $T_m(x)$ такой, что $$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (1)$$

Каждая из функций $\sin kx$ и $\cos kx$ является аналитической и поэтому раскладывается в степенной ряд, сходящийся на всей числовой прямой. Так как $T_m(x)$ — это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$, то $T_m(x)$ также раскладывается в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$, $$T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots.$$

Известно, что на любом отрезке $[\alpha, \beta]$, лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0$ существует такое $k$, что $$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — (c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (2)$$

Если положить $P_k (x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k$, то в силу (1) и (2) получаем $$\left| f(x) — P_k(x) \right| \le \left| f(x) — T_m(x) \right| + \left| T_m(x) — P_k(x) \right| \le$$ $$\le \max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| + \max_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — P_k(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Следовательно, $$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$$

Пусть теперь функция $f(x)$ непрерывна на произвольном отрезке $[a, b]$. Положим $F(t) = f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a))$, $0 \le t \le \pi$.

Тогда функция $F(t)$ непрерывна на $[0, \pi]$ и её можно равномерно приблизить на $[0, \pi]$ многочленом $Q_k(t)$, т.е. $$\max \limits_{0 \le t \le \pi} \left| f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a)) — Q_k(t) \right| < \varepsilon. (3)$$

Полагая $x = a + \dfrac{t}{\pi} (b-a), P_k(x) = Q_k (\pi \dfrac{x — a}{b — a})$,
получаем из неравенства (3), что $$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$$

Литература

• Тер – Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 598-600
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 151-153

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Что такое тригонометрический многочлен?

   • $f(x) = f(a)+\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{f^{(k)} (a)}{ k!} (x - a)^k$
   • $T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$, где $a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ - некоторые вещественные числа.
2. Задание 2 из 5

   2.

   Почему $T_m(x)$ можно разложить в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$, $T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots$?

   • Потому, что $T_m(x)$ равномерно непрерывна.
   • Потому, что $T_m(x)$ бесконечно дифференцируема.
   • Потому, что $T_m(x)$ - это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вставьте пропущенную фразу.

   • Так, как $f(x)$ является (тригонометрическим многочленом), то сумма Фейера $\sigma_n(x)$ будет тригонометрическим многочленом.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Какую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом?

   • непрерывную $2\pi$-периодическую непрерывную и $2\pi$-периодическую
5. Задание 5 из 5

   5.

   Можно ли непрерывную функцию $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом, когда $f(\pi) = -f(\pi)$.

   • (Нет, Нет, только если f(π) = f(-π), нет)