Пусть $\mathbb A_{n}=\left \{ a_{1},a_{2},…,a_{n}\right \}$ — конечное множество из $n$ элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией $*$ так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:
$\begin{matrix} * & {\textit a_{1}} & {\textit a_{2}} & {\ldots} & {\textit a_{n}} \\ {\textit a_{1}} & a_{1}*a_{1} & a_{1}*a_{2} & \ldots & a_{1}*a_{n} \\ {\textit a_{2}} & a_{2}*a_{1} & a_{2}*a_{2} & \ldots & a_{2}*a_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ {\textit a_{n}} & a_{n}*a_{1} & a_{n}*a_{2} & \ldots & a_{n}*a_{n} \\ \end{matrix}$
Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:
- Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то $*$ — коммутативна.
- Если $i$-ая строка повторяет верхнюю строку и $i$-ый столбец повторяет левый столбец, то $a_{i}$ — нейтральный элемент.
- Если каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, то для каждого элемента из $\mathbb A_{n}$ существует симметричный.
Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.
Пример 1
Дано множество $\mathbb A=\left \{1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}.$ На этом множестве задана операция $*$ такая, что $ \forall \, a,b \in \mathbb A, a*b=\max(a,b).$ Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:
Построим таблицу Кэли:
$\begin{matrix} * & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 7 & 8\\ 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 8 \\ 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ \end{matrix}$
- Таблица симметрична относительно главной диагонали, значит операция $*$ — коммутативна.
- Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит 1 — нейтральный элемент.
- Симметричный элемент существует только для 1.
- Можем сделать вывод, что $\left (\mathbb A,* \right )$ не является группой.
Пример 2
Дано множество преобразований правильного треугольника $\mathbb B=\left \{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} \right \},$ переводящих треугольник в самого себя.
$\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2}$ — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы $0, \frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ вокруг точки $O.$
$\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5}$ — симметрия относительно осей $m, l, p$
Построить таблицу Кэли и показать, что $\left (\mathbb B,\circ \right )$ — группа:
Каждое преобразование представим в виде подстановки:
$\varphi _{0}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & B & C\end{pmatrix}$ $\varphi _{1}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & C & A\end{pmatrix}$ $\varphi _{2}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & A & B\end{pmatrix}$ $\varphi _{3}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & A & C\end{pmatrix}$ $\varphi _{4}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & B & A\end{pmatrix} $ $\varphi _{5}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & C & B\end{pmatrix}$
Составим таблицу Кэли:
$\begin{matrix} {\circ} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \varphi _{0} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \varphi _{1} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{4} & \varphi _{5} & \varphi _{3} \\ \varphi _{2} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{5} & \varphi _{3} & \varphi _{4}\\ \varphi _{3} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{0} & \varphi _{2} & \varphi _{1}\\ \varphi _{4} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{1} & \varphi _{0} & \varphi _{2} \\ \varphi _{5} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{2} & \varphi _{1} & \varphi _{0} \\ \end{matrix}$
- Таблица несимметрична относительно главной диагонали, значит операция композиции подстановок — некоммутативна.
- Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит $\varphi _{0}$- нейтральный элемент.
- Каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, значит для каждого элемента из множества существует симметричный.
- Композиция подстановок — ассоциативна.
- Следовательно, $\left (\mathbb B,\circ \right )$ является группой.
Литература:
- Белозёров Г.С. Конспект лекций.
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
- Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113
Тест
Таблица лучших: Таблица Кэли
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||