Задача из журнала «Квант» М641(1980, выпуск №9)

Задача:

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон  $CD$ и $DE$. Прямые  $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $L$.

Докажите, что:

а) треугольник $ABL$ и четырехугольник $DMLN$ имеют равные площади;

б) $\widehat{ALO}=\widehat{OLN}=60^\circ$;

в) $\widehat{OLD}=90^\circ$.

Решение:

Все утверждения задачи не трудно получить из одного наблюдения: при повороте на $60^\circ$ вокруг центра $O$ четырехугольник $AMCB$ отображается на четырехугольник $BNDC$.

Действительно, при повороте $R_O^{60^\circ}$ (против часовой стрелки) точка $A$ переходит в точку $B$, точка $B$ — в точку $C$, сторона $CD$ отображается в сторону $DE$, так что середина $M$ стороны $CD$ переходит в середину $N$ стороны $DE$ (смотри рисунок). Следовательно, четырехугольники $AMCB$ и $BNDC$ конгруэнтны, так что площади их равны. Вычитая из этих равных площадей площадь четырехугольника $BCML$, получим равные площади, то есть треугольник $ABL$ и четырехугольник $DMLN$ равновелики.

Так как при повороте $R_O^{60^\circ}$ луч $AM$ отображается на луч $BN$, угол между направлениями этих лучей равен углу поворота, то есть $\widehat{ALB}=60^\circ$. Следовательно, $\widehat{ALN}=120^\circ$.Приведем два доказательства того , что $\widehat{ALO}=\widehat{OLN}=60^\circ$ и $\widehat{OLD}=90^\circ$.

$1^\circ$. Воспользуемся таким очевидным фактом: если две прямые, пересекающиеся в точке $K$, равноудалены от точки $P$, то прямая $PK$ служит биссектрисой угла между этими прямыми (содержащего точку $P$). Поскольку точка $O$ равноудалена от прямых $AM$ и $BN$, $OL$ — биссектриса угла $ALN$, то есть $\widehat{ALO}=\widehat{OLN}=60^\circ$. Поскольку точка $D$ удалена от прямых $AM$ и $BN$ одинаково (на такое же расстояние, как $C$ — от прямой $AM$). $\widehat{NLD}=\widehat{DLM}=30^\circ$, то есть $\widehat{OLD}=90^\circ$.

$2^\circ$. Около четырехугольника $DMON$ можно описать окружность, так как углы  при его вершинах $M$ и $N$ — прямые. Тогда $L$ также принадлежит этой окружности. Это следует из того, что в четырехугольнике $DMLN$ сумма углов при вершинах $D$ и $L$ равна $180^\circ$. Заметив, что $\widehat{ODN}=60^\circ$, применим теорему о вписанном угле. Тогда получим $\widehat{OLN}=\widehat{ODN}=60^\circ$ и $\widehat{OLD}-\widehat{OMD}=90^\circ$.

Э.Готман

Задача из журнала «Квант» (1999, №4)

Условие

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Третья окружность с центром в точке $P$ пересекает первую в точках $A$, $B$, а вторую в точках — $C$ и $D$ (см. рисунок). Докажите, что углы $AQD$ и $BQC$ равны.

Решение

Треугольники $APB$ и $DPC$ равнобедренные. Обозначим углы при их основаниях $\angle ABP =\angle BAP = \alpha$, $\angle DCP =\angle CDP = \beta$. Четырехугольники $AQBP$ и $DQCP$ вписанные, отсюда $\angle AQP =\angle ABP = \alpha$ и $\angle DQP =\angle DCP = \beta$. Получаем: $\angle AQD = \angle AQP + \angle DQP = \alpha + \beta$. Далее, $\angle BQP =\angle BAP = \alpha$, также $\angle CQP = \beta$ и $\angle BQC = \angle BQP + \angle CQP = \alpha + \beta$. Значит, $\angle AQD = \angle BQC$.