Processing math: 100%

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени [latex]n[/latex], т. е. функцию вида

[latex]P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.[/latex]

Эта функция непрерывна на [latex]R.[/latex]

Спойлер

Рациональная функция, т. е. функция вида [latex]f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},[/latex] где [latex]P_{n}(x),Q_{m}(x)[/latex] — многочлены степени [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена [latex]Q_{m}(x).[/latex]

Спойлер

Утверждение 2

Если [latex] x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) [/latex] и [latex] x\neq 0,[/latex] то [latex] \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).[/latex]

Спойлер

 Следствие

Первый замечательный предел

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex]

Подробнее

 Замечание

Из неравенства[latex]\left(2\right )[/latex]следует, что [latex]tg\ x>x[/latex] при [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).[/latex]

Утверждение 3

Для всех [latex]x\in\mathbb{R}[/latex]справедливо неравенство

[latex]\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).[/latex]

Спойлер

Утверждение 4

Функции [latex]y=\sin{x}[/latex] и [latex]y=\cos{x}[/latex] непрерывны на всем множестве [latex]\mathbb{R}.[/latex]

Спойлер

Следствие

Функция [latex]tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/latex] — непрерывная при [latex]x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}[/latex]

Утверждение 5

Рассмотрим несколько  функции с их графиками

  1. [latex]y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right][/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер
  2. [latex]y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right][/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер
  3. [latex]y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)[/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер
  4. [latex]y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)[/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер

 

Тогда по теореме существуют обратные  непрерывные монотонные функции соответственно

  1. [latex]y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер
  2. [latex]y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер
  3. [latex]y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер
  4. [latex]y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер

 Утверждение 6

Функция [latex]y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1[/latex] — монотонна непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] то есть

[latex]\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}[/latex]

и тогда функция [latex]y=\log_{a}{x}[/latex] — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

[latex]sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex]

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на [latex]\mathbb{R}[/latex], причем [latex]sh\ x[/latex]— нечетная функция, а [latex]ch\ x[/latex] — четная функция.

Спойлер

Из определения функций  [latex]sh\ x[/latex] и [latex]ch\ x[/latex] следует, что

[latex]sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,[/latex]

[latex] ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x[/latex]

 По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

[latex]th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x} [/latex]

Функция [latex]th\ x[/latex] определена и непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] а функция [latex]cth\ x[/latex] определена и непрерывна на множестве [latex]\mathbb{R}[/latex] с выколотой точкой [latex]x= 0.[/latex] Обе функции нечетные.

Спойлер

Утверждение 8

Пусть функции [latex]u(x)[/latex]  и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right ),[/latex] причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0,[/latex] Тогда функцию  [latex]y,[/latex] определяемую формулой

[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

будем называть показательно-степенной и обозначать 

[latex]y=u(x)^{v(x)}[/latex]

Таким образом, исходя из определения

[latex]u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

Если [latex]u,v[/latex] — функции, непрерывные на [latex]\Delta,[/latex] то функция [latex]u^v[/latex] непрерывна на [latex]\Delta[/latex] как суперпозиция непрерывных функций  [latex]e^t[/latex] и [latex]t = v(x)\ln{u(x)}[/latex].

Тест

Непрерывность элементарных функций

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

Замена переменной при вычислении предела

Теорема

 

Если существуют

latexlimxaφ(x)=b и latexlimybf(y)=A

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие latexφ(x)b, то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции latexf(φ(x)) и справедливо равенство

latexlimxaf(φ(x))=limybf(y)=A


Спойлер

Примеры

Спойлер
Спойлер

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Первый замечательный предел

sin x xПервым замечательным пределом называется равенство

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex] ,

где величина [latex]x[/latex] выражена в радианах.

 

 

Спойлер

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Спойлер
Спойлер
Спойлер

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)