Аддитивная группа направленных отрезков

Теорема:

Множество направленных отрезков произвольной прямой, произвольной плоскости или пространства относительно операции сложения образуют абелеву группу.

Спойлер

1) Алгебраичность следует из определения операции сложения векторов.
2) Ассоциативность.
Ассоциативность
3) Коммутативность.
Коммутативность
4) Нейтральный элемент =0, \overline{AB}+\overline{BB}=\overline{AB}
5) Существование противоположного элемента.
\overline{AB}+\overline{AB'}=\overline{AA}
\overline{AB'}=\overline{BA}
противоположный элемент \blacksquare

[свернуть]

Литература :

Равенство направленных отрезков

Определение:

Пусть задано два вектора \overline{AB} и \overline{CD}. Два вектора называются равными, если один из них может быть параллельным переносом совмещён так, что точка A перейдет в C, а точка B — в D.

\overline{AB}=\overline{CD}
A'=C
B'=D
Вектор

Литература :

Операция сложения

Определение:

Суммой двух векторов \overline{AB} и \overline{CD} назовём вектор \overline{AD'}, получающийся после параллельного переноса вектора \overline{CD}, так, что точка C переходит в точку B.

\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD'}
Сумма

 

Литература :

Величина вектора на оси

Определение 1:

Прямая линия с заданным на ней направлением называется осью.
Ось

Определение 2:

Пусть задана ось и вектор a на ней. Величиной вектора \{a\} на оси называется вещественное число, равное длине вектора, если его направление совпадает с направлением оси и противоположное число в противном случае.

\{a\}=\left |a\right |
\{b\}=-\left |b\right |
Ось

 

Литература :

  • Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  • В.А. Ильин, Э.Г Позняк Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988 — стр.12-13.

Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису

Задача №1

Условие задачи

Векторы e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n} и x заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n} сами образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе:

e_1=(1, 1, 1), e_2=(1, 1, 2), e_3=(1, 2, 3); x_f=(6, 9, 14); x_e=?.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Спойлер

Проверим ЛНЗ системы \langle e_1,e_2,e_3 \rangle:

\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\\1 & 2 & 3\end{vmatrix}=3+2+2-1-4-3=-1 \ne 0
\Downarrow
\langle e_1,e_2,e_3 \rangle -ЛНЗ \Rightarrowбазис в \mathbb{R}^3.

Построим линейную комбинацию вектора x в базисе e:

x=\alpha_{1}e_{1}+\alpha_{2}e_{2}+\alpha_{3}e_{3}

(6,9,14)=(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3})

Решаем систему методом Гаусса и находим координаты вектора x в базисе e:

\left\{\begin{matrix}\alpha_{1} & + & \alpha_{2} & + & \alpha_{3} & = & 6\\ \alpha_{1} & + & \alpha_{2} & + & 2\alpha_{3} & = & 9\\ \alpha_{1} & + & 2\alpha_{2} & + & 3\alpha_{3} & = & 14 \end{matrix}\right.

\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 3 & 14 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)

\alpha_{3}=3
\alpha_{2}+2\alpha_{3}=8
\alpha_{2}=8-6=2
\alpha_{1}=6-2-3=1

\left\{\begin{matrix}\alpha_{1} & = & 1\\ \alpha_{2} & = & 2\\ \alpha_{3} & = & 3 \end{matrix}\right.

[свернуть]
Спойлер

Проверим ЛНЗ системы \langle e_1,e_2,e_3 \rangle:

\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 2\\1 & 2 & 3\end{vmatrix}=3+2+2-1-4-3=-1 \ne 0
\Downarrow
\langle e_1,e_2,e_3 \rangle -ЛНЗ \Rightarrowбазис в \mathbb{R}^3.

Строим матрицу перехода:

x_{f}=\Gamma x_{e}, где \Gamma — матрица перехода.

x_{e}=\Gamma^{-1}x_{f}

Находим обратную матрицу \Gamma^{-1}:

\Gamma=\left(\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)

\det \Gamma=-1

\tilde{\Gamma}=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right)

\tilde{\Gamma}^{T}=\left(\begin{matrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{matrix}\right)

\Gamma^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)

x_{e}=\Gamma^{-1}x_{f}=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}6\\9\\14\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right)

[свернуть]

Задача №2

Условие задачи

Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:

e_1=(1, 2, 1), e_2=(2, 3, 3), e_3=(3, 7, 1)e'_1=(3, 1, 4), e'_2=(5, 2, 1), e'_3=(1, 1, -6).

Спойлер

Проверим ЛНЗ системы \langle e_1,e_2,e_3 \rangle:

\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 3 & 3\\3 & 7 & 1\end{vmatrix}=3+18+14-9-21-4=1 \ne 0
\Downarrow
\langle e_1,e_2,e_3 \rangle -ЛНЗ \Rightarrowбазис в \mathbb{R}^3.

Проверим ЛНЗ системы \langle e'_1,e'_2,e'_3 \rangle:

\begin{vmatrix}3 & 1 & 4\\5 & 2 & 1\\1 & 1 & -6\end{vmatrix}=-36+1+20-8-3+30=4 \ne 0
\Downarrow
\langle e'_1,e'_2,e'_3 \rangle -ЛНЗ \Rightarrowбазис в \mathbb{R}^3.

Построим матрицу перехода:

\Gamma_{E \to E'}

Построим линейную комбинацию для каждого вектора из базиса E':

\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}e_{1} & + & \alpha_{21}e_{2} & + & \alpha_{31}e_{3} & = & e'_{1}\\ \alpha_{12}e_{1} & + & \alpha_{22}e_{2} & + & \alpha_{32}e_{3} & = & e'_{2}\\ \alpha_{13}e_{1} & + & \alpha_{23}e_{2} & + & \alpha_{33}e_{3} & = & e'_{3} \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\alpha_{11}(1, 2, 1) & + & \alpha_{21}(2, 3, 3) & + & \alpha_{31}(3, 7, 1) & = & (3, 1, 4)\\ \alpha_{12}(1, 2, 1) & + & \alpha_{22}(2, 3, 3) & + & \alpha_{32}(3, 7, 1) & = & (5, 2, 1)\\ \alpha_{13}(1, 2, 1) & + & \alpha_{23}(2, 3, 3) & + & \alpha_{33}(3, 7, 1) & = & (1, 1, -6) \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\alpha_{11} & + & 2\alpha_{21} & + & 3\alpha_{31} & = & 3\\ 2\alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & 7\alpha_{31} & = & 1\\ \alpha_{11} & + & 3\alpha_{21} & + & \alpha_{31} & = & 4 \end{matrix}\right.      \left\{\begin{matrix}\alpha_{12} & + & 2\alpha_{22} & + & 3\alpha_{32} & = & 5\\ 2\alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & 7\alpha_{32} & = & 2\\ \alpha_{12} & + & 3\alpha_{22} & + & \alpha_{32} & = & 1 \end{matrix}\right.      \left\{\begin{matrix}\alpha_{13} & + & 2\alpha_{23} & + & 3\alpha_{33} & = & 1\\ 2\alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & 7\alpha_{33} & = & 1\\ \alpha_{13} & + & 3\alpha_{23} & + & \alpha_{33} & = & -6 \end{matrix}\right.

Решаем систему методом Гаусса и находим координаты векторов в новом базисе:

\left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 7 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 4 & 1 & -6 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & -4 & -7 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c|c|c}1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -5 & -8 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -4 & -12 & -8 \end{array}\right)

\left\{\begin{matrix}\alpha_{31} & = & 4\\ \alpha_{21} & = & 9\\ \alpha_{11} & = & -27 \end{matrix}\right.
e'_{1}=(-27, 9, 4)

\left\{\begin{matrix}\alpha_{32} & = & 12\\ \alpha_{22} & = & 20\\ \alpha_{12} & = & -71 \end{matrix}\right.
e'_{2}=(-71, 20, 12)

\left\{\begin{matrix}\alpha_{33} & = & 8\\ \alpha_{23} & = & 9\\ \alpha_{13} & = & -41 \end{matrix}\right.
e'_{3}=(-41, 9, 8)

\Gamma_{E \to E'}=\left(\begin{matrix}-27 & -71 & 41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{matrix}\right)

x_{1}=-27x'_{1}-71x'_{2}-41x'_{3}; x_{2}=9x'_{1}+20x'_{2}+9x'_{3}; x_{3}=4x'_{1}+12x'_{2}+8x'_{3}.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

a_{1}=(1, 0, 0, -1)a_{2}=(2, 1, 1, 0)a_{3}=(1, 1, 1, 1)a_{4}=(1, 2, 3, 4)a_{5}=(0, 1, 2, 3).

Спойлер

L=\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5} \rangle, где L — подпространство

Исследуем эту систему векторов на линейную зависимость. Для этого составим матрицу, строками которой будут координаты векторов, и найдем ее ранг:

\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right) \sim\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)

Вычеркивая любую из одинаковых строк (не забывая координаты какого вектора стояли на том месте), получаем:

\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right) \sim  \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)

Делая аналогично предыдущему пункту, получаем:

\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}\right)

Ранг данной матрицы равен 3 \Rightarrow \dim L=3. Базис образуют, например, векторы a_{1}, a_{2}, a_{4} (это векторы которые остались в матрице).

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1984 — стр.167-170.
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.52.

Тест на тему "Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису"

Тест на знание темы «Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису»

Таблица лучших: Тест на тему "Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису"

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных