Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков определяются при помощи индукции. Если говорить неформально, то каждая частная производная порядка больше чем 1 определяется, как производная от производной предыдущего порядка.
 

Определение

Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$.
Частная производная, полученная  с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.

Пример

Пусть дана функция $f(x,y,z)$.
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx } $.
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } } $
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$

Геометрический смысл частной производной

показать

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

В данной статье, используя термин «сложная функция», мы будем понимать композицию нескольких функций.

Теорема

Пусть функции { \varphi }_{ i }(x)={ \varphi }_{ i }({ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },...,{ x }_{ n })\quad i=\overline { 1,m } дифференцируемы в точке { x }^{ \circ }=({ x }_{ 1 }^{ \circ },{ x }_{ 2 }^{ \circ },...,{ x }_{ n }^{ \circ }) . Пусть функция f({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },{ y }_{ 3 },...{ ,y }_{ m }) дифференцируема в точке { y }^{ \circ }=({ \varphi }_{ 1 }({ x }^{ \circ }),{ \varphi }_{ 2 }({ x }^{ \circ }),...,{ \varphi }_{ m }({ x }^{ \circ })).

Тогда сложная функция T(x)=f({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),...,{ \varphi }_{ m }(x)) дифференцируема в точке { x }^{ \circ } , причем при { x\rightarrow x }^{ \circ }
$$
T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i }({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ })+o(p(x,{ x }^{ \circ }))} 
$$
$$
{A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } }  } ({ y }^{ \circ  })\frac { \partial { \varphi  }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  }),\quad i=\overline { 1,n } \quad \quad \quad \quad (1)
$$

Доказательство показать
Замечание показать
Пример показать

 

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Тест, на понимание темы «Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций»

Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о смешанных производных

Теорема 1(для функции двух переменных)

Пусть функция $f(x,y)$ определенна со своими частными производными ${ f }_{ x },{ f }_{ y },{ f }_{ xy },{ f }_{ yx }$ в некоторой окрестности точки $({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$, и при этом ${ f }_{ xy }$ и  ${ f }_{ yx }$ непрерывны в этой точке. Тогда  эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования). $${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) \quad \quad (1)$$
Доказательство показать
Пример показать
Контрпример показать

Теперь сформулируем общую теорему. Ее можно несложно доказать с помощью индукции.

Теорема 2(обобщение)

Если у функции $n$ переменных смешанные частные производные $m$-го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка $m$  не зависят от порядка дифференцирования.
Замечание 1 показать

Замечание 2 показать

Теорема о смешанных производных

Тест, на понимание темы «Теорема о смешанных производных»

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

M1568. Сечение пирамиды

Задача из журнала «Квант» (1996, №5, M1568)

Условие

Докажите что при n\ge 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n+1)-угольником.

Решение

Пусть правильный (n+1) –угольник { B }_{ 1 }...{ B }_{ n } является сечением пирамиды S{ A }_{ 1 }...{ A }_{ n } где { A }_{ 1 }...{ A }_{ n } – правильный n-угольник. Мы рассмотрим три случая: n=5 , n=2k-1 (k>3)  и n=2k (k>2)
Так как n-угольная пирамида имеет (n+1) грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что точки { B }_{ 1 }...{ B }_{ n+1 } расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках 1 и 2 ( в соответствии с указанными случаями).

  1.  n=5 . Так как в правильном шестиугольнике { B }_{ 1 }...{ B }_{ 6 } прямые { B }_{ 2 }{ B }_{ 3 }, { B }_{ 5 }{ B }_{ 6 } и { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 } параллельны, а плоскости  { A }_{ 2 }S{ A }_{ 3 } и ASA проходят через { B }_{ 2 }{ B }_{ 3 } и { B }_{ 5 }{ B }_{ 6 }  то их линия пересечения { ST ( T= { A }_{ 1 }{ A }_{ 5 } }\bigcap { A } _{ 2 }{ A }_{ 3 } ) параллельна этим прямым т.е. ST\parallel { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 } Проведем через прямые ST  и { B }_{ 1 }{ B }_{ 4 } плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой { B }_{ 1 }{ A }_{ 4 } которая должна проходить через точку пересечения прямой ST с плоскостью основания т.е. через точку T. Итак, прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 5 }, { A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и { A }_{ 2 }{ A }_{ 3 } пересекаются в одной точке.Аналогично доказывается, что прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 } и { A }_{ 4 }{ A }_{ 5 }  и пересекаются в одной точке. Из этого следует что { A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }  – оси симметрии правильного пятиугольника { A }_{ 1 }...{ A }_{ 5 } , значит. Точка O их пересечения – центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если Q – центр правильного шестиугольника { B }_{ 1 }...{ B }_{ 6 } , то плоскости  S{ A }_{ 3 }{ B }_{ 6 }, S{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и S{ B }_{ 2 }{ B }_{ 5 } пересекаются по прямой SQ. Следовательно прямые  { A }_{ 3 }{ B }_{ 6 },{ A }_{ 4 }{ B }_{ 1 } и { A }_{ 2 }{ A }_{ 5 }  должны пересекаться в одной точке – точке пересечения прямой SQ с плоскостью основания пирамиды.Значит диагональ правильного пятиугольника { A }_{ 1 }...{ A }_{ 5 } должна проходить через его центр O, что невозможно.
  2. 4

  3.   n=2k-1 (k>3) Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном 2k-угольнике  { B }_{ 1 }...{ B }_{ 2k } прямые   { B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 } и { B }_{ k }{ B }_{ k+3 }параллельны, то  прямые   { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 } и { A }_{ k }{ A }_{ k+3 } должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как в правильном (2k-1)-угольнике { A }_{ 1 }...{ A }_{ 2k-1 } имеем { A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }\parallel { A }_{ k }{ A }_{ k+3 }, а прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 } не параллельны.
  4.  n=2k (k>2) Аналогично предыдущему случаю прямые  { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 },{ A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 } и { A }_{ k }{ A }_{ k+3 }  параллельны, следовательно, прямые  { B }_{ 1 }{ B }_{ 2 },{ B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 } и { B }_{ k }{ B }_{ k+3 } должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как { B }_{ k+1 }{ B }_{ k+2 }\parallel { B }_{ k }{ B }_{ k+3 }, а прямые { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }, { A }_{ k+1 }{ A }_{ k+2 }  не параллельны.

Замечания

  1.  При n=3,4 утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр имеющий сечением квадрат и правильная четырехугольная  пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, которая имеет сечением правильный пятиугольник
  2. Приведенное решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться центральным проектированием и его свойством утверждающим, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку, являются прямые, проходящие через одну точку ( или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость из вершины пирамиды.

Д. Терешин.