Если существует функция $F(x)$ , непрерывная на отрезке $[a,b]$ и такая, что $F(x)=f(x)$ при $a \leq x < b$ , то для несобственного интеграла $\int_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$

Если $f(x)$ непрерывна при $a \leq x < b$ и имеет точку разрыва $x=a$ , тогда:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$

Если подынтегральная функция не ограничена в отрезке интегрирования ( например $x = c$ ), то эту точку «вырезают», а интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ определяют в предположении, что $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ , так:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{a}^{c -\varepsilon} +$

$+ \lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{c+\varepsilon}^{b}=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c — \varepsilon)-F(a) + F(b) — \lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c+\varepsilon)$

Если пределы существуют и конечны, то интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Литература

Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 364-365
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. ст 82

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Тест на знание темы «Формулы Ньютона-Лейбница»

Задание 1 из 5

1.
Если существует функция $F(x)$ , _______ на отрезке $[a,b]$ и такая, что $F(x)=f(x)$ при a $\leq x < b$ , то для несобственного интеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница.
- (непрерывная)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
При каком условии будет выполняться формула $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$ ?
- $a \leq x < b$
- $a < x < b$
- $a > x > b$
- $a < x \leq b$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Отсортировать в каких случаях действует та или Ньютона-Лейбница

Элементы сортировки

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx$

Функция непрерывна на

$a \leq x < b$

Непрерывна на

$a \leq x < b$ , имеет точку разрыва

$x=a$

Точка перестает быть ограничена в точке

$x = c$

Задание 4 из 5

4.
Если пределы _________ и ________, то интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
- 1) (существуют) 2) (конечны, конечные)
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Условия сходимости интеграла
- Существование пределов
- Конечность пределов
- Монотонное возрастание функции
- Монотонное убывание функции
- Бесконечность пределов
Правильно

Неправильно

Метка: формулы Ньютона-Лейбница

Формулы Ньютона-Лейбница

Литература

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.