Processing math: 100%

Метка: формула Коши

Следствия: остаток в форме Коши и в форме Лагранжа

Следствие 1.

φ(t)=x−t;

φ′(t)=−1;

rn(x0,x)=0−(x−x0)−1n!∗f(n+1)(ξ)∗(x−ξ)n

rn(x0,x)=1n!f(n+1)(ξ)∗(x−ξ)n∗(x−x0) — ф-ла Коши остатка.

Следствие 2.

φ(t)=(x−t)(n+1);

φ′(t)=−(n+1)(x−t)n;

rn(x0,x)=0−(x−x0)(n+1)−1(n+1)(x−x0)nn!∗f(n+1)(ξ)∗(x−ξ)n;

rn(x0,x)=(x−x0)(n+1)n!∗f(n+1)(ξ)∗(x−ξ)n;

rn(x0,x)=(x−x0)(n+1)(n+1)!∗f(n+1)(ξ) — изящная ф-ла Лагранжа для остатка.

Следствие 3 (ф-ла Тейлора с остатком в изящной ф-ме Лангранжа)

Если f(t),f′(t),⋯,f(n)(t)∈C[x0,x] и ∃f(n+1)(t) для ∀t∈(x0,x), то имеет место ф-ла Тейлора с остатком в ф-ме Лагранжа:

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f»(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n++f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(n+1),ξ∈(x0,x).

Замечание

n=0: f(x)=f(x0)+f′(ξ)1!(x−x0)

f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0) — получили ф-лу конечных приращений Лагранжа.

rn(x0,x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1.

 

Пример 1.

Доказать:

x−x33!<sin(x)<x−x33!+x55!         ∀x>0

f(x)=sin(x); x0=0;

n=4:
f(x)=0⏞f(0)+1⏞f′(0)1!x+0⏞f»(ξ)2!x2+−1⏞f(3)(0)3!x3+0⏞f(4)(0)4!x4+f(5)(0)5!x3⏟

sin(x)=x1!−x33!+sin(x52π);

sin(x52π)=sin(x+π2)=cos(x);

sin(5)(ξ)=cos(ξ);

sin(x)=x1!−x33!+cos(ξ)5!x5<x−x33!+x55!;

n=2:
f(x)=0⏞f(0)+1⏞f′(0)1!x+0⏞f»(0)2!x2+f(3)(ξ)3!x3;

sin(x)=x1!−cos(ξ)3!x3>x1!−x33!;

−cos(ξ)3!x3>x33!;

cos(ξ)3!x3⩽x33!∣⋮x33!,>0,

cos(ξ)⩽1

Пример 2.

Доказать: ∣sin(t)−t∣≤t22,∀t∈R, x0=0;
n=1: f(0)+1⏞f′(0)1!t+f»(ξ)2!t2

sin(t)=t−sin(ξ)2!t2
∣sin(t)−t∣=∣sin(ξ)2!t2∣=12∣1⏞sin(ξ)∣t2

 

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

 

 

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Оглавление

На предыдущую

[object Object]

На следующую