Если $latex X \neq \varnothing$ и $latex X$ — ограничено сверху(снизу) в $latex \mathbb{R}$, то $latex \exists \sup X<\infty. (\exists \inf X>-\infty)$
Пусть $latex E$ — множество всех верхних границ множества $latex X$, то есть $latex X\leq E.$ По аксиоме непрерывности $latex \exists c \in \mathbb{R}:X\leq c \leq E.$
Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения $latex P(n), \forall n \in \mathbb{N},$ то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа $latex n_0 $, обычно $latex n_0=1$, а потом допускают истинность выражения $latex P(k).$ Далее доказывают истинность утверждения $latex P(k+1).$
Упражнение:
Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.
Доказываемое утверждение:все лошади одного цвета.
Доказательство:
Проведем доказательство по индукции.
База индукции:
Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета. Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые $latex K $ лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим $latex K+1 $ каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся $latex K $ лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся $latex K $ лошадей снова будут одного цвета. Значит, все $latex K+1 $ лошадей одного цвета.
Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.
В чем ошибка? Решение
Спойлер
Опровержение
Противоречие возникает из-за того, что шаг индукции не сообразуется с базой. Он верен лишь при $latex K \geq 2 $. При $latex K = 1 $ (база индукции) получаемые множества оставшихся лошадей не будут пересекаться, и утверждение о равенстве цветов всех лошадей сделать нельзя.
Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число $latex M$ называется точной верхней гранью (границей), если:
$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \leq M;$
$latex 2)$ для $latex \forall {M}'<M: \exists {x}’ \in X:{x}’>{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).
Число $latex M$ называется точной нижней гранью (границей), если:
$latex 1)$ для $latex \forall x \in X: x \geq M;$
$latex 2)$ для $latex \forall {M}’>M: \exists {x}’ \in X:{x}'<{M}’;$ (любое число меньшее M верхней гранью не является).
$latex M=\inf X$ ($latex M$ — инфимум $latex X$).
(если множество $latex X$ неограничено сверху, то пишем $latex \sup{X}=+\infty;$ если множество $latex X$ неограничено снизу, то пишем $latex \sup{X}=-\infty.$)
Примечание: если $latex M$ не является точной верхней гранью множества $latex X$ и $latex \forall x \in X : x \leq M$, тогда $latex \exists {M}'<M : \forall {x}’ \in X : {x}’>{M}’;$
если $latex M$ не является точной нижней гранью множества $latex X$ и $latex \forall x \in X : x \geq M$, тогда $latex \exists {M}’>M : \forall {x}’ \in X : {x}'<{M}’.$
Пусть множество $latex X$ имеет 2 точных верхних грани: $latex M_{1}$ и $latex M_{2}.$
Допустим $latex M_{1}<M_{2}$.
Так как $latex M_{1}<M_{2}$ и $latex M_{2}=\sup{X}$, то $latex \exists {x}’ \in X: {x}’>M_{1}$, что противоречит тому факту, что $latex M_{1}=\sup{X}.$ $latex \blacksquare$
Действительно, всякие рациональные $latex x< \sqrt{2}$ (и при этом $latex x> -\sqrt{2}$) будут элементами множества $latex r$, причём $latex \forall \epsilon : \exists x \in r : \sqrt{2} — x< \epsilon$. То есть какое бы рациональное число из $latex r$ мы не взяли, можно взять рациональное число из $latex r$ так, что оно будет находиться ближе к $latex \sqrt{2}$ на числовой прямой.
$latex 2)$ Пусть $latex \left \{ -x\right \}$ — множество чисел, противоположных числам $latex x \in \left \{x \right \}.$
Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным сверху, если $latex \exists c\in\mathbb{R}:$ $latex \forall x\in X:$ $latex x\leq c$, то есть все элементы множества $latex X$ лежат левее $latex c$.
Например: $latex 3,2,1,0,-1,…$ ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.
В данном случае, число $latex c$ называется верхней границей множества $latex X$.
Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным снизу, если $latex \exists c\in\mathbb{R}:$ $latex \forall x\in X:$ $latex x\geq c$, то есть все элементы множества $latex X$ лежат правее $latex c$.
В данном случае, число $latex c$ назовём нижней границей множества $latex X$.
Например: $latex 1,2,…$ ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.
Множество $latex X(\subset\mathbb{R})$ называется ограниченным, если $latex \exists {c}’,c \in\mathbb{R}: \forall x \in X: {c}’ \leq x \leq c$.
Предложение:(другая запись ограниченности множества)
Множество $latex X(\mathbb{R})$ ограниченно $latex \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\forall x \in X: \left|x\right| \leq c$.
$latex -c \leq x \leq c$
$latex x$ — найбольший элемент (максимум) множества $latex X$, если $latex x\in X$ и $latex \forall y\in X: y\leq x$.
$latex x$ — найменьший элемент (минимум) множества $latex X$, если $latex x\in X$ и $latex \forall y\in X: y\geq x$.
Например: $latex x=(0;1]$ не имеет минимума.
Теорема
(принцип Архимеда)
Для $latex \forall x \in \mathbb{R}$ $latex \exists n \in \mathbb{N}: n>x$,то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.
$latex \square$ Докажем методом от противного. Предположим, что $latex \mathbb{N}$ ограничено сверху во множестве $latex \mathbb{R}$. Тоесть $latex E$ — множество всех его верхних границ (не пустое). $latex \mathbb{N} \leq E$, тогда по аксиоме непрерывности$latex \exists c \in \mathbb{R}: \mathbb{N} \leq c \leq E$. Так как $latex c \leq E$, то $latex c$ не является верхней границей. Следовательно, $latex c-1 \notin E$, то есть $latex c-1$ не является верхней границей для $latex \mathbb{N}$. $latex \exists n \in \mathbb{N}: n>c-1 \Leftrightarrow c<n+1$. Так как $latex n \in \mathbb{N}$, то $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Получаем, что $latex n+1 \leq c$. Получили противоречие с тем, что $latex c<n+1$. $latex \blacksquare$
Тест "Ограниченные и неограниченные множества"
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Тестовые вопросы по вышеизложенной теме
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 1
Множество X=(1;4] является
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 1
Укажите натуральное число, которым ограниченно снизу множество X=(1;9]
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 1
Укажите правильную характеристику множества X=(19; 29,5)
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 1
Отсортируйте множества согласно их характеристикам:
Элементы сортировки
$$ X=(-\infty;\infty) $$
$$ X=(-18;0] $$
$$ X=[-\pi;\infty) $$
Неограничено
Имеет максимум
Имеет минимум
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 1
Укажите пропущенное слово
Множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве (вещественных, действительных) чисел. (принцип Архимеда)
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"
максимум из 5 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Источники:
Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)
В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.