M1571. О доске, монете и возможных передвижениях

Задача из журнала «Квант» (1996, №6)

Условие

Дана прямоугольная доска ABCD со сторонами AB=20 и BC=12, разбитая на 20\times12 единичных квадратов. Пусть r — данное положительное целое число. За один ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и только том случае, когда расстояние между их центрами равно \sqrt{r}. Требуется найти последовательность ходов, переводящую монету из единичного квадрата с вершиной A в единичный квадрат с вершиной B.

  1. Докажите, что это невозможно, когда r делится на 2 или на 3.
  2. Докажите, что это можно сделать при r=73.
  3. Можно ли это сделать при r=97?

dim11.svg

Решение

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A и направим оси Ax и Ay вдоль отрезков AB и AD соответственно. Единица длины будет равна стороне единичного квадрата. Нам необходимо найти путь из точки (0;0) в точку (19;0) такой, что для каждого хода (x;y)\rightarrow(x+a,y+b) выполняется равенство a^2+b^2=r^2.
dim2213.svg

Задание №1

Если r чётно, то для каждого целого решения уравнения a^2+b^2=r^2 сумма a+b чётна. Для каждой точки (x;y), в которую можно попасть из (0;0), x+y чётно. Следовательно, в точку (19;0) попасть невозможно.

Задание №2

Один из примеров продвижения монеты из (0;0) в (19;0) при r=73 такой: (0;0)\rightarrow(3;8)\rightarrow(11;5)\rightarrow(19;2)\rightarrow(16;10)\rightarrow(8;7)\rightarrow(0;4)\rightarrow(8;1)\rightarrow(11;9)\rightarrow(3;6)\rightarrow(11;3)\rightarrow(19;0)
dim32.svg

Задание №3

Пусть R=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq19,0\leq{j}\leq19\right\}, P=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq49,4\leq{j}\leq7\right\}, Q — их разность: Q=R\setminus{P}. Так как число 97 представимо в виде суммы квадратом единственным образом: 9^2+4^2, то каждый ход состоит из одного из векторов (\pm4;\pm9), (\pm9;\pm4). Ход типа (\pm9;\pm4) приводит нас в точку Q из точки из множества P и наоборот, тогда как ход (\pm4;\pm9) не выводит нас из множества Q (заметим, что за один шаг нашими ходами нельзя попасть из точки из P в точку из P). Каждый ход типа (\pm9;\pm4) изменяет чётность x-координаты, поэтому, чтобы попасть из (0;0) в (19;0), требуется нечётное число таких ходов. Каждый такой ход от точки из P в точку из Q и наоборот. Значит после нечётного числа ходов из точки (0;0)\in{Q} попадаем в точку из P, но (19;0)\in{Q}. Поэтому требуемое невозможно.

Д. Терешин

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

  • функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную F при x\in[a;+\infty);
  • функция g непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [a;+\infty);
  • \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.

Тогда интеграл I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится.

Спойлер

Покажем, что функция fg удовлетворяет условию Коши на промежутке [a,+\infty). Проинтегрируем эту функцию по частям:

\int\limits_{\xi'}^{\xi''}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_{\xi'}^{\xi''}-\int\limits_{\xi'}^{\xi''}F(x)g'(x)dx,

где \xi',\xi''>a.
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

\begin{vmatrix}\left.\begin{matrix}(Fg)\end{matrix}\right|_{\xi'}^{\xi''}\end{vmatrix}\leqM(|g(\xi')|+|g(\xi'')|
\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi'}^{\xi''}F(x)g'(x)dx\end{vmatrix}\leqM\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi'}^{\xi''}|g'(x)|dx\end{vmatrix}.

Обратим внимание на то, что при g'(x)\leq0 выполняется |g'(x)|=-g'(x), и при g'(x)\geq0 выполняется |g'(x)|=g'(x). Рассмотрим эти два случая:

  • I_{1}=\int\limits_{\xi'}^{\xi''}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi'}^{\xi''}g'(x)dx=g(\xi')-g(\xi'');
  • I_{1}=\int\limits_{\xi'}^{\xi''}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi'}^{\xi''}g'(x)dx=g(\xi'')-g(\xi').

Получается, что

|I_{1}|=\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi'}^{\xi''}|g'(x)|dx\end{vmatrix}\leq(|g(\xi')|+|g(\xi'')|).

Тогда:

\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi'}^{\xi''}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(|g(\xi')|+|g(\xi'')|)(*)

Поскольку \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0, то

 \forall\varepsilon>0\exists\delta_{\varepsilon}>0:\forallx\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)\rightarrow|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4M}

Для \xi',\xi''\in[\delta_{\varepsilon},+\infty) из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi'}^{\xi''}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M})=\varepsilon.

Получили, что функция fg удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится.

[свернуть]

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси [a,+\infty):

  • функция f непрерывна и интеграл \int_{a}^{+\infty}f(x)dx сходится;
  • функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится.

Спойлер

Заметим, что интегралы \int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx и \int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции g, одна из функций g или -g убывает.
Предположим, что убывает функция g. Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c. Так как функция g убывает, то при x стремящемся к +\infty разность g(x)-c тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций f и g в следующем виде:

f(x)g(x)=f(x)[g(x)-c]+cf(x).

В силу сходимости интеграла \int_{a}^{+\infty}f(x)dx, интеграл \int_{a}^{+\infty}cf(x)dx сходится. Из этого же условия следует, что интеграл F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt ограничен. Действительно, из существования конечного предела \lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx следует ограниченность функции F в окрестности U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\} бесконечно удалённой точки +\infty. Из непрерывности функции F на сегменте [a,b] следует её ограниченность. Получили, что F ограничена на полуинтервале [a,+\infty). Поскольку первообразная функции f это F, то f имеет ограниченную первообразную на [a,+\infty).
Для интеграла \int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости \int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx, интеграл \int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится, что и требовалось доказать.

[свернуть]

Примеры

Рассмотрим интеграл \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx. Исследуем его на сходимость.

Спойлер

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов \int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty} и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

\sin(x^2)=(x\sin(x^2))(\frac{1}{x}).

f(x)=x\sin(x^2), g(x)=\frac{1}{x}. Пусть

F(x)=\int_{1}^{x}t\sin(t^2)dt,

и применим подстановку z=t^2. Тогда

\forall{x}:F(x)=\frac{\cos(1)-\cos(x^2)}{2},|F(x)|\leq1.

Функция g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0, а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

[свернуть]

Теперь рассмотрим интеграл \int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}. Проверим его на сходимость.

Спойлер

Пусть f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}, g(x)=arctg(x). Интеграл \int_{1}^{\infty}f(x)dx сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы \begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2, а \frac{1}{x^p} монотонно стремится к 0. Функция g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0. По признаку Абеля интеграл сходится.

[свернуть]

Литература
  1. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
  3. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
  4. Конспект З.М. Лысенко
Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Введём понятия абсолютно и условно сходящихся несобственных интегралов.

Пусть дан несобственный интеграл I=\int_{a}^{b}f(x)dx:

  • интеграл I называется абсолютно сходящимся, если сходится \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx;
  • интеграл I называется условно сходящимся, если интеграл I сходится, а  \widetilde{I} — расходится.

В случае абсолютной сходимости интеграла I говорят, что функция f(x) абсолютно интегрируема на полусегменте \left[a,b\right).

Пример
Спойлер

sqrtx
Интеграл \int_{1}^{+\infty}\sqrt{x}dx расходится при x\geq1.
1x2
Интеграл \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2} абсолютно сходится при x\geq1.

[свернуть]
Теорема 1

Пусть f\in{R([a,\xi))} для всех a<\xi<b. Тогда из сходимости несобственного интеграла \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx следует сходимость несобственного интеграла I=\int_{a}^{b}f(x)dx и справедливо неравенство:

\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx
Спойлер

Т.к интеграл \widetilde{I} сходится, то для него выполняется условие Коши:

\forall\varepsilon>0\;\exists\delta_\varepsilon\in (a,b)\forall\xi',\xi''\in(\delta_\varepsilon,b)\Rightarrow\left|\int\limits_{\xi'}^{\xi''}|f(x)|dx\right|<\varepsilon.

Т.к. I — несобственный интеграл, то подынтегральная функция f интегрируема по Риману на сегменте [\xi',\xi'']. Из условия следует, что функция |f(x)| интегрируема по Риману на этом же сегменте.
Т.к. функция интегрируема на каждом отрезке с концами \xi' и \xi'', то выполняется неравенство:

\left|\int\limits_{\xi'}^{\xi''}f(x)dx\right|\leq\left|\int\limits_{\xi'}^{\xi''}|f(x)|dx\right|.

Отсюда следует, что

\forall\varepsilon>0\;\exists\delta_\varepsilon\in (a,b)\forall\xi',\xi''\in(\delta_\varepsilon,b)\Rightarrow\left|\int\limits_{\xi'}^{\xi''}f(x)dx\right|<\varepsilon.

Таким образом, функция f удовлетворяет условию Коши и интеграл I сходится.
Докажем исследуемое неравенство. Воспользуемся следующим  неравенством:

\left|\int\limits_{a}^{\xi}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{\xi}|f(x)|dx

Данное н-во справедливо при любом \xi\in[a,b). Т.к интегралы I и \widetilde{I} сходятся, то, переходя к пределу при \xi стремящемся к b справа, получим требуемое неравенство.

[свернуть]
Теорема 2

Если функция g(x) абсолютно интегрируема на промежутке \left[a;b\right), то несобственные интегралы I_{1}=\int_{a}^{b}f(x)dx и I_{2}=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx сходятся или расходятся одновременно.

Спойлер

Пусть I=\int_{a}^{b}g(x)dx,\;\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|g(x)|dx,\;\widetilde{I}_{1}=\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,\;\widetilde{I}_{2}=\int_{a}^{b}\left|f(x)+g(x)\right|dx.

  1. Из неравенства \left|f+g\right|\leq\left|f\right|+\left|g\right|, критерия Коши и сходимости интегралов \widetilde{I} и \widetilde{I}_{1} следует сходимость интеграла \widetilde{I}_{2}.
  2. Пусть интеграл I_{1} сходится, а \widetilde{I}_{1} расходится.  Тогда (из сходимости интегралов I_{1} и I)  интеграл I_{2} сходится, а \widetilde{I}_{2}  расходится. В противном случае из н-ва \left|f\right|\leq\left|f+g\right|+\left|g\right| и сходимости \widetilde{I} следовала бы сходимость \widetilde{I}_{1}. Аналогично рассматривается ситуация с условной сходимостью интегралов I_{2} и I_{1}.
  3. Из расходимости I_{1} следует расходимость I_{2}. Если бы это было не так, то из сходимости I  и равенства f=\left(f+g\right)-g следовала бы сходимость I_{1}.

[свернуть]

Замечание

Ни на сходимость, ни на характер сходимости прибавление или вычитание под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет.

Пример

В качестве примера, исследуем интеграл на абсолютную и условную сходимость. Возьмём интеграл I=\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx.

Спойлер

I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx

Рассмотрим три ситуации:

  • \alpha>1
  • 0<\alpha\leq1
  • \alpha\leq0
  1. Пусть \alpha>1\begin{vmatrix}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}\end{vmatrix}\leq\frac{1}{x^\alpha}, следовательно, в силу сходимости интеграла \int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}, сходится интеграл \widetilde{I}=\int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx, т.е. интеграл I сходится абсолютно. Отсюда, по теореме 1, следует сходимость интеграла I.
  2. Рассмотрим второй случай. Интегрируя по частям, получим
    \left.\begin{matrix}I=-\frac{\cos{x}}{x^\alpha}\end{matrix}\right|_{1}^{+\infty}-\alpha\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx,

    где \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha}}=0, а \int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx сходится абсолютно. Следовательно, \int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx сходится и интеграл I сходится при 0<\alpha\leq1. Интеграл \int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx при 0<\alpha\leq1 расходится, а значит, что при 0<\alpha\leq1 интеграл I сходится условно.

  3. Рассмотрим \alpha\leq0. Используя критерий Коши, докажем расходимость интеграла I. Пусть \delta>1. Выберем число n\in\mathbb{N} таким, чтобы 2n\pi>\delta, и положим
    \xi'_{\delta}=2n\pi+\frac{\pi}{6},\xi''_{\delta}=2n\pi+\frac{5\pi}{6}.

    Т.к. при x\in[\xi'_{\delta};\xi''_{\delta}] выполняется неравенство \sin{x}\geq\frac{1}{2} и \frac{1}{x^\alpha}\geq1 при x\geq1 и \alpha\leq0, то

    \begin{vmatrix}\int\limits_{\xi'_{\delta}}^{\xi''_{\delta}}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\end{vmatrix}=\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\geq\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}dx=\frac{\pi}{3}.

    Очевидно, что условие Коши не выполняется и интеграл расходится при \alpha\leq0.

Ответ: I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx:

  • абсолютно сходится при \alpha>1;
  • условно сходится при 0<\alpha\leq1;
  • расходится при \alpha\leq0.

[свернуть]
Литература
Тесты

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Проверьте свои знание по теме «Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов».