M1571. О доске, монете и возможных передвижениях

Задача из журнала «Квант» (1996, №6)

Условие

Дана прямоугольная доска ABCD со сторонами AB=20 и BC=12, разбитая на 20\times12 единичных квадратов. Пусть r — данное положительное целое число. За один ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и только том случае, когда расстояние между их центрами равно \sqrt{r}. Требуется найти последовательность ходов, переводящую монету из единичного квадрата с вершиной A в единичный квадрат с вершиной B.

  1. Докажите, что это невозможно, когда r делится на 2 или на 3.
  2. Докажите, что это можно сделать при r=73.
  3. Можно ли это сделать при r=97?

dim11.svg

Решение

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A и направим оси Ax и Ay вдоль отрезков AB и AD соответственно. Единица длины будет равна стороне единичного квадрата. Нам необходимо найти путь из точки (0;0) в точку (19;0) такой, что для каждого хода (x;y)\rightarrow(x+a,y+b) выполняется равенство a^2+b^2=r^2.
dim2213.svg

Задание №1

Если r чётно, то для каждого целого решения уравнения a^2+b^2=r^2 сумма a+b чётна. Для каждой точки (x;y), в которую можно попасть из (0;0), x+y чётно. Следовательно, в точку (19;0) попасть невозможно.

Задание №2

Один из примеров продвижения монеты из (0;0) в (19;0) при r=73 такой: (0;0)\rightarrow(3;8)\rightarrow(11;5)\rightarrow(19;2)\rightarrow(16;10)\rightarrow(8;7)\rightarrow(0;4)\rightarrow(8;1)\rightarrow(11;9)\rightarrow(3;6)\rightarrow(11;3)\rightarrow(19;0)
dim32.svg

Задание №3

Пусть R=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq19,0\leq{j}\leq19\right\}, P=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq49,4\leq{j}\leq7\right\}, Q — их разность: Q=R\setminus{P}. Так как число 97 представимо в виде суммы квадратом единственным образом: 9^2+4^2, то каждый ход состоит из одного из векторов (\pm4;\pm9), (\pm9;\pm4). Ход типа (\pm9;\pm4) приводит нас в точку Q из точки из множества P и наоборот, тогда как ход (\pm4;\pm9) не выводит нас из множества Q (заметим, что за один шаг нашими ходами нельзя попасть из точки из P в точку из P). Каждый ход типа (\pm9;\pm4) изменяет чётность x-координаты, поэтому, чтобы попасть из (0;0) в (19;0), требуется нечётное число таких ходов. Каждый такой ход от точки из P в точку из Q и наоборот. Значит после нечётного числа ходов из точки (0;0)\in{Q} попадаем в точку из P, но (19;0)\in{Q}. Поэтому требуемое невозможно.

Д. Терешин

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

  • функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную F при x\in[a;+\infty);
  • функция g непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [a;+\infty);
  • \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.

Тогда интеграл I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится.

Доказательство показать

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси [a,+\infty):

  • функция f непрерывна и интеграл \int_{a}^{+\infty}f(x)dx сходится;
  • функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится.

Доказательство показать

Примеры

Рассмотрим интеграл \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx. Исследуем его на сходимость.

Решение показать

Теперь рассмотрим интеграл \int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}. Проверим его на сходимость.

Решение показать

Литература
  1. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
  3. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
  4. Конспект З.М. Лысенко
Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Введём понятия абсолютно и условно сходящихся несобственных интегралов.

Пусть дан несобственный интеграл I=\int_{a}^{b}f(x)dx:

  • интеграл I называется абсолютно сходящимся, если сходится \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx;
  • интеграл I называется условно сходящимся, если интеграл I сходится, а  \widetilde{I} — расходится.

В случае абсолютной сходимости интеграла I говорят, что функция f(x) абсолютно интегрируема на полусегменте \left[a,b\right).

Пример
... показать
Теорема 1

Пусть f\in{R([a,\xi))} для всех a<\xi<b. Тогда из сходимости несобственного интеграла \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx следует сходимость несобственного интеграла I=\int_{a}^{b}f(x)dx и справедливо неравенство:

\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx
... показать
Теорема 2

Если функция g(x) абсолютно интегрируема на промежутке \left[a;b\right), то несобственные интегралы I_{1}=\int_{a}^{b}f(x)dx и I_{2}=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx сходятся или расходятся одновременно.

... показать

Замечание

Ни на сходимость, ни на характер сходимости прибавление или вычитание под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет.

Пример

В качестве примера, исследуем интеграл на абсолютную и условную сходимость. Возьмём интеграл I=\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx.

... показать
Литература
Тесты

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Проверьте свои знание по теме «Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов».