Автор: Валентин Малявко

Проверим ЛНЗ системы $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$:
$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\\1 & 2 & 3\end{vmatrix}=3+2+2-1-4-3=-1 \ne 0\Rightarrow$$ $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Построим линейную комбинацию вектора $x$ в базисе $e$:
$x=\alpha_{1}e_{1}+\alpha_{2}e_{2}+\alpha_{3}e_{3} \Rightarrow$
$(6,9,14)=(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3})$.
Решаем систему методом Гаусса и находим координаты вектора $x$ в базисе $e$: $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{1} & + & \alpha_{2} & + & \alpha_{3} & = & 6\\ \alpha_{1} & + & \alpha_{2} & + & 2\alpha_{3} & = & 9\\ \alpha_{1} & + & 2\alpha_{2} & + & 3\alpha_{3} & = & 14 \end{matrix}\right.$$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 3 & 14 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ $$\begin{cases}\alpha_{3}=3\\ \alpha_{2}+2\alpha_{3}=8\\ \alpha_{2}=8-6=2\\ \alpha_{1}=6-2-3=1\end{cases} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha_{1} & = & 1\\ \alpha_{2} & = & 2\\ \alpha_{3} & = & 3 \end{matrix}\right.$$

Проверим ЛНЗ системы $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$:
$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\\1 & 2 & 3\end{vmatrix}=3+2+2-1-4-3=-1 \ne 0 \Rightarrow$$ $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Строим матрицу перехода $x_{f}=\Gamma x_{e}$, где $\Gamma$ — матрица перехода. $$x_{e}=\Gamma^{-1}x_{f}$$ Находим обратную матрицу $\Gamma^{-1}$: $$\Gamma=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right), \det \Gamma=-1$$ $$\tilde{\Gamma}=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right)$$ $$\tilde{\Gamma}^{T}=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right)$$ $$\Gamma^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$
$$x_{e}=\Gamma^{-1}x_{f}=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}6\\9\\14\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right)$$

Проверим ЛНЗ системы $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$: $$\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 3 & 3\\3 & 7 & 1\end{vmatrix} = 3+18+14-9-21-4=1 \ne 0 \Rightarrow $$ $\langle e_1,e_2,e_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Проверим ЛНЗ системы $\langle e’_1,e’_2,e’_3 \rangle$: $$\begin{vmatrix}3 & 1 & 4\\5 & 2 & 1\\1 & 1 & -6\end{vmatrix} = -36+1+20-8-3+30=4 \ne 0 \Rightarrow$$ $\langle e’_1,e’_2,e’_3 \rangle$ — ЛНЗ $\Rightarrow$ базис в $\mathbb{R}^3$.
Построим матрицу перехода $\Gamma_{E \to E’}$:
Построим линейную комбинацию для каждого вектора из базиса $E’$:
$$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}e_{1} & + & \alpha_{21}e_{2} & + & \alpha_{31}e_{3} & = & e’_{1}\\ \alpha_{12}e_{1} & + & \alpha_{22}e_{2} & + & \alpha_{32}e_{3} & = & e’_{2}\\ \alpha_{13}e_{1} & + & \alpha_{23}e_{2} & + & \alpha_{33}e_{3} & = & e’_{3} \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}(1, 2, 1) & + & \alpha_{21}(2, 3, 3) & + & \alpha_{31}(3, 7, 1) & = & (3, 1, 4)\\ \alpha_{12}(1, 2, 1) & + & \alpha_{22}(2, 3, 3) & + & \alpha_{32}(3, 7, 1) & = & (5, 2, 1)\\ \alpha_{13}(1, 2, 1) & + & \alpha_{23}(2, 3, 3) & + & \alpha_{33}(3, 7, 1) & = & (1, 1, -6) \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{11} & + & 2\alpha_{21} & + & 3\alpha_{31} & = & 3\\ 2\alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & 7\alpha_{31} & = & 1\\ \alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & \alpha_{31} & = & 4 \end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}\alpha_{12} & + & 2\alpha_{22} & + & 3\alpha_{32} & = & 5\\ 2\alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & 7\alpha_{32} & = & 2\\ \alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & \alpha_{32} & = & 1 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{13} & + & 2\alpha_{23} & + & 3\alpha_{33} & = & 1\\ 2\alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & 7\alpha_{33} & = & 1\\ \alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & \alpha_{33} & = & -6 \end{matrix}\right.$$ Решаем систему методом Гаусса и находим координаты векторов в новом базисе: $\left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 7 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 4 & 1 & -6 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -4 & -7 \end{array}\right)\sim $
$\left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -4 & -12 & -8 \end{array}\right)$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{31} & = & 4\\ \alpha_{21} & = & 9\\ \alpha_{11} & = & -27 \end{matrix}\right. \Rightarrow\ e’_{1}=(-27, 9, 4)$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{32} & = & 12\\ \alpha_{22} & = & 20\\ \alpha_{12} & = & -71 \end{matrix}\right.\Rightarrow\ e’_{2}=(-71, 20, 12)$$ $$\left\{\begin{matrix}\alpha_{33} & = & 8\\ \alpha_{23} & = & 9\\ \alpha_{13} & = & -41 \end{matrix}\right. \Rightarrow\ e’_{3}=(-41, 9, 8)$$ $$\Gamma_{E \to E’}=\left(\begin{matrix}-27 & -71 & 41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{matrix}\right)$$
$x_{1}=-27x’_{1}-71x’_{2}-41x’_{3}$,
$x_{2}=9x’_{1}+20x’_{2}+9x’_{3}$,
$x_{3}=4x’_{1}+12x’_{2}+8x’_{3}$.

$L=\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} \rangle$, где $L$ — подпространство
Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:
$$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)$$ Вычеркивая любую из одинаковых строк (не забывая координаты какого вектора стояли на том месте), получаем: $$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right) $$ Делая аналогично предыдущему пункту, получаем: $$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)$$ Ранг данной матрицы равен $3 \Rightarrow \dim L=3$. Базис образуют, например, векторы $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ (это векторы, которые остались в матрице).