Натуральные, целые и рациональные числа

В процессе счёта возникли натуральные числа.
$latex \mathbb{N}=\{1,2,3,…,n,…\}$.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
$latex \mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,…,n,-n\}$.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
$latex \mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}, m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\}$.
Например: $latex \frac{1}{2}; \frac{5}{8}; -\frac{1}{2}; -\frac{11}{8}; -\frac{1}{30} … $
Во множестве рациональных чисел $latex \mathbb{Q} $ выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени $latex (a*x+b=c)$, однако, простейшее уравнение $latex x^2=a$, $latex a\in\mathbb{N} $ не всегда разрешимо в $latex \mathbb{Q} $, в частности, уравнение $latex x^2=2 $ не имеет решений в $latex \mathbb{Q} $.

Необходимость иррациональных чисел

Докажем, что уравнение $latex x^2=2 $ не имеет решений в $latex \mathbb{Q} $.

Теорема

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
$latex \square $  Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа $latex p$ и $latex q$ — числитель и знаменатель данного рационального числа; $latex p$ и $latex q$ — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).

$latex \frac{p}{q}\in\mathbb{Q}, $  $latex (\frac{p}{q})^{2}=2 $

$latex p^{2}=2q^{2} $ $latex \Rightarrow $ $latex p^{2} \vdots 2 $

$latex p^{2} $ — чётное число, тогда $latex p$ — чётное.

Отсюда: $latex p=2s$

$latex 4s^{2}=2q^{2} |:2$

$latex 2s^{2}=q^{2} \Rightarrow q^{2} $ — чётное $latex \Rightarrow q $ — чётное.

Получили противоречие того утверждения, что $latex p$ и $latex q$ — взаимно простые. $latex \blacksquare $

Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

$latex 1)$ $latex \frac{3}{8}=0,375$ — конечная десятичная дробь;
$latex 0,375=\frac {375}{1000}=\frac {3}{8}$.
$latex 2)$ $latex \frac{27}{11}=2,454545…=2,(45)$ — бесконечная периодическая десятичная дробь.
$latex 2,(45)=2+\frac{45}{100}+\frac{45}{100^{2}}+\frac{45}{100^{3}}+\cdots$ $latex =2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots)$.
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  $latex S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}$, где $latex b_{1}$ — первый член геометрической прогрессии,  $latex q$ — знаменатель прогрессии.
Получим: $latex 2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots)=$ $latex 2+45*\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}}=$
$latex =2+\frac{45}{99}=2\frac{5}{11} $.
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с $latex «0»$ в периоде.
$latex 0,375=0,375(0)$.
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с $latex (9)$ с бесконечной периодической периодической дробью с $latex (0)$.
$latex 2,5=2,5(0)=2,4+0,1=2,4+\frac{1}{10}=$ $latex 2,4+(\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+\cdots)=$ $latex =2,4+\frac{9}{10}(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}}+\cdots)$ $latex=2,4+0,9(9)=2,4(9).$

Тест "Существование иррациональных чисел".

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые задания по вышеизложенной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Какие операции на множестве натуральных чисел снова дают натуральные числа?

   • сложение
   • деление
   • вычитание
   • умножение
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Какое отношение между множествами правильное?

   • $$ \mathbb{Q}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R} $$
   • $$ \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R} $$
   • $$ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} $$
   • $$ \mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{N} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Заполните пробел:

   • Договорились, конечную десятичную дробь отождествлять с бесконечной десятичной дробью с (0)  в периоде.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте операции в порядке расширения множеств, к которым они приводят.

   • сложение
   • вычитание
   • деление
   • извлечение корня
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте числа, в зависимости от того множества, к которому они принадлежат

   Элементы сортировки

   • $$ \sqrt{3} $$
   • $$ \sqrt{4} $$
   • $$ 5\sqrt{-1} $$

   • Иррациональное

   • Рациональное

   • Комплексное

   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. З. М. Лысенко.  Лекции по математическому анализу.
2. В. И. Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса, «Астропринт», 2009г.), стр.1.
3. В. И. Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40. (скачать учебник можно здесь).

Подробнее про «существование иррациональных чисел» на:

Wikipedia

Викизнание

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Литература:

• Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
• Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

  Интегрирование рациональных функций

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 3 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  Информация

  Интегрирование рациональных функций

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Правильных ответов: 0 из 3

  Ваше время:

  Время вышло

  Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 3

     1.

     Количество баллов: 2

     Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций

     • Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
     • Разложение знаменателя на простейшие дроби.
     • Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
     • Интегрирование простейших рациональных дробей.
     Правильно
     

     Неправильно
     
  2. Задание 2 из 3

     2.

     Количество баллов: 2

     Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
     Правильно
     

     Неправильно
     
  3. Задание 3 из 3

     3.

     Количество баллов: 2

     Выбрать равенства, соответствующие интегралам

     Элементы сортировки

     • $ \ln\left | x-a \right |$
     • $ \frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
     • $ \frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

     • $ \int \frac{A}{x-a}dx$

     • $ \int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

     • $ \int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

     • $ \int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

     • $ \int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

     Правильно
     

     Неправильно
     

  Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   
   Функция \(f(x)\) называется непрерывной слева, если

   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\)
   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a-\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a+\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)

   • Определение левостороннего предела по Коши

   • Определение левостороннего предела по Гейне

   • Определение правостороннего предела по Коши

   • Определение правостороннего предела по Гейне

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция \(f(x)\) имеет предел в точке \(a\) тогда и только тогда, когда существуют (равные, одинаковые) между собой (односторонние) пределы в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   
   Найти односторонние пределы функции \(f(x)=\frac{1}{x}\) при \(x\rightarrow 0\):

   • Правый предел = \(+\infty\)
   • Левый предел = \(-\infty\)
   • Правый предел = \(-\infty\)
   • Левый предел = \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно