- Утверждение 1
- Утверждение 2
- Утверждение 3
- Утверждение 4
- Утверждение 5
- Утверждение 6
- Утверждение 7
- Утверждение 8
- Тест
- Источники
Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
Рассмотрим многочлен степени [latex]n[/latex], т. е. функцию вида
[latex]P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.[/latex]
Эта функция непрерывна на [latex]R.[/latex]
Функция [latex]y=C,[/latex] где [latex]C[/latex] — постоянно непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=0[/latex]при любом[latex]x.[/latex] Функция [latex]y=x[/latex]непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=\Delta x \to 0[/latex]при[latex]\Delta x \to 0.[/latex] Поэтому функция[latex]y=a_{k}x^k,[/latex] где [latex]k\in\mathbb{N},[/latex] непрерывна на [latex]R[/latex] как произведение непрерывных функций. Так как многочлен [latex]P_{n}(x)[/latex]есть сумма непрерывных функций вида [latex]a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),[/latex] то он непрерывен на[latex]R.[/latex]
Рациональная функция, т. е. функция вида [latex]f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},[/latex] где [latex]P_{n}(x),Q_{m}(x)[/latex] — многочлены степени [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена [latex]Q_{m}(x).[/latex]
В самом деле, если [latex]Q_{m}(x)\neq 0,[/latex] то из непрерывности многочленов [latex]P_{n}[/latex] и [latex]Q_{m}[/latex] следует непрерывность функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}.[/latex]
Если [latex] x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) [/latex] и [latex] x\neq 0,[/latex] то [latex] \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).[/latex]
Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке [latex] O [/latex] (рис. 12.1). Пусть [latex] \angle AOB=x,[/latex] где [latex]0<x<\frac{\pi}{2} [/latex].
Пусть [latex] C [/latex] — проекция точки [latex] B[/latex] на ось [latex]Ox[/latex], [latex] D [/latex] луча [latex] OB [/latex] и прямой, проведенной через точку [latex] A [/latex] перпендикулярно оси [latex] Ox.[/latex] Тогда [latex]BC=sin x, DA=tgx.[/latex]
Пусть [latex]S_{1}, S_{2}, S_{3}[/latex] — площади треугольника [latex]AOB,[/latex] сектора[latex]AOB[/latex] и треугольника [latex]AOD[/latex] соответственно. Тогда
[latex]S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,[/latex]
[latex]S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,[/latex]
[latex]S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.[/latex]
Так как [latex]S_{1}<S_{2}<S_{3},[/latex] то [latex]\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )[/latex]
Если [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex] то [latex]\sin{x}>0,[/latex] и поэтому неравенство[latex]\left ( 2 \right )[/latex] равносильно неравенству
[latex]1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}[/latex]
откуда следует, что при [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex] выполняется неравенство [latex]\left ( 1 \right ).[/latex] Так
как [latex]\frac{x}{\sin{x}}[/latex] и [latex]\cos{x}[/latex] — четные функции, то неравенство [latex]\left ( 1 \right )[/latex] справедливо и при[latex]x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).[/latex]
[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex]
Из неравенства[latex]\left(2\right )[/latex]следует, что [latex]tg\ x>x[/latex] при [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).[/latex]
Для всех [latex]x\in\mathbb{R}[/latex]справедливо неравенство
[latex]\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).[/latex]
Неравенство [latex]\left ( 4 \right )[/latex] выполняется при [latex]x=0.[/latex]
Пусть [latex]x\neq0.[/latex]
Если [latex]\left | x \right |<\frac{\pi}{2},[/latex] то из утверждения [latex]\left (1\right )[/latex] следует что
[latex]-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow[/latex]
[latex]\left |\frac{\sin{x}}{x} \right |<1 \ \ \Rightarrow\left | \sin{x} \right |<\left | x \right |[/latex]
Если [latex]\left | x \right |\geqslant\frac{\pi}{2},[/latex] то тогда доказываемое неравенство очевидно.
Функции [latex]y=\sin{x}[/latex] и [latex]y=\cos{x}[/latex] непрерывны на всем множестве [latex]\mathbb{R}.[/latex]
Требуется доказать, что
[latex]\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},[/latex]
а именно
[latex]\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon [/latex]
[latex]\left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |=\left | 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right | =2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\left |\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right |\leqslant[/latex]
[latex]\leqslant 2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\leqslant 2\left |\frac{x-x_{0}}{2} \right |=\left | x-x_{0} \right |<\delta \leqslant \varepsilon[/latex]
То есть [latex]\forall \varepsilon >0[/latex]если взять[latex]\delta = \frac{\varepsilon }{2}[/latex], то[latex]\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon[/latex]
Для функции [latex]\cos{x}[/latex] доказывается аналогично
Функция [latex]tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/latex] — непрерывная при [latex]x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}[/latex]
Рассмотрим несколько функции с их графиками
Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно
Функция [latex]y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1[/latex] — монотонна непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] то есть
[latex]\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}[/latex]
и тогда функция [latex]y=\log_{a}{x}[/latex] — монотонна и непрерывна(как обратная)
Функции, заданные формулами
[latex]sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex]
называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Эти функции определены и непрерывны на [latex]\mathbb{R}[/latex], причем [latex]sh\ x[/latex]— нечетная функция, а [latex]ch\ x[/latex] — четная функция.
Из определения функций [latex]sh\ x[/latex] и [latex]ch\ x[/latex] следует, что
[latex]sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,[/latex]
[latex] ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x[/latex]
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
[latex]th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x} [/latex]
Функция [latex]th\ x[/latex] определена и непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] а функция [latex]cth\ x[/latex] определена и непрерывна на множестве [latex]\mathbb{R}[/latex] с выколотой точкой [latex]x= 0.[/latex] Обе функции нечетные.
Пусть функции [latex]u(x)[/latex] и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right ),[/latex] причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0,[/latex] Тогда функцию [latex]y,[/latex] определяемую формулой
[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
будем называть показательно-степенной и обозначать
[latex]y=u(x)^{v(x)}[/latex]
Таким образом, исходя из определения
[latex]u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
Если [latex]u,v[/latex] — функции, непрерывные на [latex]\Delta,[/latex] то функция [latex]u^v[/latex] непрерывна на [latex]\Delta[/latex] как суперпозиция непрерывных функций [latex]e^t[/latex] и [latex]t = v(x)\ln{u(x)}[/latex].
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
Непрерывность элементарных функций
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
Выберите правильные утверждения
Установите соответствие
sh x
|
|
ch x
|
|
Вставьте пропущенное слово в определение
Закончите определение: Пусть функции [latex]u(x)[/latex] и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right )[/latex] , причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0[/latex]. Тогда функцию [latex]y[/latex], определяемую формулой
[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
будем называть…
Оцените насколько нравится вам данный тест, где 1 — совсем ненравится,а 5 — очень нравится
Если существуют
latexlimx→aφ(x)=b и latexlimy→bf(y)=A
причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие latexφ(x)≠b, то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции latexf(φ(x)) и справедливо равенство
latexlimx→af(φ(x))=limy→bf(y)=A
Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне
latex∀{xn}→n→∞a⇒{φ(xn)}→n→∞b⇒f(φ(xn))→n→∞A
latexlimx→0arcsin(x)x=[t=arcsin(x),t→x→00]=limt→0tsin(t)=1 (см. Первый замечательный предел)
latexlimx→0arctg(x)x=[t=arctg(x),t→x→00]=latexlimt→0ttg(t)=latexlimt→0tsin(t)cos(t)=1(см. Первый замечательный предел)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 5
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Для чего используется метод замены переменных?
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctg3x}{7x}[/latex]
Правильный ответ 3/7
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{arcsin\frac{x}{2}}[/latex]
Правильный ответ 10
Найти предел методом замены переменной
[latex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
Правильный ответ 1/2
Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу
Первым замечательным пределом называется равенство
[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex] ,
где величина [latex]x[/latex] выражена в радианах.
Воспользуемся неравенством[latex]\left(1\right )[/latex](рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса [latex]\lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1[/latex], переходим в соотношении [latex]\left(1\right )[/latex] к пределу при [latex]x \to 0[/latex], получаем искомое равенство
[latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}[/latex]
Замечание
В последнем равенстве мы использовали тот факт, что [latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1[/latex]
Этот факт доказывается при помощи замены переменной [latex]t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0[/latex]
[latex]\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20[/latex]
Используем тригонометрическую формулу [latex]1-\cos{2a}=2\sin^2{a}[/latex]
[latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=[/latex]
[latex]\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0 [/latex]
0 из 8 заданий окончено
Вопросы:
Тест на использование первого замечательно предела
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||
Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}[/latex]
Перечитайте теоретический материал
Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ 5x}{x}[/latex]
Правильный ответ 5
Попробуйте замену [latex]t=5x;x=\frac{t}{5}[/latex]
Найти предел [latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}[/latex], если m и n -целые числа
Попробуйте умножить числитель на [latex]m\cdot nx[/latex] и знаменатель на [latex]n\cdot mx[/latex]
Найдите предел [latex] \lim_{x \to \infty }\frac{\sin\ x}{x}[/latex]
Обращайте внимание на то к чему стремится переменая
Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{\sin{x}-\sin{a}}{x-a}[/latex]
Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{tg\ x-tg\ a}{x-a}[/latex]
Найти предел [latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{\cos{x}}}{1-\cos{\sqrt{x}}}[/latex]
Правильный ответ 0
Отсортируйте по значения пределов по возростанию
Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)