Непрерывность элементарных функций

Спойлер

[свернуть]

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени $n$ , т. е. функцию вида

$P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.$

Эта функция непрерывна на $R.$

Спойлер

Функция $y=C,$ где $C$ — постоянно непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=0$ при любом $x.$ Функция $y=x$ непрерывна на $R,$ так как $\Delta y=\Delta x \to 0$ при $\Delta x \to 0.$ Поэтому функция $y=a_{k}x^k,$ где $k\in\mathbb{N},$ непрерывна на $R$ как произведение непрерывных функций. Так как многочлен $P_{n}(x)$ есть сумма непрерывных функций вида $a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),$ то он непрерывен на $R.$

[свернуть]

Рациональная функция, т. е. функция вида $f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},$ где $P_{n}(x),Q_{m}(x)$ — многочлены степени $n$ и $m$ соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена $Q_{m}(x).$

Спойлер

В самом деле, если $Q_{m}(x)\neq 0,$ то из непрерывности многочленов $P_{n}$ и $Q_{m}$ следует непрерывность функции $f$ в точке $x_{0}.$

[свернуть]

Утверждение 2

Если $x \in \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right )$ и $x\neq 0,$ то $\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).$

Спойлер

Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке $O$ (рис. 12.1). Пусть $\angle AOB=x,$ где $0<x<\frac{\pi}{2}$ .

Пусть $C$ — проекция точки $B$ на ось $Ox$ , $D$ луча $OB$ и прямой, проведенной через точку $A$ перпендикулярно оси $Ox.$ Тогда $BC=sin x, DA=tgx.$

Пусть $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ — площади треугольника $AOB,$ сектора $AOB$ и треугольника $AOD$ соответственно. Тогда

$S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,$

$S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,$

$S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.$

Так как $S_{1}<S_{2}<S_{3},$ то $\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )$

Если $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ то $\sin{x}>0,$ и поэтому неравенство $\left ( 2 \right )$ равносильно неравенству

$1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}$

откуда следует, что при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )$ выполняется неравенство $\left ( 1 \right ).$ Так
как $\frac{x}{\sin{x}}$ и $\cos{x}$ — четные функции, то неравенство $\left ( 1 \right )$ справедливо и при $x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).$

[свернуть]

Следствие

Первый замечательный предел

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1$

Подробнее

Замечание

Из неравенства $\left(2\right )$ следует, что $tg\ x>x$ при $x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).$

Утверждение 3

Для всех $x\in\mathbb{R}$ справедливо неравенство

$\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).$

Спойлер

Неравенство $\left ( 4 \right )$ выполняется при $x=0.$

Пусть $x\neq0.$

Если $\left | x \right |<\frac{\pi}{2},$ то из утверждения $\left (1\right )$ следует что

$-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow$

$\left |\frac{\sin{x}}{x} \right |<1 \ \ \Rightarrow\left | \sin{x} \right |<\left | x \right |$

Если $\left | x \right |\geqslant\frac{\pi}{2},$ то тогда доказываемое неравенство очевидно.

[свернуть]

Утверждение 4

Функции $y=\sin{x}$ и $y=\cos{x}$ непрерывны на всем множестве $\mathbb{R}.$

Спойлер

Требуется доказать, что

$\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},$

а именно

$\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon$

$\left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |=\left | 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right | =2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\left |\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right |\leqslant$

$\leqslant 2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\leqslant 2\left |\frac{x-x_{0}}{2} \right |=\left | x-x_{0} \right |<\delta \leqslant \varepsilon$

То есть $\forall \varepsilon >0$ если взять $\delta = \frac{\varepsilon }{2}$ , то $\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon$

Для функции $\cos{x}$ доказывается аналогично

[свернуть]

Следствие

Функция $tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ — непрерывная при $x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Утверждение 5

Рассмотрим несколько функции с их графиками

$y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ строго возрастает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right]$ строго спадает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ строго возрастает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]
$y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)$ строго спадает и непрерывна

Спойлер

[свернуть]

Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно

$y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

Спойлер

[свернуть]
$y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right]$

Спойлер

[свернуть]
$y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

Спойлер

[свернуть]
$y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}$

Спойлер

[свернуть]

Утверждение 6

Функция $y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1$ — монотонна непрерывна на $\mathbb{R},$ то есть

$\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}$

и тогда функция $y=\log_{a}{x}$ — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

$sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на $\mathbb{R}$ , причем $sh\ x$ — нечетная функция, а $ch\ x$ — четная функция.

Спойлер

[свернуть]

Из определения функций $sh\ x$ и $ch\ x$ следует, что

$sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,$

$ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x$

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

$th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x}$

Функция $th\ x$ определена и непрерывна на $\mathbb{R},$ а функция $cth\ x$ определена и непрерывна на множестве $\mathbb{R}$ с выколотой точкой $x= 0.$ Обе функции нечетные.

Спойлер

[свернуть]

Утверждение 8

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ определены на промежутке $\Delta =\left ( a,b \right ),$ причем для всех $x \in \Delta$ выполняется условие $u(x)>0,$ Тогда функцию $y,$ определяемую формулой

$y=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

будем называть показательно-степенной и обозначать

$y=u(x)^{v(x)}$

Таким образом, исходя из определения

$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}$

Если $u,v$ — функции, непрерывные на $\Delta,$ то функция $u^v$ непрерывна на $\Delta$ как суперпозиция непрерывных функций $e^t$ и $t = v(x)\ln{u(x)}$ .

Тест

Непрерывность элементарных функций

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

Теорема

Если существуют

$\lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $\lim_{y\to b}f(y)=A$

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки $a$ выполняется условие $\varphi (x)\neq b$ , то в точке $a$ существует предел сложной функции $f(\varphi (x))$ и справедливо равенство

$\lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A$

Спойлер

Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

$\forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a \Rightarrow \{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b \Rightarrow f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A$

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}= \left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]= \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Спойлер

Доказать что $\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}= \left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$ $\lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$ $\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$ (см. Первый замечательный предел)