Processing math: 100%

Метка: четная функция

Единственность полинома Тейлора

Теорема о единственности полинома Тейлора

  Если существует f(n)(x0) и при x→x0 f представима в виде f(x)=a0+ a1(x−x0)+… +an(x−x0)n+ O((x−x0)n), то многочлен A=a0+a1(x−x0)+… +an(x−x0)n и будет многочленом Тейлора в точке x0, то есть ak=f(k)(x0)k!.

Доказательство.

f(x)=f(x0)+ f′(x0)1!(x−x0)+… +f(n)(x0)n!(x−x0)n+ O((x-x_{0})^{n}) &s=1 .

Приравниваем:

f(x0)+ f′(x0)1!(x−x0)+… +f(n)(x0)n!(x−x0)n+ O((x−x0)n)= a0+a1(x−x0)+… +an(x−x0)n+ O((x-x_{0})^{n}) &s=1.

Берем предел обеих частей при x→x0. Получаем, что:

\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})\rightarrow 0 &s=1 ;

\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 &s=1 ;

O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 &s=1 ;

a_{1}(x-x_{0})\rightarrow 0 &s=1 ;

a_{n}(x-x_{0})^{n}\rightarrow 0 &s=1 ;

O((x-x_{0})^{n})\rightarrow 0 &s=1 ;

f(x_{0})=a_{0} &s=1 .

Отбрасываем первые слагаемые в обеих частях уравнения:

f′(x0)1!(x−x0)+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+O((x−x0)n)=a1(x−x0)+…+an(x−x0)n+O((x−x0)n)∣/(x−x0).

f′(x0)1!+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n−1+O((x−x0)n−1)=a1+a2(x−x0)+…+an(x−x0)n−1+O((x−x0)n−1)∣limx→x0(⋅).

Получаем:

\cfrac{f'(x_{0})}{1!}=a_{1} &s=1.

Проделываем те же действия, что и ранее, получаем:

a_{k}=\cfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} &s=1.

Следовательно разложение по формуле Тейлора однозначно.

Замечание:

Пусть f(x) — бесконечно дифференцируема в точке 0.

  1. Если функция f(x) — четная, то f′ — нечетная, f»′ — нечетная, …, f(2n+1) — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то f′(0)=f»′(0)=… =f(2n+1)(0)=0.
  2. Если функция f(x) — нечетная, то f» — нечетная, …, f(2n) — нечетная, а так как нечетная функция в 0 всегда принимает значение, равное 0, то f»(0)=…=f(2n)(0)=0.

Вывод:

Если f(x) — четная, то формула Тейлора будет для нее содержать только четные степени, если f(x) — нечетная, то формула Тейлора будет разлагаться только по нечетным степеням.

Источники:

Тест по теме: единственность полинома Тейлора

Проверьте себя на знание теоретического материала по теме: единственность полинома Тейлора.


Таблица лучших: Тест по теме: единственность полинома Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных