Базис и размерность линейного пространства. Переход к новому базису


Определение 1
Пусть задано линейное пространство $X$ над полем $\mathbb{P}$  $(X,\mathbb{P})$. Это линейное пространство называется конечномерным, если существует такое натуральное число $M \in \mathbb{N}$, что любая ЛНЗ система векторов пространства содержит не более $M$ векторов, в противном случае оно называется бесконечномерным.

Определение 2
Пусть $(X,\mathbb{P})$ — конечномерное пространство. Базисом пространства $X$ называется ЛНЗ система векторов, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.

Определение 3
Размерностью конечномерного пространства $X$ называется число векторов любого его базиса. Обозначается как $dimX$.

Определение 4
$\langle e_1,e_2,\ldots,e_m \rangle$ — старый базис
$\langle g_1,g_2,\ldots,g_m \rangle$ — новый базис
$x=\sum_{j=1}^{m}\alpha_je_j=\sum_{i=1}^{m}\beta_ig_i$
Тогда:
$\left\{\begin{matrix}g_{1}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ g_{2}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\\ \ldots\\ g_{m}=\alpha _{11}e_{1}+\alpha _{12}e_{1}+…+\alpha _{1m}e_{1}\end{matrix}\right.$ — система, описывающая переход от старого базиса к новому.

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.19.
  2. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 — стр.60-63.

Аддитивная группа направленных отрезков


Теорема.
Множество направленных отрезков произвольной прямой, произвольной плоскости или пространства относительно операции сложения образуют абелеву группу.

  1. Алгебраичность следует из определения операции сложения векторов.
  2. Ассоциативность

    Ассоциативность

    [свернуть]
  3. Коммутативность

    Коммутативность

    [свернуть]
  4. Нейтральный элемент $=0$, $\overline{AB}+\overline{BB}=\overline{AB}$.
  5. Существование противоположного элемента:

    $\overline{AB}+\overline{AB’}=\overline{AA}$
    $\overline{AB’}=\overline{BA}$

    Противоположный элемент

    противоположный элемент

    [свернуть]

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.22-24.
  2. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра М.: Физико-математическая литература, 2000 — стр.12.

Равенство направленных отрезков


Определение
Пусть задано два вектора $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$. Два вектора называются равными, если один из них может быть параллельным переносом совмещён так, что точка $A$ перейдет в $C$, а точка $B$ — в $D$.

$\overline{AB}=\overline{CD}$
$A’=C$
$B’=D$

Вектор

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.20.
  2. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 — стр.60-63.
  4. В.А. Ильин, Э.Г Позняк Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988 — стр.12-13.

Операция сложения


Определение
Суммой двух векторов $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ назовём вектор $\overline{AD’}$, получающийся после параллельного переноса вектора $\overline{CD}$, так, что точка $C$ переходит в точку $B$.

$\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD’}$

Сумма

Литература:

Величина вектора на оси


Определение 1
Прямая линия с заданным на ней направлением называется осью.
Ось

Определение 2
Пусть задана ось и вектор $a$ на ней. Величиной вектора $\{a\}$ на оси называется вещественное число, равное длине вектора, если его направление совпадает с направлением оси и противоположное число в противном случае.

$\{a\}=\left |a\right |, \{b\}=-\left |b\right |$

Ось

Литература :

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. В.А. Ильин, Э.Г Позняк Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1988 — стр.12-13.