Автор: Олег Шпинарев

Локальные свойства непрерывных функций

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ — функция, непрерывная в точке $x_{0} \in R$ тогда справедливы следующие утверждения:

  • Функция $f$ ограничена в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$.
  •  Если $f(x_{0}) \neq 0$, то в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$ точки $x_{0}$ функция $f(x)>0$
    ( или $f(x)<0$ ) вместе с $f(x_{0})$.
  •  Если функция $g: U_{E} (x_{0})$ $ \rightarrow R$ также непрерывна в точке $x_{0}$, то следующие функции непрерывны в точке $x_{0}$:
      • $f+g$
      • $f \cdot g $
      • $\Large \frac{f}{g}$

Если функция $g: Y$ $\rightarrow R$ непрерывна в точке $y_{0} \in Y$, а функция $f$ такова, что $f: E$ $\rightarrow R$, $f(x_{0})=y_{0}$, $f(E) \in Y$ и $f$ непрерывна в точке  $x_{0}$, то композиция $g\circ f$ непрерывна в точке $x_{0}$.

Пример 1

Алгебраический многочлен $P_{n}(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+…+a_{n}$ является непрерывной функцией для $x \in R$. Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции $y=x$ и $y=k$.

Пример 2

Рациональная функция $\large R(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ непрерывна всюду, кроме точек, в которых $Q_{m}(x)=0$.

Источники:

  1. А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр. 
  2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность функции на множестве

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Спойлер

Пусть

[latex]x_{1}=\varphi_{1}t[/latex], [latex]x_{2}=\varphi_{2}t[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{m}=\varphi_{m}t[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex],

— уравнения непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющий точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] и целиком располагающейся в [latex]\left \{ M \right \}[/latex].

На сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] определена сложная функция [latex] u=f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m})[/latex], где и [latex]x_{i}=\varphi_{i}t[/latex], [latex]i=1, 2, \ldots, m[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex]. Очевидно, значение этой функции на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] совпадают со значениями функции [latex] u=f(M)[/latex] на кривой [latex]L[/latex]. Указанная сложная функция одной переменной [latex]t[/latex], в силу непрерывности сложной функции, непрерывна на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] и согласно второй теореме Больцано-Коши, в некоторой точке [latex]\xi[/latex] сегмента [latex][\alpha, \beta][/latex] принимает значение [latex]C[/latex]. По этому в точке [latex]N[/latex] кривой [latex]L[/latex] с координатами [latex]\varphi_{1}(\xi)[/latex], [latex]\varphi_{2}(\xi), \ldots,[/latex] [latex]\varphi_{m}(\xi)[/latex] справедливо равенство [latex]f(N)=C[/latex]. Теорема доказана.

[latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Литература:

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных