Непрерывность функции на множестве

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Спойлер

Пусть

[latex]x_{1}=\varphi_{1}t[/latex], [latex]x_{2}=\varphi_{2}t[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{m}=\varphi_{m}t[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex],

— уравнения непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющий точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] и целиком располагающейся в [latex]\left \{ M \right \}[/latex].

На сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] определена сложная функция [latex] u=f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m})[/latex], где и [latex]x_{i}=\varphi_{i}t[/latex], [latex]i=1, 2, \ldots, m[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex]. Очевидно, значение этой функции на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] совпадают со значениями функции [latex] u=f(M)[/latex] на кривой [latex]L[/latex]. Указанная сложная функция одной переменной [latex]t[/latex], в силу непрерывности сложной функции, непрерывна на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] и согласно второй теореме Больцано-Коши, в некоторой точке [latex]\xi[/latex] сегмента [latex][\alpha, \beta][/latex] принимает значение [latex]C[/latex]. По этому в точке [latex]N[/latex] кривой [latex]L[/latex] с координатами [latex]\varphi_{1}(\xi)[/latex], [latex]\varphi_{2}(\xi), \ldots,[/latex] [latex]\varphi_{m}(\xi)[/latex] справедливо равенство [latex]f(N)=C[/latex]. Теорема доказана.

[latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Литература:

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных