База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Спойлер


Определение:
Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1:
База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример:
 e_{1}=<1, 0, 0>
e_{2}=<0, 1, 0>
e_{3}=<0, 0, 1>
<e_{1}, e_{2}, e_{3}> - Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы)
Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство:
Дана система S=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>
Необходимость
Пусть S_{1}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}> база S.
Тогда по определению S_{1}\sim S и, если S_{2}=<a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},a_{j}>, где k+1\leq j\leq n, система линейно зависима, так как a_{j} линейно вырожается через S_{1}, следовательно S_{1} максимально линейно независима.
Достаточность
Пусть S_{1} - максимально линейно независимая подсистема, тогда \forall a_{j}  где k+1\leq j\leq n.
S_{2}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{j}> - линейно зависима \Rightarrow S_{2} линейно вырожается через S_{1}\Rightarrow S_{1}\sim S следовательно S_{1} база системы S.

Свойство 3:(Основное свойство базы)
Каждый вектор системы S вырожается через базу единственным образом.

Доказательство
Пусть вектор a вырожается через базу двумя способами,  тогда:
a=\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}
a=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}, тогда
\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}
(\alpha_{1}-\beta_{1})e_{1}+\ldots+(\alpha_{k}-\beta_{k})e_{k}=0
\alpha_{1}-\beta_{1}=\ldots=\alpha_{k}-\beta_{k}=0\Rightarrow    \alpha_{1}=\beta_{2}, \ldots, \alpha_{k}=\beta_{k}

Определение:
Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю.

Свойства ранга:
1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов.
2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов.
3) Ранги эквивалентных систем совпадают — S_{1}\sim S_{2}\Rightarrow rank S_{1}= rank S_{2}.
4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы.
5) Если S_{1}\subset S_{2} и rank S_{1}= rank S_{2}, тогда S_{1} и S_{2} имеют общую базу.
6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.

[свернуть]

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Пример:
a_{1}=(1, 1, 1, 1)
a_{1}=(1, -1, 0, 2)
a_{1}=(2, 2, 1, -1)
a_{1}=(0, 1, 3, 0)

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим:
 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки  от второй отнимим первую умноженную на -1, от третьей отнимим первую умноженную на -2, а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу S_{2} :
 S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}
2) Теперь в матрице S_{2}, поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента a_{22} была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу S_{3} :
 S_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}
3)В матрице S_{3} анулируем все элементы под элементом a_{22}.
Поскольку вновь элемент a_{42} нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на 2. Получим матрицу S_{4} :
 S_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}
4)Вновь поменяем в матрице S_{4} строки 3 и 4 местами. Получим матрицу S_{5} :
 S_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}
5)В матрице S_{5} прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу S_{6}, которая будет иметь треугольный вид:
 S_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}

Системы S_{1}\sim S_{6}, их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank S_{1} = rank S_{6} =4

Замечания:
1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку.
Пример:
 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:
 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система S=<e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}> где e_{1}=(1, 0)e_{2}=(0, 1)e_{3}=(2, 1) и e_{4}=(1.5, 3). Базой данной системы очевидно буду вектора e_{1} и e_{2}, поскольку через них выражаются векторы e_{3}, e_{4}.
Данная система в графическом виде будет иметь вид:
svg1

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 52-55.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с. 90-99.
  3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Определение циклической группы

Пусть дана группа (G, \cdot). Если \exists g_{0}\in G такое, что \forall g\in G, \exists n\in \mathbb Z: g=g_{0}^n, то (G, \cdot) называется циклической группой  и пишут G=<g_{0}>_{n}, где g_{0} образующая и количество элементов, порядок группы, |G|=n. Циклическая группа G называется конечной, если она имеет конечное число элементов, в противном случае группа называется бесконечной.

Теорема
Пусть дана циклическая группа (G, \cdot) и G=<g_{0}>_{n}, тогда эта группа имеет следующий вид: G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Доказательство
Для доказательства покажем что все элементы нашей группы различные, иначе количество элементов в группе будет меньше её порядка.
Пусть \exists i<j такие, что  0\leq i<j \leq{n-1} и  g_{0}^{i} = g_{0}^{j}\Rightarrow g_{0}^{j-i} = 1, тогда \exists m\in \mathbb Z : m=j-i, следовательно 1\leq m\leq{n-1} и g_{0}^m=1. Отсюда \forall g\in G, g=g_{0}^t, t\in \mathbb Z и t=mq+r, 0\leq r<m, тогда g_{0}^t=g_{0}^{mq+r}=(g_{0}^m)^q\cdot g_{0}^r\Rightarrow g_{0}^t =1\cdot g_{0}^r=g_{0}^r, это значит что все элементы группы будут равны g_{0}^r, где \forall t\in \mathbb Z существует свой r,но 0\leq r<m, а 1\leq m\leq{n-1} мы получаем противоречие, поскольку мы не получим всю группу.

Таким образом G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}.

Примеры циклических групп
A=\{1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\} — Конечная иклическая группа, поскольку каждый элемент является значением 2^k, 0\leq k\leq 6, отсюда образующей этой группы является 2 и A=<2>_{7}.

A=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6} \} — Конечная циклическая группа, каждый элемент является значением (\frac{1}{2})^k, 0\leq k\leq 6, образующей является \frac12 и A=<\frac12>_{7}.

Литература

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 24-28.
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 с. 246-248.
  3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

 

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Тест на тему «Теорема о представлении элементов конечной циклической группы»:

Таблица лучших: Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных