Неравенство верно для $n = 1$ или $2,$ поэтому пусть $n\geqslant3$. Рассмотрим число $k = \left[\sqrt{2n}\right]+1$ и оценим по отдельности величины $$A_{k}=\left\{\frac{n}{1} \right\}-\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{3} \right\}-\cdots-\left(-1 \right)^{k-1}\left\{\frac{n}{k-1}\right\}$$ и $$B_{k}=\left\{\frac{n}{k}\right\}-\left\{\frac{n}{k+1} \right\}+\cdots+\left(-1 \right)^{n-k}\left\{\frac{n}{n}\right\} .$$ Очевидно, $$A\leqslant\left\{\frac{n}{1}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}+\cdots,$$ где всего $\left[\frac{k}{2}\right]$ слагаемых, причем первое из них равно $0$. Далее, $$A\geqslant -\left\{\frac{n}{2}\right\}-\left\{\frac{n}{4}\right\}-\cdots,$$ где слагаемых $\left[\frac{k-1}{n}\right]$ штук. Для любого натурального $m<k$ имеем $$\left\{\frac{n}{m}\right\}\leqslant\frac{m-1}{m}\leqslant\frac{k-2}{k-1} ,$$ поэтому $$\left|A\right|\leqslant\left[\frac{k-1}{2}\right]\frac{k-2}{k-1}\leqslant\frac{k-2}{2}.$$ Поскольку дробная часть — это разность самого числа и его целой части, то $$B = C — D,$$ где $$C=\frac{n}{k}-\frac{n}{k+1}+\cdots+\left(-1 \right)^{n-k}\frac{n}{n}$$ и $$D=\left[\frac{n}{k}\right]-\left[\frac{n}{k+1}\right]+\cdots+\left(-1\right)^{n-k}\left[\frac{n}{n}\right].$$ Так как $$0\leqslant\left(\frac{n}{k}-\frac{n}{k+1}\right)+\left(\frac{n}{k+2}-\frac{n}{k+3}\right)+\cdots=C=$$ $$=\frac{n}{k}-\left(\frac{n}{k+1}-\frac{n}{k+2}\right)-\cdots\leqslant\frac{n}{k},$$ то $0\leqslant C\leqslant\frac{n}{k}$. Аналогично, $0\leqslant D\leqslant\left[\frac{n}{k}\right]\leqslant\frac{n}{k}$. Следовательно, $$\left|B\right|=\left|C-D\right|\leqslant\frac{n}{k}$$ и, наконец, $$\left|\left\{\frac{n}{1} \right\}-\left\{\frac{n}{2} \right\}+\left\{\frac{n}{3} \right\}-\cdots-\left(-1\right)^{n}\left\{\frac{n}{n} \right\}\right|=$$ $$=\left|A-\left(-1\right)^{k}B\right|\leqslant\frac{k-2}{2}+\frac{n}{k}<\frac{\sqrt{2n}-1}{2}+\sqrt{\frac{n}{2}}<\sqrt{2n}.$$