Спойлер
- Утверждение 1
- Утверждение 2
- Утверждение 3
- Утверждение 4
- Утверждение 5
- Утверждение 6
- Утверждение 7
- Утверждение 8
- Тест
- Источники
[свернуть]
Утверждение 1
Рассмотрим многочлен степени [latex]n[/latex], т. е. функцию вида
[latex]P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.[/latex]
Эта функция непрерывна на [latex]R.[/latex]
Спойлер
Рациональная функция, т. е. функция вида [latex]f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},[/latex] где [latex]P_{n}(x),Q_{m}(x)[/latex] — многочлены степени [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена [latex]Q_{m}(x).[/latex]
Спойлер
Утверждение 2
Если [latex] x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) [/latex] и [latex] x\neq 0,[/latex] то [latex] \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).[/latex]
Спойлер
Следствие
Первый замечательный предел
[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex]
Замечание
Из неравенства[latex]\left(2\right )[/latex]следует, что [latex]tg\ x>x[/latex] при [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).[/latex]
Утверждение 3
Для всех [latex]x\in\mathbb{R}[/latex]справедливо неравенство
[latex]\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).[/latex]
Спойлер
Утверждение 4
Функции [latex]y=\sin{x}[/latex] и [latex]y=\cos{x}[/latex] непрерывны на всем множестве [latex]\mathbb{R}.[/latex]
Спойлер
Следствие
Функция [latex]tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/latex] — непрерывная при [latex]x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}[/latex]
Утверждение 5
Рассмотрим несколько функции с их графиками
- [latex]y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right][/latex]строго возрастает и непрерывна
Спойлер
- [latex]y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right][/latex]строго спадает и непрерывна
Спойлер
- [latex]y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)[/latex]строго возрастает и непрерывна
Спойлер
- [latex]y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)[/latex]строго спадает и непрерывна
Спойлер
Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно
- [latex]y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
Спойлер
- [latex]y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
Спойлер - [latex]y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
Спойлер - [latex]y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
Спойлер
Утверждение 6
Функция [latex]y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1[/latex] — монотонна непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] то есть
[latex]\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}[/latex]
и тогда функция [latex]y=\log_{a}{x}[/latex] — монотонна и непрерывна(как обратная)
Утверждение 7
Функции, заданные формулами
[latex]sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex]
называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Эти функции определены и непрерывны на [latex]\mathbb{R}[/latex], причем [latex]sh\ x[/latex]— нечетная функция, а [latex]ch\ x[/latex] — четная функция.
Спойлер
Из определения функций [latex]sh\ x[/latex] и [latex]ch\ x[/latex] следует, что
[latex]sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,[/latex]
[latex] ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x[/latex]
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
[latex]th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x} [/latex]
Функция [latex]th\ x[/latex] определена и непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] а функция [latex]cth\ x[/latex] определена и непрерывна на множестве [latex]\mathbb{R}[/latex] с выколотой точкой [latex]x= 0.[/latex] Обе функции нечетные.
Спойлер
Утверждение 8
Пусть функции [latex]u(x)[/latex] и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right ),[/latex] причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0,[/latex] Тогда функцию [latex]y,[/latex] определяемую формулой
[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
будем называть показательно-степенной и обозначать
[latex]y=u(x)^{v(x)}[/latex]
Таким образом, исходя из определения
[latex]u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
Если [latex]u,v[/latex] — функции, непрерывные на [latex]\Delta,[/latex] то функция [latex]u^v[/latex] непрерывна на [latex]\Delta[/latex] как суперпозиция непрерывных функций [latex]e^t[/latex] и [latex]t = v(x)\ln{u(x)}[/latex].
Тест
Непрерывность элементарных функций
