Интеграл от положительной функции

Свойство 1 (интеграл от положительной функции)

 Если f(x) \in R[a,b] и f(x)\geqslant 0\;\forall\;x\in[a,b]\;(a<b), то и
\int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geqslant 0.

Спойлер

\squareРассмотрим интегральную сумму Дарбу для данного интеграла

\delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}.

Поскольку f(\xi _{i})\geqslant 0 и \delta x_{i}\geqslant 0, то и

\delta _{T}(\xi ,f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i} \geqslant 0,

тогда

\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\delta _{T}(\xi ,f) \geqslant 0.

Что и требовалось доказать.\blacksquare

[свернуть]
Пример

Не вычисляя интеграла, определить его знак \int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx.

Спойлер

Рассмотрим подынтегральную функцию f(x)=x^{2}+3. Поскольку f(x)>0 , \; \forall \; x \in [1,2], то по свойству интеграла от положительной функции  \int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx > 0.

[свернуть]
Литература
Смотрите так же

Интеграл от положительной функции: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *