Непрерывность элементарных функций

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени n, т. е. функцию вида

P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.

Эта функция непрерывна на R.

Доказательство показать

Рациональная функция, т. е. функция вида f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}, где P_{n}(x),Q_{m}(x) — многочлены степени n и m соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена Q_{m}(x).

Доказательство показать

Утверждение 2

Если  x \in \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) и  x\neq 0, то  \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).

Доказательство показать

 Следствие

Первый замечательный предел

 \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1

Подробнее

 Замечание

Из неравенства\left(2\right )следует, что tg\ x>x при x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).

Утверждение 3

Для всех x\in\mathbb{R}справедливо неравенство

\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).

Доказательство показать

Утверждение 4

Функции y=\sin{x} и y=\cos{x} непрерывны на всем множестве \mathbb{R}.

Доказательство показать

Следствие

Функция tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}} — непрерывная при x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}

Утверждение 5

Рассмотрим несколько  функции с их графиками

  1. y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]строго возрастает и непрерывна
    График показать
  2. y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right]строго спадает и непрерывна
    График показать
  3. y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)строго возрастает и непрерывна
    График показать
  4. y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)строго спадает и непрерывна
    График показать

 

Тогда по теореме существуют обратные  непрерывные монотонные функции соответственно

  1. y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]
    График показать
  2. y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]
    График показать
  3. y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}
    График показать
  4. y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}
    График показать

 Утверждение 6

Функция y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1 — монотонна непрерывна на \mathbb{R}, то есть

\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}

и тогда функция y=\log_{a}{x} — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на \mathbb{R}, причем sh\ x— нечетная функция, а ch\ x — четная функция.

График показать

Из определения функций  sh\ x и ch\ x следует, что

sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,

 ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x

 По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x}

Функция th\ x определена и непрерывна на \mathbb{R}, а функция cth\ x определена и непрерывна на множестве \mathbb{R} с выколотой точкой x= 0. Обе функции нечетные.

График показать

Утверждение 8

Пусть функции u(x)  и v(x) определены на промежутке\Delta =\left ( a,b \right ), причем для всехx \in \Delta выполняется условие u(x)>0, Тогда функцию  y, определяемую формулой

y=e^{v(x)\ln{u(x)}}

будем называть показательно-степенной и обозначать 

y=u(x)^{v(x)}

Таким образом, исходя из определения

u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}

Если u,v — функции, непрерывные на \Delta, то функция u^v непрерывна на \Delta как суперпозиция непрерывных функций  e^t и t = v(x)\ln{u(x)}.

Тест

Непрерывность элементарных функций

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

Замена переменной при вычислении предела

Теорема

 

Если существуют

\lim_{x\to a}\varphi (x)=b и \lim_{y\to b}f(y)=A

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки a выполняется условие \varphi (x)\neq b , то в точке a существует предел сложной функции f(\varphi (x)) и справедливо равенство

\lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A


Доказательство показать

Примеры

Пример 1 показать
Пример 2 показать

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Первый замечательный предел

sin x xПервым замечательным пределом называется равенство

 \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1 ,

где величина x выражена в радианах.

 

 

Доказательство показать

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Пример 1 показать
Пример 2 показать
Пример 3 показать

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)