Перейти к содержимому

ПриМат

Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"

  • Начало
  • Математический анализ
    • Лекции по матану
    • Электронный конспект
    • Занимательные факты о Фихтенгольце
    • Г.М.Фихтенгольц: 125 лет со дня рождения
  • Алгебра и геометрия
    • Лекции по алгебре и геометрии
    • Практика по алгебре и геометрии
    • Учебники по алгебре и геометрии
  • «Квант»
  • Курсовая работа
    • Задание
    • Матан. Что делать?
    • Алгебра. Что делать?
    • Типичные ошибки
  • Советы по…
    • SVG
    • JavaScript
    • Latex
ПриМат

Автор: Станислав Чмиленко

Непрерывность элементарных функций

Спойлер
  1. Утверждение 1
  2. Утверждение 2
  3. Утверждение 3
  4. Утверждение 4
  5. Утверждение 5
  6. Утверждение 6
  7. Утверждение 7
  8. Утверждение 8
  9. Тест
  10. Источники

[свернуть]

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени [latex]n[/latex], т. е. функцию вида

[latex]P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.[/latex]

Эта функция непрерывна на [latex]R.[/latex]

Спойлер

Функция [latex]y=C,[/latex] где [latex]C[/latex] — постоянно непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=0[/latex]при любом[latex]x.[/latex] Функция [latex]y=x[/latex]непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=\Delta x \to 0[/latex]при[latex]\Delta x \to 0.[/latex] Поэтому функция[latex]y=a_{k}x^k,[/latex] где [latex]k\in\mathbb{N},[/latex] непрерывна на [latex]R[/latex] как произведение непрерывных функций. Так как многочлен [latex]P_{n}(x)[/latex]есть сумма непрерывных функций вида [latex]a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),[/latex] то он непрерывен на[latex]R.[/latex]

[свернуть]

Рациональная функция, т. е. функция вида [latex]f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},[/latex] где [latex]P_{n}(x),Q_{m}(x)[/latex] — многочлены степени [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена [latex]Q_{m}(x).[/latex]

Спойлер

В самом деле, если [latex]Q_{m}(x)\neq 0,[/latex] то из непрерывности многочленов [latex]P_{n}[/latex] и [latex]Q_{m}[/latex] следует непрерывность функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}.[/latex]

[свернуть]

Утверждение 2

Если [latex] x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) [/latex] и [latex] x\neq 0,[/latex] то [latex] \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).[/latex]

Спойлер

Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке [latex] O [/latex] (рис. 12.1). Пусть [latex] \angle AOB=x,[/latex] где [latex]0<x<\frac{\pi}{2} [/latex].

121

Пусть [latex] C [/latex]  — проекция точки [latex] B[/latex] на ось [latex]Ox[/latex], [latex] D [/latex] луча [latex] OB [/latex] и прямой, проведенной через точку [latex] A [/latex] перпендикулярно оси [latex] Ox.[/latex] Тогда  [latex]BC=sin x, DA=tgx.[/latex]

Пусть [latex]S_{1}, S_{2}, S_{3}[/latex] — площади треугольника [latex]AOB,[/latex] сектора[latex]AOB[/latex] и треугольника [latex]AOD[/latex] соответственно. Тогда

[latex]S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,[/latex]

[latex]S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,[/latex]

[latex]S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.[/latex]

Так как [latex]S_{1}<S_{2}<S_{3},[/latex] то [latex]\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )[/latex]

Если [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex]  то [latex]\sin{x}>0,[/latex] и поэтому неравенство[latex]\left ( 2 \right )[/latex] равносильно неравенству

[latex]1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}[/latex]

откуда следует, что при  [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex] выполняется неравенство [latex]\left ( 1 \right ).[/latex] Так
как [latex]\frac{x}{\sin{x}}[/latex] и [latex]\cos{x}[/latex] — четные функции, то неравенство  [latex]\left ( 1 \right )[/latex] справедливо и при[latex]x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).[/latex]

[свернуть]

 Следствие

Первый замечательный предел

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex]

Подробнее

 Замечание

Из неравенства[latex]\left(2\right )[/latex]следует, что [latex]tg\ x>x[/latex] при [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).[/latex]

Утверждение 3

Для всех [latex]x\in\mathbb{R}[/latex]справедливо неравенство

[latex]\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).[/latex]

Спойлер

Неравенство  [latex]\left ( 4 \right )[/latex]  выполняется при  [latex]x=0.[/latex]

Пусть [latex]x\neq0.[/latex]

Если  [latex]\left | x \right |<\frac{\pi}{2},[/latex] то из утверждения  [latex]\left (1\right )[/latex] следует что

 [latex]-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow[/latex]

[latex]\left |\frac{\sin{x}}{x} \right |<1 \ \ \Rightarrow\left | \sin{x} \right |<\left | x \right |[/latex]

Если  [latex]\left | x \right |\geqslant\frac{\pi}{2},[/latex] то тогда доказываемое неравенство очевидно.

[свернуть]

Утверждение 4

Функции [latex]y=\sin{x}[/latex] и [latex]y=\cos{x}[/latex] непрерывны на всем множестве [latex]\mathbb{R}.[/latex]

Спойлер

Требуется доказать, что

[latex]\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},[/latex]

а именно

[latex]\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon [/latex]

[latex]\left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |=\left | 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right | =2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\left |\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right |\leqslant[/latex]

[latex]\leqslant 2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\leqslant 2\left |\frac{x-x_{0}}{2} \right |=\left | x-x_{0} \right |<\delta \leqslant \varepsilon[/latex]

То есть [latex]\forall \varepsilon >0[/latex]если взять[latex]\delta = \frac{\varepsilon }{2}[/latex], то[latex]\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon[/latex]

Для функции [latex]\cos{x}[/latex] доказывается аналогично

 

[свернуть]

Следствие

Функция [latex]tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/latex] — непрерывная при [latex]x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}[/latex]

Утверждение 5

Рассмотрим несколько  функции с их графиками

  1. [latex]y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right][/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер

    sin x2

    [свернуть]
  2. [latex]y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right][/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер


    cos x

    [свернуть]
  3. [latex]y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)[/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер


    tg x

    [свернуть]
  4. [latex]y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)[/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер


    ctg x

    [свернуть]

 

Тогда по теореме существуют обратные  непрерывные монотонные функции соответственно

  1. [latex]y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер


    arcsin x

    [свернуть]
  2. [latex]y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер


    arccos x

    [свернуть]
  3. [latex]y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер


    arctg x

    [свернуть]
  4. [latex]y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер


    arcctg x

    [свернуть]

 Утверждение 6

Функция [latex]y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1[/latex] — монотонна непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] то есть

[latex]\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}[/latex]

и тогда функция [latex]y=\log_{a}{x}[/latex] — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

[latex]sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex]

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на [latex]\mathbb{R}[/latex], причем [latex]sh\ x[/latex]— нечетная функция, а [latex]ch\ x[/latex] — четная функция.

Спойлер


hiper

[свернуть]

Из определения функций  [latex]sh\ x[/latex] и [latex]ch\ x[/latex] следует, что

[latex]sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,[/latex]

[latex] ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x[/latex]

 По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

[latex]th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x} [/latex]

Функция [latex]th\ x[/latex] определена и непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] а функция [latex]cth\ x[/latex] определена и непрерывна на множестве [latex]\mathbb{R}[/latex] с выколотой точкой [latex]x= 0.[/latex] Обе функции нечетные.

Спойлер

thcht

[свернуть]

Утверждение 8

Пусть функции [latex]u(x)[/latex]  и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right ),[/latex] причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0,[/latex] Тогда функцию  [latex]y,[/latex] определяемую формулой

[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

будем называть показательно-степенной и обозначать 

[latex]y=u(x)^{v(x)}[/latex]

Таким образом, исходя из определения

[latex]u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

Если [latex]u,v[/latex] — функции, непрерывные на [latex]\Delta,[/latex] то функция [latex]u^v[/latex] непрерывна на [latex]\Delta[/latex] как суперпозиция непрерывных функций  [latex]e^t[/latex] и [latex]t = v(x)\ln{u(x)}[/latex].

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

Информация

Непрерывность элементарных функций

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
 
 
Ваш результат
 
 

Рубрики

  1. Нет рубрики 0%
  2. Математический анализ 0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
captcha
максимум из 16 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре
  1. Задание 1 из 5
    1.

    Выберите правильные утверждения

    Правильно

    Неправильно

  2. Задание 2 из 5
    2.

    Установите соответствие

    Элементы сортировки
    • Нечетная функция
    • Четная функция
    • $$sh\ x$$
      • $$ch\ x$$
        Правильно

        Неправильно

      • Задание 3 из 5
        3.

        Вставьте пропущенное слово в определение

        • Многочлен является (непрерывной) функцией на всей числовой прямой
        Правильно

        Неправильно

      • Задание 4 из 5
        4.

        Закончите определение: Пусть функции [latex]u(x)[/latex] и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right )[/latex] , причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0[/latex]. Тогда функцию [latex]y[/latex], определяемую формулой

        [latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

        будем называть…

        Правильно

        Неправильно

      • Задание 5 из 5
        5.

        Оцените насколько нравится вам данный тест, где 1 — совсем ненравится,а 5 — очень нравится

        Правильно

        Неправильно

      Источники

      Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

      В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

      Поделиться ссылкой:

      • Нажмите здесь, чтобы поделиться контентом на Facebook. (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на LinkedIn (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на Twitter (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на Reddit (Открывается в новом окне)
      • Нажмите для печати (Открывается в новом окне)
      Автор Станислав ЧмиленкоОпубликовано 19/05/201305/03/2015Рубрики Математический анализМетки гиперболические функции, граница функции, Мат.анализ, матан, математический анализ, непрерывная функция, Предел функции, предел., степенно-показательная функция, тригонометрические функции3 комментария к записи Непрерывность элементарных функций

      Замена переменной при вычислении предела

      Теорема

       

      Если существуют

      $latex \lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $latex \lim_{y\to b}f(y)=A $

      причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие $latex \varphi (x)\neq b $, то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции $latex f(\varphi (x)) $ и справедливо равенство

      $latex \lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A $


      Спойлер

      Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

      $latex
      \forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a
      \Rightarrow
      \{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b
      \Rightarrow
      f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A
      $

      [свернуть]

      Примеры

      Спойлер

      Доказать что     $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1 $

      $latex
      \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=
      \left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]=
      \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)

      [свернуть]
      Спойлер

      Доказать что     $latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1 $

      $latex
      \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=
      \left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$$latex
      \lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$$latex
      \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$(см. Первый замечательный предел)

      [свернуть]

      Тест

      Лимит времени: 0

      Навигация (только номера заданий)

      0 из 5 заданий окончено

      Вопросы:

      1. 1
      2. 2
      3. 3
      4. 4
      5. 5

      Информация

      Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

      Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

      Тест загружается...

      Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

      Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

      Результаты

      Правильных ответов: 0 из 5

      Время вышло

      Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

      Рубрики

      1. Математический анализ 0%
      Ваш результат был записан в таблицу лидеров
      Загрузка
      captcha
      1. 1
      2. 2
      3. 3
      4. 4
      5. 5
      1. С ответом
      2. С отметкой о просмотре
      1. Задание 1 из 5
        1.


        Для чего используется метод замены переменных?

        Правильно

        Неправильно

      2. Задание 2 из 5
        2.

        Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctg3x}{7x}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

        Правильный ответ 3/7

      3. Задание 3 из 5
        3.

        Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{arcsin\frac{x}{2}}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

        Правильный ответ 10

      4. Задание 4 из 5
        4.

        Найти предел методом замены переменной

        [latex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

      5. Задание 5 из 5
        5.

        Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

        Правильный ответ 1/2

      Источники

      Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

      В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)  

      Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

      Поделиться ссылкой:

      • Нажмите здесь, чтобы поделиться контентом на Facebook. (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на LinkedIn (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на Twitter (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на Reddit (Открывается в новом окне)
      • Нажмите для печати (Открывается в новом окне)
      Автор Станислав ЧмиленкоОпубликовано 19/05/201306/06/2013Рубрики Математический анализМетки граница функции, Мат.анализ, матанализ, математический анализ, Предел функции, предел., теоремаДобавить комментарий к записи Замена переменной при вычислении предела

      Первый замечательный предел

      sin x xПервым замечательным пределом называется равенство

      [latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex] ,

      где величина [latex]x[/latex] выражена в радианах.

       

       

      Спойлер

      Воспользуемся неравенством[latex]\left(1\right )[/latex](рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса [latex]\lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1[/latex], переходим в соотношении [latex]\left(1\right )[/latex] к  пределу при   [latex]x \to 0[/latex], получаем искомое равенство

      [свернуть]

      Примеры

      Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

      Спойлер

      Найти предел выражения [latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}[/latex]

      [latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}[/latex]

      Замечание

      В последнем равенстве мы использовали тот факт, что [latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1[/latex]

      Этот факт доказывается при помощи замены переменной [latex]t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0[/latex]

      [свернуть]
      Спойлер

      Найти предел выражения [latex]\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}[/latex]

      [latex]\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20[/latex]

      [свернуть]
      Спойлер

      Найти предел выражения [latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}[/latex]

      Используем тригонометрическую формулу [latex]1-\cos{2a}=2\sin^2{a}[/latex]

      [latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=[/latex]

      [latex]\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0 [/latex]

      [свернуть]

      Тест

      Лимит времени: 0

      Навигация (только номера заданий)

      0 из 8 заданий окончено

      Вопросы:

      1. 1
      2. 2
      3. 3
      4. 4
      5. 5
      6. 6
      7. 7
      8. 8

      Информация

      Тест на использование первого замечательно предела

      Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

      Тест загружается...

      Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

      Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

      Результаты

      Время вышло

      Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

      Средний результат
       
       
      Ваш результат
       
       

      Рубрики

      1. Математический анализ 0%
      Ваш результат был записан в таблицу лидеров
      Загрузка
      captcha
      максимум из 18 баллов
      Место Имя Записано Баллы Результат
      Таблица загружается
      Нет данных
      1. 1
      2. 2
      3. 3
      4. 4
      5. 5
      6. 6
      7. 7
      8. 8
      1. С ответом
      2. С отметкой о просмотре
      1. Задание 1 из 8
        1.

        Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

        Перечитайте теоретический материал

      2. Задание 2 из 8
        2.

        Найти предел [latex]\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ 5x}{x}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

        Правильный ответ 5

        Подсказка

        Попробуйте замену [latex]t=5x;x=\frac{t}{5}[/latex]

      3. Задание 3 из 8
        3.

        Найти предел [latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin{mx}}{\sin{nx}}[/latex], если m и n -целые числа

        Правильно

        Неправильно

        Подсказка

        Попробуйте умножить числитель на [latex]m\cdot nx[/latex] и знаменатель на [latex]n\cdot mx[/latex]

      4. Задание 4 из 8
        4.

        Найдите предел [latex] \lim_{x \to \infty }\frac{\sin\ x}{x}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

        Обращайте внимание на то к чему стремится переменая

      5. Задание 5 из 8
        5.

        Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{\sin{x}-\sin{a}}{x-a}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

      6. Задание 6 из 8
        6.

        Найти предел [latex] \lim_{x \to a}\frac{tg\ x-tg\ a}{x-a}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

      7. Задание 7 из 8
        7.

        Найти предел [latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{\cos{x}}}{1-\cos{\sqrt{x}}}[/latex]

        Правильно

        Неправильно

        Правильный ответ 0

      8. Задание 8 из 8
        8.

        Отсортируйте по значения пределов по возростанию

        • $$\lim_{x\to 0}x~ctg~3x$$
        • $$\lim_{x\to \pi/4}tg~2x~tg\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )$$
        • $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{5x}-\sin{3x}}{\sin{x}}$$
        • $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos{x}-\cos{3x}}{x^2}$$
        Правильно

        Неправильно

      Источники

      Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98). 

      В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

      Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

      Поделиться ссылкой:

      • Нажмите здесь, чтобы поделиться контентом на Facebook. (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на LinkedIn (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на Twitter (Открывается в новом окне)
      • Нажмите, чтобы поделиться на Reddit (Открывается в новом окне)
      • Нажмите для печати (Открывается в новом окне)
      Автор Станислав ЧмиленкоОпубликовано 19/05/201307/06/2013Рубрики Математический анализМетки граница функции, математический анализ, непрерывная функция, определение, Первый замечательный предел, Предел функции1 комментарий к записи Первый замечательный предел

      Мета

      • Войти
      • Лента записей
      • Лента комментариев
      • WordPress.org

      Рубрики

      • Алгебра (141)
      • Геометрия (50)
      • Дискретная математика (2)
      • Задачи «Квант» (197)
      • Курсовая работа (191)
      • Математический анализ (338)
        • Лекции по матану (54)
      • Организационное (2)
      • Разное (43)
      • Советы по… (1)

      Алгебра и геометрия на Dropbox

      • Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры
      • Виноградов И.М. Аналитическая геометрия Виноградов И.М. Аналитическая геометрия
      • Воеводин В.В. Линейная… Воеводин В.В. Линейная…
      • Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии
      • Ильин и Позняк. Аналитическая геометрия Ильин и Позняк. Аналитическая геометрия
      • Кострикин А.И. Введение… Кострикин А.И. Введение…
      • Курош А.Г. Курс… Курош А.Г. Курс…
      • Мальцев, Основы линейной алгебры Мальцев, Основы линейной алгебры
      • Постников М.М. Аналитическая геометрия Постников М.М. Аналитическая геометрия
      • Проскуряков И.В. Сборник… Проскуряков И.В. Сборник…
      • Фаддеев Д.К. Лекции… Фаддеев Д.К. Лекции…
      • Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Фаддеев Д.К., Соминский И.С.
      • Федорчук В.В. Курс… Федорчук В.В. Курс…
      • Цубербиллер О.Н. Задачи… Цубербиллер О.Н. Задачи…
      • Шафаревич и Ремизов Шафаревич и Ремизов

      Лучшее на Dropbox

      • Конкретная математика Конкретная математика
      • Математика и правдоподобные… Математика и правдоподобные…

      Математический анализ на Dropbox

      • В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс… 1
      • В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс… 2
      • Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.1 Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.1
      • Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.2
      • Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.3
      • Демидович Б.П. Сборник задач… Демидович Б.П. Сборник задач…
      • Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 1 Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 1
      • Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 2
      • Л.Д.Кудрявцев. Курс…, том 3
      • ТерКрикоров и Шабунин. Курс… ТерКрикоров и Шабунин. Курс…

      Разное на Dropbox

      • Виноградов. Основы теории чисел Виноградов. Основы теории чисел
      • Журнал "Квант" на Dropbox Журнал "Квант" на Dropbox
      • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления
      • Пискунов Н. С., т.2 Пискунов Н. С., т.2
      • Создай себе DropBox
      • Учим C++
      dr.Mazurok

      dr.Mazurok

      Software developer AI Scientist Ass.prof Odessa National I.I.Mechnikov University

      Личные Ссылки

      • http://igor.mazurok.com
      • http://cpp.mazurok.com
      • http://java.mazurok.com

      Проверенные Сервисы

      Посмотреть полный профиль →

      Посетители сегодня:
      • Начало
      • Математический анализ
        • Лекции по матану
        • Электронный конспект
        • Занимательные факты о Фихтенгольце
        • Г.М.Фихтенгольц: 125 лет со дня рождения
      • Алгебра и геометрия
        • Лекции по алгебре и геометрии
        • Практика по алгебре и геометрии
        • Учебники по алгебре и геометрии
      • «Квант»
      • Курсовая работа
        • Задание
        • Матан. Что делать?
        • Алгебра. Что делать?
        • Типичные ошибки
      • Советы по…
        • SVG
        • JavaScript
        • Latex
      ПриМат Сайт работает на WordPress