M1571. О доске, монете и возможных передвижениях

Задача из журнала «Квант» (1996, №6)

Условие

Дана прямоугольная доска [latex]ABCD[/latex] со сторонами [latex]AB=20[/latex] и [latex]BC=12[/latex], разбитая на [latex]20\times12[/latex] единичных квадратов. Пусть [latex]r[/latex] — данное положительное целое число. За один ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и только том случае, когда расстояние между их центрами равно [latex]\sqrt{r}[/latex]. Требуется найти последовательность ходов, переводящую монету из единичного квадрата с вершиной [latex]A[/latex] в единичный квадрат с вершиной [latex]B[/latex].

  1. Докажите, что это невозможно, когда [latex]r[/latex] делится на [latex]2[/latex] или на [latex]3[/latex].
  2. Докажите, что это можно сделать при [latex]r=73[/latex].
  3. Можно ли это сделать при [latex]r=97[/latex]?

dim11.svg

Решение

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке [latex]A[/latex] и направим оси [latex]Ax[/latex] и [latex]Ay[/latex] вдоль отрезков [latex]AB[/latex] и [latex]AD[/latex] соответственно. Единица длины будет равна стороне единичного квадрата. Нам необходимо найти путь из точки [latex](0;0)[/latex] в точку [latex](19;0)[/latex] такой, что для каждого хода [latex](x;y)\rightarrow(x+a,y+b)[/latex] выполняется равенство [latex]a^2+b^2=r^2[/latex].
dim2213.svg

Задание №1

Если [latex]r[/latex] чётно, то для каждого целого решения уравнения [latex]a^2+b^2=r^2[/latex] сумма [latex]a+b[/latex] чётна. Для каждой точки [latex](x;y)[/latex], в которую можно попасть из [latex](0;0)[/latex], [latex]x+y[/latex] чётно. Следовательно, в точку [latex](19;0)[/latex] попасть невозможно.

Задание №2

Один из примеров продвижения монеты из [latex](0;0)[/latex] в [latex](19;0)[/latex] при [latex]r=73[/latex] такой: [latex](0;0)\rightarrow(3;8)\rightarrow(11;5)\rightarrow(19;2)\rightarrow(16;10)\rightarrow(8;7)\rightarrow(0;4)\rightarrow(8;1)\rightarrow(11;9)\rightarrow(3;6)\rightarrow(11;3)\rightarrow(19;0)[/latex]
dim32.svg

Задание №3

Пусть [latex]R=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq19,0\leq{j}\leq19\right\}[/latex], [latex]P=\left\{(i;j);0\leq{i}\leq49,4\leq{j}\leq7\right\}[/latex], [latex]Q[/latex] — их разность: [latex]Q=R\setminus{P}[/latex]. Так как число [latex]97[/latex] представимо в виде суммы квадратом единственным образом: [latex]9^2+4^2[/latex], то каждый ход состоит из одного из векторов [latex](\pm4;\pm9)[/latex], [latex](\pm9;\pm4)[/latex]. Ход типа [latex](\pm9;\pm4)[/latex] приводит нас в точку [latex]Q[/latex] из точки из множества [latex]P[/latex] и наоборот, тогда как ход [latex](\pm4;\pm9)[/latex] не выводит нас из множества [latex]Q[/latex] (заметим, что за один шаг нашими ходами нельзя попасть из точки из [latex]P[/latex] в точку из [latex]P[/latex]). Каждый ход типа [latex](\pm9;\pm4)[/latex] изменяет чётность [latex]x[/latex]-координаты, поэтому, чтобы попасть из [latex](0;0)[/latex] в [latex](19;0)[/latex], требуется нечётное число таких ходов. Каждый такой ход от точки из [latex]P[/latex] в точку из [latex]Q[/latex] и наоборот. Значит после нечётного числа ходов из точки [latex](0;0)\in{Q}[/latex] попадаем в точку из [latex]P[/latex], но [latex](19;0)\in{Q}[/latex]. Поэтому требуемое невозможно.

Д. Терешин

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и имеет ограниченную первообразную [latex]F[/latex] при [latex]x\in[a;+\infty)[/latex];
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [latex][a;+\infty)[/latex];
  • [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.[/latex]

Тогда интеграл [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Покажем, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши на промежутке [latex][a,+\infty)[/latex]. Проинтегрируем эту функцию по частям:

[latex]\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_{\xi’}^{\xi»}-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx,[/latex]

где [latex]\xi’,\xi»>a[/latex].
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

[latex]\begin{vmatrix}\left.\begin{matrix}(Fg)\end{matrix}\right|_{\xi’}^{\xi»}\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|[/latex]
[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}.[/latex]

Обратим внимание на то, что при [latex]g'(x)\leq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=-g'(x)[/latex], и при [latex]g'(x)\geq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=g'(x)[/latex]. Рассмотрим эти два случая:

  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi’)-g(\xi»);[/latex]
  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi»)-g(\xi’).[/latex]

Получается, что

[latex]|I_{1}|=\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}\leq(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|).[/latex]

Тогда:

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|)[/latex](*)

Поскольку [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0[/latex], то

 [latex]\forall\varepsilon>0\exists\delta_{\varepsilon}>0:\forall[/latex][latex]x\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)\rightarrow|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4M}[/latex]

Для [latex]\xi’,\xi»\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)[/latex] из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M})=\varepsilon.[/latex]

Получили, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

[свернуть]

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси [latex][a,+\infty)[/latex]:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] сходится;
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл [latex]\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Заметим, что интегралы [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] и [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx[/latex] имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции [latex]g[/latex], одна из функций [latex]g[/latex] или [latex]-g[/latex] убывает.
Предположим, что убывает функция [latex]g[/latex]. Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c[/latex]. Так как функция [latex]g[/latex] убывает, то при [latex]x[/latex] стремящемся к [latex]+\infty[/latex] разность [latex]g(x)-c[/latex] тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] в следующем виде:

[latex]f(x)g(x)=f(x)[g(x)-c]+cf(x).[/latex]

В силу сходимости интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}cf(x)dx[/latex] сходится. Из этого же условия следует, что интеграл [latex]F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[/latex] ограничен. Действительно, из существования конечного предела [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] следует ограниченность функции [latex]F[/latex] в окрестности [latex]U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\}[/latex] бесконечно удалённой точки [latex]+\infty[/latex]. Из непрерывности функции [latex]F[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex] следует её ограниченность. Получили, что [latex]F[/latex] ограничена на полуинтервале [latex][a,+\infty)[/latex]. Поскольку первообразная функции [latex]f[/latex] это [latex]F[/latex], то [latex]f[/latex] имеет ограниченную первообразную на [latex][a,+\infty)[/latex].
Для интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex] выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится, что и требовалось доказать.

[свернуть]

Примеры

Рассмотрим интеграл [latex]\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx[/latex]. Исследуем его на сходимость.

Спойлер

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов [latex]\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}[/latex] и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

[latex]\sin(x^2)=(x\sin(x^2))(\frac{1}{x}).[/latex]

[latex]f(x)=x\sin(x^2)[/latex], [latex]g(x)=\frac{1}{x}[/latex]. Пусть

[latex]F(x)=\int_{1}^{x}t\sin(t^2)dt,[/latex]

и применим подстановку [latex]z=t^2[/latex]. Тогда

[latex]\forall{x}:F(x)=\frac{\cos(1)-\cos(x^2)}{2},|F(x)|\leq1.[/latex]

Функция [latex]g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0[/latex], а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

[свернуть]

Теперь рассмотрим интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}[/latex]. Проверим его на сходимость.

Спойлер

Пусть [latex]f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}[/latex], [latex]g(x)=arctg(x)[/latex]. Интеграл [latex]\int_{1}^{\infty}f(x)dx[/latex] сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы [latex]\begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2[/latex], а [latex]\frac{1}{x^p}[/latex] монотонно стремится к [latex]0[/latex]. Функция [latex]g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0[/latex]. По признаку Абеля интеграл сходится.

[свернуть]

Литература
  1. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
  3. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
  4. Конспект З.М. Лысенко
Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Введём понятия абсолютно и условно сходящихся несобственных интегралов.

Пусть дан несобственный интеграл [latex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex]:

  • интеграл [latex]I[/latex] называется абсолютно сходящимся, если сходится [latex]\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx[/latex];
  • интеграл [latex]I[/latex] называется условно сходящимся, если интеграл [latex]I[/latex] сходится, а  [latex]\widetilde{I}[/latex] — расходится.

В случае абсолютной сходимости интеграла [latex]I[/latex] говорят, что функция [latex]f(x)[/latex] абсолютно интегрируема на полусегменте [latex]\left[a,b\right)[/latex].

Пример
Спойлер

sqrtx
Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\sqrt{x}dx[/latex] расходится при [latex]x\geq1[/latex].
1x2
Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}[/latex] абсолютно сходится при [latex]x\geq1[/latex].

[свернуть]
Теорема 1

Пусть [latex]f\in{R([a,\xi))}[/latex] для всех [latex]a<\xi<b[/latex]. Тогда из сходимости несобственного интеграла [latex]\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx[/latex] следует сходимость несобственного интеграла [latex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] и справедливо неравенство:

[latex]\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx[/latex]
Спойлер

Т.к интеграл [latex]\widetilde{I}[/latex] сходится, то для него выполняется условие Коши:

[latex]\forall\varepsilon>0\;\exists\delta_\varepsilon\in (a,b)\forall\xi’,\xi»\in(\delta_\varepsilon,b)\Rightarrow\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|f(x)|dx\right|<\varepsilon.[/latex]

Т.к. [latex]I[/latex] — несобственный интеграл, то подынтегральная функция [latex]f[/latex] интегрируема по Риману на сегменте [latex][\xi’,\xi»][/latex]. Из условия следует, что функция [latex]|f(x)|[/latex] интегрируема по Риману на этом же сегменте.
Т.к. функция интегрируема на каждом отрезке с концами [latex]\xi'[/latex] и [latex]\xi»[/latex], то выполняется неравенство:

[latex]\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)dx\right|\leq\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|f(x)|dx\right|.[/latex]

Отсюда следует, что

[latex]\forall\varepsilon>0\;\exists\delta_\varepsilon\in (a,b)\forall\xi’,\xi»\in(\delta_\varepsilon,b)\Rightarrow\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)dx\right|<\varepsilon.[/latex]

Таким образом, функция [latex]f[/latex] удовлетворяет условию Коши и интеграл [latex]I[/latex] сходится.
Докажем исследуемое неравенство. Воспользуемся следующим  неравенством:

[latex]\left|\int\limits_{a}^{\xi}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{\xi}|f(x)|dx[/latex]

Данное н-во справедливо при любом [latex]\xi\in[a,b)[/latex]. Т.к интегралы [latex]I[/latex] и [latex]\widetilde{I}[/latex] сходятся, то, переходя к пределу при [latex]\xi[/latex] стремящемся к [latex]b[/latex] справа, получим требуемое неравенство.

[свернуть]
Теорема 2

Если функция [latex]g(x)[/latex] абсолютно интегрируема на промежутке [latex]\left[a;b\right)[/latex], то несобственные интегралы [latex]I_{1}=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] и [latex]I_{2}=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx[/latex] сходятся или расходятся одновременно.

Спойлер

Пусть [latex]I=\int_{a}^{b}g(x)dx,\;\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|g(x)|dx,\;\widetilde{I}_{1}=\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,\;\widetilde{I}_{2}=\int_{a}^{b}\left|f(x)+g(x)\right|dx.[/latex]

  1. Из неравенства [latex]\left|f+g\right|\leq\left|f\right|+\left|g\right|[/latex], критерия Коши и сходимости интегралов [latex]\widetilde{I}[/latex] и [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex] следует сходимость интеграла [latex]\widetilde{I}_{2}[/latex].
  2. Пусть интеграл [latex]I_{1}[/latex] сходится, а [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex] расходится.  Тогда (из сходимости интегралов [latex]I_{1}[/latex] и [latex]I[/latex])  интеграл [latex]I_{2}[/latex] сходится, а [latex]\widetilde{I}_{2}[/latex]  расходится. В противном случае из н-ва [latex]\left|f\right|\leq\left|f+g\right|+\left|g\right|[/latex] и сходимости [latex]\widetilde{I}[/latex] следовала бы сходимость [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex]. Аналогично рассматривается ситуация с условной сходимостью интегралов [latex]I_{2}[/latex] и [latex]I_{1}[/latex].
  3. Из расходимости [latex]I_{1}[/latex] следует расходимость [latex]I_{2}[/latex]. Если бы это было не так, то из сходимости [latex]I[/latex]  и равенства [latex]f=\left(f+g\right)-g[/latex] следовала бы сходимость [latex]I_{1}[/latex].

[свернуть]

Замечание

Ни на сходимость, ни на характер сходимости прибавление или вычитание под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет.

Пример

В качестве примера, исследуем интеграл на абсолютную и условную сходимость. Возьмём интеграл [latex]I=\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex].

Спойлер

[latex]I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex]

Рассмотрим три ситуации:

  • [latex]\alpha>1[/latex]
  • [latex]0<\alpha\leq1[/latex]
  • [latex]\alpha\leq0[/latex]
  1. Пусть [latex]\alpha>1[/latex]. [latex]\begin{vmatrix}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}\end{vmatrix}\leq\frac{1}{x^\alpha}[/latex], следовательно, в силу сходимости интеграла [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}[/latex], сходится интеграл [latex]\widetilde{I}=\int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx[/latex], т.е. интеграл [latex]I[/latex] сходится абсолютно. Отсюда, по теореме 1, следует сходимость интеграла [latex]I[/latex].
  2. Рассмотрим второй случай. Интегрируя по частям, получим
    [latex]\left.\begin{matrix}I=-\frac{\cos{x}}{x^\alpha}\end{matrix}\right|_{1}^{+\infty}-\alpha\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex],

    где [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha}}=0[/latex], а [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex] сходится абсолютно. Следовательно, [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex] сходится и интеграл [latex]I[/latex] сходится при [latex]0<\alpha\leq1[/latex]. Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx[/latex] при [latex]0<\alpha\leq1[/latex] расходится, а значит, что при [latex]0<\alpha\leq1[/latex] интеграл [latex]I[/latex] сходится условно.

  3. Рассмотрим [latex]\alpha\leq0[/latex]. Используя критерий Коши, докажем расходимость интеграла [latex]I[/latex]. Пусть [latex]\delta>1[/latex]. Выберем число [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] таким, чтобы [latex]2n\pi>\delta[/latex], и положим
    [latex]\xi’_{\delta}=2n\pi+\frac{\pi}{6},\xi»_{\delta}=2n\pi+\frac{5\pi}{6}[/latex].

    Т.к. при [latex]x\in[\xi’_{\delta};\xi»_{\delta}][/latex] выполняется неравенство [latex]\sin{x}\geq\frac{1}{2}[/latex] и [latex]\frac{1}{x^\alpha}\geq1[/latex] при [latex]x\geq1[/latex] и [latex]\alpha\leq0[/latex], то

    [latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’_{\delta}}^{\xi»_{\delta}}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\end{vmatrix}=\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\geq\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}dx=\frac{\pi}{3}.[/latex]

    Очевидно, что условие Коши не выполняется и интеграл расходится при [latex]\alpha\leq0[/latex].

Ответ:[latex] I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex]:

  • абсолютно сходится при [latex]\alpha>1[/latex];
  • условно сходится при [latex]0<\alpha\leq1[/latex];
  • расходится при [latex]\alpha\leq0[/latex].

[свернуть]
Литература
Тесты

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Проверьте свои знание по теме «Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов».