Доказательство

В силу непрерывности $f$, для любого $x\in K$ найдётся окрестность $U_{x}$, такая что функция $f$ ограничена на множестве $U_{x}$, то есть для каждого $y\in K \cap U_{x}$ справедливо неравенство $\begin{Vmatrix} f(y) \end{Vmatrix}\leq M_{x}$, где $M_{x}$ зависит от $x$. Совокупность открытых шаров $U_{x}$ образует открытое покрытие компактного множества $K$. В силу компактности, из него можно выделить конечное подпокрытие $U_{x_{1}}, …, U_{x_{p}}$. Этим шарам соответствуют числа $M_{x_{1}}, …, M_{x_{p}}$. На каждом и этих шаров функция $f$ ограничена этим числом. Пускай $M=\max_{1\leq i\leq p}M_{x_{i}}$. Тогда для любого $x\in K$ получим, что $\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M$.

Пусть функция $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ непрерывна на $\left[a, b \right]$. По первой теореме Вейерштрасса эта функция ограничена на $\left[a, b \right]$.

Доказательство

Пусть $f: E\rightarrow \mathbb{R}$, где $E\subset \mathbb{R}^{n}$. Функция $f$ называется ограниченной сверху на множестве $E$, если существует такая постоянная $M$, то для всех $x\in E$ справедливо неравенство $\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M$. Каждое такое число $M$ называется верхней границей функции $f$, а наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью функции $f$ и обозначается $\sup_{x\in E}f\left(x \right)$.

Пойдём от противного. Допустим, верхняя грань не достигается, то есть для каждого $x\in K$ справедливо неравенство $f(x)<M$, где $M$ — верхняя грань функции $f$ на $K$.

Рассмотрим функцию $\varphi (x)=\frac{1}{M-f(x)}$. Эта функция положительна и непрерывна в каждой точке $x\in K$. По ранее доказанной первой теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует такое число $\mu >0$, что $\varphi (x)\leq \mu$ для любого $x\in K$. Это означает, что $\frac{1}{M-f(x)}\leq \mu$, или, что то же самое, $f(x)\leq M-\frac{1}{\mu}(x\in K)$. Следовательно, число $M-\frac{1}{\mu}$ является верхней границей для функции $f$. Но так как $\mu >0$, то это противоречит тому, что $M$ является верхней гранью функции $f$, то есть наименьшей из всех верхних границ.

Аналогично теорема доказывается и для нижней грани.

Пусть функция $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ непрерывна на $\left[a, b \right]$. Тогда на этом множестве функция $f$ достигает своей верхней и нижней граней $M=f(x^{»})=\sup_{x\in E}f\left(x \right)$, $m=f(x^{‘})=\inf_{x\in E}f\left(x \right)$.