Таблица Кэли

Пусть \mathbb A_{n}=\left \{ a_{1},a_{2},...,a_{n}\right \}конечное множество из n элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \rule {0cm}{0.8cm} {\large \;\;\;*\;\;\;} & \large {\textit a_{1}} & \large {\textit a_{2}} & {\large \ldots} & \large {\textit a_{n}} \\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{1}} & a_{1}*a_{1} & a_{1}*a_{2} & \ldots & a_{1}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{2}} & a_{2}*a_{1} & a_{2}*a_{2} & \ldots & a_{2}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \rule{ 0cm}{0.8cm} \large {\textit \vdots} & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ [0.4cm] \hline \rule{0cm}{0.8cm} \large {\textit a_{n}} & a_{n}*a_{1} & a_{n}*a_{2} & \ldots & a_{n}*a_{n} \\ [0.4cm] \hline \end{array}

Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:

Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.

Пример 1

Дано множество \mathbb A=\left \{1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}. На этом множестве задана операция * такая, что  \forall \,  a,b \in \mathbb A, a*b=\max(a,b). Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:

Решение показать

Пример 2

Дано множество преобразований правильного треугольника \mathbb B=\left \{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} \right \}, переводящих треугольник в самого себя.
\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2} — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы 0, \frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3} вокруг точки O.
\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} — симметрия относительно осей m, l, p
simtriangle
Построить таблицу Кэли и показать, что \left (\mathbb B,\circ \right )группа:

Решение показать

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
  3. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113

Тест


Таблица лучших: Таблица Кэли

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определители n-го порядка и их свойства. Вычисление определителей приведением к треугольному виду, разложением по строке, применением общей теоремы Лапласа.

Cвойства определителя

Пример 1

Используя свойства определителя, доказать следующее тождество:

\begin{vmatrix}am+bp & an+bq \\ cm+dp & cn+dq \end{vmatrix} = \left(mq-np\right)\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}

Решение показать

Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду.

Пример 2

Вычислить определитель:

\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}-3 & 9 & 3& 6\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|

Решение показать

Разложение по строке или столбцу

Пример 3

Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель:

\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}5 & \:\:a & \:\:2 & -1 \\ 4 & b & 4 & -3\\ 3 & c & 3 & -2\\ 4 & d & 5 & -4 \end{array}\right|

Решение показать

Применение общей теоремы Лапласа

Пример 4

Вычислить определитель:

\Delta =\left|\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & 4 & -5 \\ 4 & -2 & 7 & 8 & -7\\ -6 & 4 & -9 & -2 & 3\\ 3 & -2 & 4 & 1 & -2\\ -2 & 6 & 5 & 4 & -3 \end{array}\right|

Решение показать

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Физико-математическая литература, 1978 г., стр. 25, 28, 58

Тест


Таблица лучших: Определители n-го порядка и их свойства. Вычисление определителей.

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных