Пусть задана матрица $$\begin{equation*}
A = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\end{equation*}, $$ где $n$ столбцов и $m$ строк. Заметим, что числа не имеют никакой связи между собой. Будем рассматривать столбцы как вектора $m-$мерного пространства. То есть в таком виде: $$ \alpha_1 = \left(a_{11}, a_{21},\dots,a_{m1}\right),$$ $$\alpha_2 = \left(a_{12}, a_{22},\dots,a_{m2}\right),$$ $$\vdots$$ $$\alpha_m = \left(a_{1n}, a_{2n},\dots,a_{mn}\right).$$ Они могут быть линейно зависимыми. Тогда имеет место такое определение:
Определение. Пусть задана матрица $A = \|a_{ij}\| \in M_{m \times n}(P).$ Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов, то есть количество векторов (столбцов) в максимально линейно независимой системе столбцов матрицы $A.$ Обозначение: $\mathop{\rm rank} A.$
Примечание. Ранг нулевой матрицы равен нулю.
$$\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix} \right).$$ Как видим, столбцы равны между собой, а значит линейно независимые столбцы отсутствуют, их количество равно нулю и, по определению, ранг равен нулю.
Ранг системы столбцов также можно называть «столбцовым» рангом. Очевидно, для строк существует аналогичное название — «строчный» ранг. Однако в этом случае строки будут рассматриваться как вектора $n-$мерного пространства, а именно: $$ \beta_1 = \left(a_{11}, a_{12},\dots,a_{1n}\right),$$ $$\beta_2 = \left(a_{21}, a_{22},\dots,a_{2n}\right),$$ $$\vdots$$ $$\beta_n = \left(a_{m1}, a_{m2},\dots,a_{mn}\right).$$ Ранги равны между собой, что следует из теоремы о ранге матрицы. Необходимо упомянуть, что $\mathop{\rm rank} A \leqslant min\left\{n,m\right\}$, где $n$ — количество столбцов матрицы $A$, а $m$ — количество строк. Этот факт также следует из теоремы.
Пример. Найти ранг матрицы $$A = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 & 5 & 12 & -6 \\ 5 & 4 & -1 & -25 & 16 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & -10 & 0 & 9 \end{array} \right).$$Запишем столбцы как вектора и проверим есть ли зависимость: $$ \alpha_1 = \left(-1,5,2\right),~ \alpha_2 = \left(3, 4, 0\right),~ \alpha_3 = \left(2,-1,3\right), $$ $$\alpha_4 = \left(5,-25,-10\right),~ \alpha_5 = \left(12,16,0\right),~ \alpha_6 = \left(-6,3,9\right).$$ В нашем случае она очевидна: $$\alpha_4 =-5 \cdot \alpha_1,~ \alpha_5 = 4 \cdot \alpha_2,~ \alpha_6 =-3 \cdot \alpha_3.$$ Значит, линейно независимых столбцов в матрице три и, по определению, $\mathop{\rm rank} A = 3. $
Пример. Найти ранг матрицы $$A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right).$$ Ранг столбцов равен $4.$ Но это превышает ранг матрицы, который должен быть не больше трех. Узнаем, с помощью элементарных преобразований, есть ли среди строк линейно зависимые: $$\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \end{array} \right).$$Линейно независимых строк две. Позже будет доказано, что «строчный» ранг равен рангу матрицы. А так как нам известен ранг строк, можно сказать, что $\mathop{\rm rank} A = 2.$
Определение: Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.
Свойство 1: База линейной независимой системы совпадает с ней самой.
Пример: [latex] e_{1}=<1, 0, 0>[/latex]
[latex]e_{2}=<0, 1, 0>[/latex]
[latex]e_{3}=<0, 0, 1>[/latex]
[latex]<e_{1}, e_{2}, e_{3}> — [/latex] Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.
Свойство 2:(Критерий Базы) Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.
Доказательство: Дана система [latex]S=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>[/latex] Необходимость
Пусть [latex]S_{1}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}>[/latex] база [latex]S[/latex].
Тогда по определению [latex]S_{1}\sim S[/latex] и, если [latex]S_{2}=<a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},a_{j}>[/latex], где [latex]k+1\leq j\leq n[/latex], система линейно зависима, так как [latex]a_{j}[/latex] линейно вырожается через [latex]S_{1}[/latex], следовательно [latex]S_{1}[/latex] максимально линейно независима. Достаточность Пусть [latex]S_{1} — [/latex]максимально линейно независимая подсистема, тогда [latex]\forall a_{j}[/latex] где [latex]k+1\leq j\leq n[/latex].
[latex]S_{2}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{j}> — [/latex] линейно зависима [latex]\Rightarrow S_{2}[/latex] линейно вырожается через [latex]S_{1}\Rightarrow [/latex] [latex]S_{1}\sim S[/latex] следовательно [latex]S_{1}[/latex] база системы [latex]S[/latex].
Свойство 3:(Основное свойство базы) Каждый вектор системы [latex]S[/latex] вырожается через базу единственным образом.
Доказательство Пусть вектор [latex]a[/latex] вырожается через базу двумя способами, тогда:
[latex]a=\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}[/latex]
[latex]a=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}[/latex], тогда
[latex]\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}[/latex]
[latex](\alpha_{1}-\beta_{1})e_{1}+\ldots+(\alpha_{k}-\beta_{k})e_{k}=0[/latex]
[latex]\alpha_{1}-\beta_{1}=\ldots=\alpha_{k}-\beta_{k}=0\Rightarrow [/latex] [latex]\alpha_{1}=\beta_{2}, \ldots, \alpha_{k}=\beta_{k}[/latex]
Определение: Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю.
Свойства ранга: 1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов.
2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов.
3) Ранги эквивалентных систем совпадают — [latex]S_{1}\sim S_{2}\Rightarrow [/latex] rank [latex]S_{1}=[/latex] rank [latex]S_{2}[/latex].
4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы.
5) Если [latex]S_{1}\subset S_{2}[/latex] и rank [latex]S_{1}=[/latex] rank [latex]S_{2}[/latex], тогда [latex]S_{1}[/latex] и [latex]S_{2}[/latex] имеют общую базу.
6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.
[свернуть]
Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.
Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:
1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на [latex]-1[/latex], от третьей отнимим первую умноженную на [latex]-2[/latex], а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу [latex]S_{2}[/latex] :
[latex] S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} [/latex]
2) Теперь в матрице [latex]S_{2}[/latex], поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента [latex]a_{22}[/latex] была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу [latex]S_{3}[/latex] :
[latex] S_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
3)В матрице [latex]S_{3}[/latex] анулируем все элементы под элементом [latex]a_{22}[/latex].
Поскольку вновь элемент [latex]a_{42}[/latex] нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на [latex]2[/latex]. Получим матрицу [latex]S_{4}[/latex] :
[latex] S_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
4)Вновь поменяем в матрице [latex]S_{4}[/latex] строки 3 и 4 местами. Получим матрицу [latex]S_{5}[/latex] :
[latex] S_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} [/latex]
5)В матрице [latex]S_{5}[/latex] прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу [latex]S_{6}[/latex], которая будет иметь треугольный вид:
[latex] S_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}[/latex]
Системы [latex]S_{1}\sim S_{6}[/latex], их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank [latex]S_{1} =[/latex] rank [latex]S_{6} =4[/latex]
Замечания: 1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку. Пример: [latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:
[latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.
Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система [latex]S=<e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}>[/latex] где [latex]e_{1}=(1, 0)[/latex], [latex]e_{2}=(0, 1)[/latex], [latex]e_{3}=(2, 1)[/latex] и [latex]e_{4}=(1.5, 3)[/latex]. Базой данной системы очевидно буду вектора [latex]e_{1}[/latex] и [latex]e_{2}[/latex], поскольку через них выражаются векторы [latex]e_{3}, e_{4}[/latex].
Данная система в графическом виде будет иметь вид: