Определение:
Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.
Свойство 1:
База линейной независимой системы совпадает с ней самой.
Пример:
[latex] e_{1}=<1, 0, 0>[/latex]
[latex]e_{2}=<0, 1, 0>[/latex]
[latex]e_{3}=<0, 0, 1>[/latex]
[latex]<e_{1}, e_{2}, e_{3}> — [/latex] Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.
Свойство 2:(Критерий Базы)
Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.
Доказательство:
Дана система [latex]S=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>[/latex]
Необходимость
Пусть [latex]S_{1}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}>[/latex] база [latex]S[/latex].
Тогда по определению [latex]S_{1}\sim S[/latex] и, если [latex]S_{2}=<a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},a_{j}>[/latex], где [latex]k+1\leq j\leq n[/latex], система линейно зависима, так как [latex]a_{j}[/latex] линейно вырожается через [latex]S_{1}[/latex], следовательно [latex]S_{1}[/latex] максимально линейно независима.
Достаточность
Пусть [latex]S_{1} — [/latex]максимально линейно независимая подсистема, тогда [latex]\forall a_{j}[/latex] где [latex]k+1\leq j\leq n[/latex].
[latex]S_{2}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{j}> — [/latex] линейно зависима [latex]\Rightarrow S_{2}[/latex] линейно вырожается через [latex]S_{1}\Rightarrow [/latex] [latex]S_{1}\sim S[/latex] следовательно [latex]S_{1}[/latex] база системы [latex]S[/latex].
Свойство 3:(Основное свойство базы)
Каждый вектор системы [latex]S[/latex] вырожается через базу единственным образом.
Доказательство
Пусть вектор [latex]a[/latex] вырожается через базу двумя способами, тогда:
[latex]a=\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}[/latex]
[latex]a=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}[/latex], тогда
[latex]\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}[/latex]
[latex](\alpha_{1}-\beta_{1})e_{1}+\ldots+(\alpha_{k}-\beta_{k})e_{k}=0[/latex]
[latex]\alpha_{1}-\beta_{1}=\ldots=\alpha_{k}-\beta_{k}=0\Rightarrow [/latex] [latex]\alpha_{1}=\beta_{2}, \ldots, \alpha_{k}=\beta_{k}[/latex]
Определение:
Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю.
Свойства ранга:
1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов.
2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов.
3) Ранги эквивалентных систем совпадают — [latex]S_{1}\sim S_{2}\Rightarrow [/latex] rank [latex]S_{1}=[/latex] rank [latex]S_{2}[/latex].
4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы.
5) Если [latex]S_{1}\subset S_{2}[/latex] и rank [latex]S_{1}=[/latex] rank [latex]S_{2}[/latex], тогда [latex]S_{1}[/latex] и [latex]S_{2}[/latex] имеют общую базу.
6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.
Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.
Пример:
[latex]a_{1}=(1, 1, 1, 1)[/latex]
[latex]a_{1}=(1, -1, 0, 2)[/latex]
[latex]a_{1}=(2, 2, 1, -1)[/latex]
[latex]a_{1}=(0, 1, 3, 0)[/latex]
Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим:
[latex] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} [/latex]
Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:
1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на [latex]-1[/latex], от третьей отнимим первую умноженную на [latex]-2[/latex], а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу [latex]S_{2}[/latex] :
[latex] S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix} [/latex]
2) Теперь в матрице [latex]S_{2}[/latex], поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента [latex]a_{22}[/latex] была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу [latex]S_{3}[/latex] :
[latex] S_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
3)В матрице [latex]S_{3}[/latex] анулируем все элементы под элементом [latex]a_{22}[/latex].
Поскольку вновь элемент [latex]a_{42}[/latex] нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на [latex]2[/latex]. Получим матрицу [latex]S_{4}[/latex] :
[latex] S_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
4)Вновь поменяем в матрице [latex]S_{4}[/latex] строки 3 и 4 местами. Получим матрицу [latex]S_{5}[/latex] :
[latex] S_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} [/latex]
5)В матрице [latex]S_{5}[/latex] прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу [latex]S_{6}[/latex], которая будет иметь треугольный вид:
[latex] S_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}[/latex]
Системы [latex]S_{1}\sim S_{6}[/latex], их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank [latex]S_{1} =[/latex] rank [latex]S_{6} =4[/latex]
Замечания:
1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку.
Пример:
[latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:
[latex] A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix} [/latex]
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.
Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система [latex]S=<e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}>[/latex] где [latex]e_{1}=(1, 0)[/latex], [latex]e_{2}=(0, 1)[/latex], [latex]e_{3}=(2, 1)[/latex] и [latex]e_{4}=(1.5, 3)[/latex]. Базой данной системы очевидно буду вектора [latex]e_{1}[/latex] и [latex]e_{2}[/latex], поскольку через них выражаются векторы [latex]e_{3}, e_{4}[/latex].
Данная система в графическом виде будет иметь вид:
Литература:
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 52-55.
- Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с. 90-99.
- Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)
Таблица лучших: База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||