Непрерывность элементарных функций

Содержание	^C показать
Утверждение 1 Утверждение 2 Утверждение 3 Утверждение 4 Утверждение 5 Утверждение 6 Утверждение 7 Утверждение 8 Тест Источники

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени $n$ , т. е. функцию вида

$P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.$

Эта функция непрерывна на $R.$

Доказательство	^C показать
Функция $y=C,$ где $C$ — постоянно непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=0$ при любом $x.$ Функция $y=x$ непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=\Delta x \to 0$ при $\Delta x \to 0.$ Поэтому функция $y=a_{k}x^k,$ где $k\in\mathbb{N},$ непрерывна на $R$ как произведение непрерывных функций. Так как многочлен $P_{n}(x)$ есть сумма непрерывных функций вида $a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),$ то он непрерывен на $R.$

Доказательство

показать

Рациональная функция, т. е. функция вида $f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},$ где $P_{n}(x),Q_{m}(x)$ — многочлены степени $n$ и $m$ соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена $Q_{m}(x).$

Доказательство	^C показать
В самом деле, если $Q_{m}(x)\neq 0,$ то из непрерывности многочленов $P_{n}$ и $Q_{m}$ следует непрерывность функции $f$ в точке $x_{0}.$

Утверждение 2

Если $x \in \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right )$ и $x\neq 0,$ то $\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).$

Доказательство	^C показать
Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса с центром в точке $O$ (рис. 12.1). Пусть $\angle AOB=x,$ где $0<x<\frac{\pi}{2}$ . Пусть $C$ — проекция точки $B$ на ось $Ox$ , $D$ луча $OB$ и прямой, проведенной через точку $A$ перпендикулярно оси $Ox.$ Тогда $BC=sin x, DA=tgx.$ Пусть $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ — площади треугольника $AOB,$ сектора $AOB$ и треугольника $AOD$ соответственно. Тогда $S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,$ $S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,$ $S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.$ Так как $S_{1}<S_{2}<S_{3},$ то $\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )$ Если $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ то $\sin{x}>0,$ и поэтому неравенство $\left ( 2 \right )$ равносильно неравенству $1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}$ откуда следует, что при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ выполняется неравенство $\left ( 1 \right ).$ Так как $\frac{x}{\sin{x}}$ и $\cos{x}$ — четные функции, то неравенство $\left ( 1 \right )$ справедливо и при $x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).$

Доказательство

показать

Следствие

Первый замечательный предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1$

Подробнее

Замечание

Из неравенства $\left(2\right )$ следует, что $tg\ x>x$ при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).$

Утверждение 3

Для всех $x\in\mathbb{R}$ справедливо неравенство

$\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).$

Доказательство	^C показать
Неравенство $\left ( 4 \right )$ выполняется при $x=0.$ Пусть $x\neq0.$ Если $\left \| x \right \|<\frac{\pi}{2},$ то из утверждения $\left (1\right )$ следует что $-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow$ $\left \|\frac{\sin{x}}{x} \right \|<1 \ \ \Rightarrow\left \| \sin{x} \right \|<\left \| x \right \|$ Если $\left \| x \right \|\geqslant\frac{\pi}{2},$ то тогда доказываемое неравенство очевидно.

Доказательство

показать

Утверждение 4

Функции $y=\sin{x}$ и $y=\cos{x}$ непрерывны на всем множестве $\mathbb{R}.$

Доказательство	^C показать
Требуется доказать, что $\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},$ а именно $\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left \| x-x_{0} \right \|<\delta \Rightarrow \left \| \sin{x}-\sin{x_{0}} \right \|<\varepsilon$ $\left \| \sin{x}-\sin{x_{0}} \right \|=\left \| 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right \| =2\left \|\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right \|\left \|\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right \|\leqslant$ $\leqslant 2\left \|\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right \|\leqslant 2\left \|\frac{x-x_{0}}{2} \right \|=\left \| x-x_{0} \right \|<\delta \leqslant \varepsilon$ То есть $\forall \varepsilon >0$ если взять $\delta = \frac{\varepsilon }{2}$ , то $\forall x:\left \| x-x_{0} \right \|<\delta \Rightarrow \left \| \sin{x}-\sin{x_{0}} \right \|<\varepsilon$ Для функции $\cos{x}$ доказывается аналогично

Доказательство

показать

Следствие

Функция $tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ — непрерывная при $x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Утверждение 5

Рассмотрим несколько функции с их графиками

$y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ строго возрастает и непрерывна

График ^C показать
$y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right]$ строго спадает и непрерывна

График ^C показать
$y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ строго возрастает и непрерывна

График ^C показать
$y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)$ строго спадает и непрерывна

График ^C показать

Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно

$y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

График ^C показать
$y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

График ^C показать
$y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

График ^C показать
$y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

График ^C показать

Утверждение 6

Функция $y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1$ — монотонна непрерывна на $\mathbb{R},$ то есть

$\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}$

и тогда функция $y=\log_{a}{x}$ — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

$sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на $\mathbb{R}$ , причем $sh\ x$ — нечетная функция, а $ch\ x$ — четная функция.

График	^C показать

Из определения функций $sh\ x$ и $ch\ x$ следует, что

$sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,$

$ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x$

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

$th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x}$

Функция $th\ x$ определена и непрерывна на $\mathbb{R},$ а функция $cth\ x$ определена и непрерывна на множестве $\mathbb{R}$ с выколотой точкой $x= 0.$ Обе функции нечетные.

График	^C показать

Утверждение 8

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ определены на промежутке $\Delta =\left ( a,b \right ),$ причем для всех $x \in \Delta$ выполняется условие $u(x)>0,$ Тогда функцию $y,$ определяемую формулой

$y=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

будем называть показательно-степенной и обозначать

$y=u(x)^{v(x)}$

Таким образом, исходя из определения

$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

Если $u,v$ — функции, непрерывные на $\Delta,$ то функция $u^v$ непрерывна на $\Delta$ как суперпозиция непрерывных функций $e^t$ и $t = v(x)\ln{u(x)}$ .

Тест

Непрерывность элементарных функций

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

Замена переменной при вычислении предела

Теорема

Если существуют

$\lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $\lim_{y\to b}f(y)=A$

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки $a$ выполняется условие $\varphi (x)\neq b$ , то в точке $a$ существует предел сложной функции $f(\varphi (x))$ и справедливо равенство

$\lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A$

Доказательство	^C показать
Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне $\forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a \Rightarrow \{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b \Rightarrow f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A$

Примеры

Пример 1	^C показать
Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$ $\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}= \left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]= \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)

Пример 2	^C показать
Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$ $\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}= \left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$ $\lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$ $\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$ (см. Первый замечательный предел)

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется равенство

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1$ ,

где величина $x$ выражена в радианах.

Доказательство	^C показать
Воспользуемся неравенством $\left(1\right )$ (рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса $\lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1$ , переходим в соотношении $\left(1\right )$ к пределу при $x \to 0$ , получаем искомое равенство

Доказательство

показать

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Пример 1	^C показать
Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}$ $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}$ Замечание В последнем равенстве мы использовали тот факт, что $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1$ Этот факт доказывается при помощи замены переменной $t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0$

Пример 1

показать

Пример 2	^C показать
Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}$ $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20$

Пример 3	^C показать
Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}$ Используем тригонометрическую формулу $1-\cos{2a}=2\sin^2{a}$ $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=$ $\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0$

Пример 3

показать

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98).

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Утверждение 1

Утверждение 2

Следствие

Первый замечательный предел

Замечание

Утверждение 3

Утверждение 4

Следствие

Утверждение 5

Утверждение 6

Утверждение 7

Утверждение 8

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Источники

Поделиться ссылкой:

Теорема

Примеры

Доказать что

Доказать что

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Источники

Поделиться ссылкой:

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Найти предел выражения

Найти предел выражения

Найти предел выражения

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Подсказка

3.

Подсказка

4.

5.

6.

7.

8.

Источники

Поделиться ссылкой:

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}$

Найти предел выражения $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}$