Свойство 1 (интеграл от положительной функции)
Если $latex f(x) \in R[a,b]$ и $latex f(x)\geqslant 0\;\forall\;x\in[a,b]\;(a<b)$, то и
$latex \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geqslant 0$.
$latex \square$Рассмотрим интегральную сумму Дарбу для данного интеграла
$latex \delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$.
Поскольку $latex f(\xi _{i})\geqslant 0$ и $latex \delta x_{i}\geqslant 0$, то и
$latex \delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i} \geqslant 0$,
тогда
$latex \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\delta _{T}(\xi ,f) \geqslant 0$.
Что и требовалось доказать.$latex \blacksquare$
Пример
Не вычисляя интеграла, определить его знак $latex \int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx$.
Рассмотрим подынтегральную функцию $latex f(x)=x^{2}+3$. Поскольку $latex f(x)>0 , \; \forall \; x \in [1,2]$, то по свойству интеграла от положительной функции $latex \int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx > 0$.
Литература
- Лысенко З.М.. Конспект лекций по математическому анализу
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:Наука, 1982, стр.333
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:Наука, 1969, стр.110-113