Автор: Евелина Алексютенко

Критерий обратимости

Теорема (Критерий обратимости квадратных матриц). Квадратная матрица порядка $n$ обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Необходимость. Пусть $A \in M_{n}\left (P\right ).$ И пусть для нее существует правая обратная матрица, тогда, применяя одно из свойств умножения матриц, получаем $AB = E,$ где $E$ — единичная матрица.$$\det(AB)= \det A \det B = 1\Rightarrow \det A\neq 0$$ — по определению матрица $A$ невырожденная.

Тогда покажем, что и для левой обратной матрицы результат аналогичен. Применяя одно из свойств умножения матриц получаем $BA = E.$$$\det(BA)= \det B\det A = 1\Rightarrow \det A\neq 0$$ — по определению матрица $A$ невырожденная.

Зная определение обратной матрицы, видим, что необходимость выполняется.

Достаточность. Пусть $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$, то есть$\left ( \det A \right )\neq 0$. Укажем обратную матрицу явно. Для удобства обозначим за $$\widetilde{A} = \begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}$$- присоединенную матрицу такую, что $\widetilde{A}=\begin{Vmatrix}A_{ij}\end{Vmatrix}$, где $A_{ij}$ — это алгебраические дополнения к элементу $a_{ij}$ матрицы $A$, $i=\overline{1, n}$ и $j=\overline{1, n}$. Тогда $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\begin{Vmatrix}A_{ji}\end{Vmatrix}.$

Покажем, что $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}.$ Для этого следует проверить выполнение таких равенств: $\displaystyle A\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=E$ и $\displaystyle \frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A=E.$

Проверим первое равенство. Положим $\displaystyle B=A\cdot \frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$, тогда $$b_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\frac{1}{\det A}A_{jk}=\frac{1}{\det A}\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}.$$

Если $i=j$, то по определению детерминанта получаем $$\displaystyle b_{ij}=\frac{1}{\det A}\det A=1.$$

Если $i\neq j$, то по теореме о «чужих» дополнениях $b_{ij}=0.$

Таким образом, мы доказали, что $\displaystyle E=A\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}.$

Проверим второе равенство. Положим, $\displaystyle C= \frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A.$ Тогда $\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\det A}A_{jk}a_{ik}=\frac{1}{\det A}\sum_{k=1}^{n}A_{jk}a_{ik}.$ Получаем, что при $i=j$ $\displaystyle c_{ij}=\frac{1}{\det A}\det A=1$, а при $i\neq j\Rightarrow c_{ij}=0.$

Получаем, что выполняется первое и второе равенство, следовательно, достаточность данного критерия доказана.

Следствие. $\det A^{-1}= \left ( \det A \right )^{-1}.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Докажите, что матрица $A$ не имеет обратной. $$A=\left (\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 4 & 6\\ 2 & 1 & 2 & 3\\ 0& 1 & -2 & 1\end{array}\right ).$$
    Решение

    Следуя из условия требуется показать, что исходная матрица не удовлетворяет условиям критерия обратимости квадратных матриц. Проверим матрицу на невырожденность, для этого сначала приведем данную матрицу к треугольному виду методом Гаусса. Получаем $$A=\left (\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 4 & 6\\ 2 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right )\sim\left (\begin{array}{rrr}2 & 3 & 4 & 6\\ 2 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 0& 2 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right )\sim\left (\begin{array}{rrr}2 & 3 & 4 & 6\\ 2 & 1 & 2 & 3\\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & -2 & 1\end{array}\right )\sim$$$$\left (\begin{array}{rrr}2 & 3 & 4 & 6\\ 0 & -2 & -2 & -3\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\end{array}\right )\sim \left (\begin{array}{rrr}2 & 3 & 4 & 6\\ 0 & -2 & -2 & -3\\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right ).$$ Видим, что матрица имеет нулевую строку, по третьему свойству определителей, определитель данной матрицы равен нулю, а это по определению означает, что исходная матрица вырождена. Следовательно, исходная матрица не имеет обратной.

  2. Найти значение выражения $\left ( \det A \right )^{-1}+3\det B^{-1}$, не вычисляя обратные матрицы, где $$A=\left (\begin{array}{rrr}0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 7 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right ),\, B=\left (\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right ).$$

    Решение

    По следствию из критерия обратимости квадратных матриц получаем $\det A^{-1}+3\det B^{-1}.$ Так из лекции обратимость матриц мы знаем, что $\displaystyle \det A^{-1}= \frac{1}{\det A}.$$$\det A= \left| \begin{array}{rrr}0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 7\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right |=7-6=1,\, \det B=\left |\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2\\ 4 & 3 & 1\\ 2 & 0 & 3\end{array}\right |=9-12=-3.$$ Тогда $\displaystyle \frac{1}{1}+3\left (-\frac{1}{3}\right )=1-1=0.$

    Ответ: $0.$

Смотрите также

  1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. — 431 с. — С. 95-98.
  2. Конспект Г.С.Белозерова. Глава 4 — 18 с. — С. 11 — 12.
  3. Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 416 с. — С. 134-137.

Критерий обратимости

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.

Обратимость матриц

Замечание 1. Существование обратной матрицы следует из теоремы о полной линейной группе квадратных невырожденных матриц. А именно, обратная матрица — это обратный (симметрический) элемент группы.

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется правой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется левой обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$A^{-1}A=E.$$

Определение. Пусть дана матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Тогда матрица $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$ называется обратной к матрице $A$, если выполнено условие: $$AA^{-1}=A^{-1}A=E,$$ то есть она одновременно левая и правая обратная.

Замечание 2. Стоит заметить, что поле $P$ — это любое числовое поле.

Замечание 3. Матрицы $A$ и $A^{-1}$ называются взаимно обратными. Матрица $A$ называется обратимой.

Спойлер

Определение. Квадратная матрица над полем $P$ называется невырожденной(неособенной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае, матрица называется вырожденной(особенной).

Множество квадратных невырожденных матриц заданных над полем $P$ обозначим $M_{n}^{0}\left ( P \right ).$

[свернуть]

Обратимость вырожденной матрицы. Пусть дана вырожденная матрица $A \in M_{n}\left (P\right ).$ Ввиду некоммутативности умножения матриц, будем говорить о правой обратной матрице, то есть $$AA^{-1}=E.$$ Так как матрица $A$ вырожденная, то при условии существования $A^{-1}\in M_{n}\left (P\right )$, по одному из свойств умножения матриц получаем, $\det \left ( AA^{-1} \right )= \det A \det A^{-1}=0\neq 1=\det E$, где $E$ — единичная матрица . Таким образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной. По тем же соображениям, вырожденная матрица не может иметь и левой обратной. Поэтому для вырожденной матрицы обратной не существует.

Обратимость невырожденной матрицы. Пусть дана $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$ и имеет вид: $$A =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}.$$ Введем вспомогательно понятие: присоединенная матрица $\widetilde{A}\in M_{n}\left (P\right )$ такая, что $\widetilde{A}=\begin{Vmatrix}A_{ij}\end{Vmatrix}$, где $A_{ij}$ — это алгебраические дополнения к элементу $a_{ij}$ матрицы $A$, $i=\overline{1, n}$ и $j=\overline{1, n}.$ Тогда $$\widetilde{A} = \begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}.$$ Найдем произведение $A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A$, используя теорему о разложении определителя по строке или столбцу и теорему Лапласа. Получаем $$A\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left ( \widetilde{A} \right )^{T}A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots &A_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}=$$$$=\det A\cdot E=\begin{pmatrix}\det A & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \det A & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A\end{pmatrix}.$$ На местах элементов главной диагонали оказываются суммы произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, то есть $\det A$. Остальные элементы равны нулю, по теореме о «чужих» дополнениях, в связи с тем, что на их местах оказываются суммы произведений элементов строки на алгебраические дополнения другой строки. Тогда можно заключить, что обратной к матрице $A$ будет служить матрица, полученная из присоединенной матрицы $\widetilde{A}$ путем ее транспонирования и деления всех элементов на $\det A$, из чего следует алгоритм построения обратной матрицы. Тогда $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left ( \widetilde{A} \right )^{T}$ и $AA^{-1}=A^{-1}A = E.$

Замечание 4. Из теоремы об умножении определителей получаем, что $$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}.$$ И тут мы можем увидеть тот факт, что матрица обратная к невырожденной также невырождена.$$\det A \neq 0\Rightarrow\frac{1}{\det A}\neq 0.$$

Свойства операции обращения матрицы

  1. $\left ( A^{-1} \right )^{-1}=A;$
  2. $ \left ( \lambda A \right )^{-1}=\lambda ^{-1}A^{-1};$
  3. $\left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1};$
  4. $\left ( A^{-1} \right )^{k}=\left ( A^{k} \right )^{-1}.$

Лемма. Если матрица $A \in M_{n}^{0}\left (P\right )$ обратима, то существует только одна матрица, обратная к $A.$

Предположим обратное. То есть $\exists B,C \in M_{n}^{0}\left ( P \right )$ обратные к $A.$ Тогда $AC=E=BA$ и $B=BE=B\left( AC \right )=$ $=\left ( BA \right )C=EC=C$, то есть $B=C.$

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться обратные матрицы. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Найти матрицу обратную к данной $$A= \left (\begin{array}{rrr}-1 & -4& -2\\ 1 & -1& 1\\ 2 &2&4\end{array}\right ).$$

    Решение

    Найдем обратную матрицу по формуле. Найдем определитель исходной матрицы, используя теорему о разложении по строке. Разложим по первой строке.$$\det A= \left (\begin{array}{rrr}-1 & -4& -2\\ 1 & -1& 1\\ 2 & 2& 4 \end{array}\right )=\left ( -1 \right )\left ( -1 \right )^{1+1}\left (\begin{array}{rrr}-1 & 1\\ 2 & 4 \end{array}\right )-4\left ( -1\right )^{1+2}\left (\begin{array}{rrr}1 & 1\\ 2 & 4\end{array}\right )-$$$$-2\left (-1\right )^{1+3}\left (\begin{array}{rrr}1 &-1 \\ 2 & 2\end{array}\right )=-\left ( -4-2 \right )+4\left ( 4-2 \right )-2\left ( 2+2 \right )=6+8-8=6.$$ Теперь найдем присоединенную матрицу. $$\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}-6 & -2 & 4 \\ 12 & 0 & -6 \\ -6 &-1 & 5\end{array}\right ).$$ Далее транспонируем присоединенную матрицу, $$\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}-6 & 12 & -6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 4 & -6 & 5\end{array}\right ).$$ Получаем, $$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{6}\left (\begin{array}{rrr}-6 & 12 & -6 \\ -2 & 0 & -1 \\ 4 & -6 & 5\end{array}\right ).$$

  2. Решить матричное уравнение $$\left (\begin{array}{rrr}2 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right )X=\left (\begin{array}{rrr}4 & 7\\ 3 & 5\end{array}\right ).$$

    Решение

    Уравнение имеет вид $AX=B.$ Для решения уравнения относительно X умножим обе его части на $A^{-1}$слева: $$A^{-1}AX=A^{-1}B; $$$$EX=A^{-1}B; $$$$X=A^{-1} B.$$ Теперь найдем обратную к матрице $A$, используя формулу. $$\det A=\left (\begin{array}{rrr}2 & 4\\ 3 & 7\end{array}\right )=14-12=2.$$$$ \widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}7 & -3\\ -4 & 2\end{array}\right ), \left (\widetilde{A}\right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}7 & -4\\ -3 & 2\end{array}\right ).$$ Таким образом, обратная матрица: $$\displaystyle A^{-1}=\left (\begin{array}{rrr}\frac{7}{2} & -2\\ -\frac{3}{2} & 1\end{array}\right ).$$$$\displaystyle X=A^{-1}B=\left (\begin{array}{rrr}\frac{7}{2} & -2 \\ -\frac{3}{2} & 1 \end{array}\right )\left (\begin{array}{rrr}4 & 7\\ 3 & 5\end{array}\right )=\left (\begin{array}{rrr}8 & \frac{29}{2}\\ -3&-\frac{11}{2}\end{array}\right ).$$

  3. Найти определитель матрицы обратной к матрице $A$, не вычисляя ее.$$A=\left (\begin{array}{rrr}2 & 1 &-1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{array}\right ).$$

    Решение

    Ранее, в замечании $4$ отмечалось, что $\displaystyle\det A^{-1}= \frac{1}{\det A}.$ Тогда вычислим определитель исходной матрицы.$$ \det A=\begin{vmatrix}2 & 1 &-1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \end{vmatrix}=4+12+2=18.$$ Тогда, $\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{18}.$

    Ответ: $\displaystyle \frac{1}{18}.$

  4. Можно ли получить из матрицы $A^{-1}$ матрицу $B$? Если можно, то укажите $\lambda$ такое, что $\left ( \lambda A \right )^{-1}=B.$ $$A=\left (\begin{array}{rrr}2 & -4\\ 1 & 1\end{array}\right ),\,B=\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right ).$$

    Решение

    Из свойства $2$ обратных матриц мы знаем, что $\left ( \lambda A \right )^{-1}=\lambda^{-1}A^{-1}.$ Найдем $A^{-1}$: $\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}1 & -1\\ 4 & 2\end{array}\right )$, $\left ( \widetilde{A} \right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right )$, $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{6}\left (\begin{array}{rrr}1 & 4\\ -1 & 2\end{array}\right ).$ Видим, что $\displaystyle \left(\frac{1}{6}\right)^{-1}A^{-1}=B\Rightarrow \lambda ^{-1}=6 \Rightarrow \lambda =\frac{1}{6}.$

    Ответ: $\displaystyle \frac{1}{6}.$

  5. Даны матрицы $A$ и $B$, найти $\left ( AB \right )^{-1}.$$$ A=\left ( \begin{array}{rrr}2 & -6\\ 2 & 1\end{array}\right ),\, B=\left ( \begin{array}{rrr}3 & 8\\ 2 & 2\end{array}\right ).$$

    Решение

    По свойству $3$ обратных матриц получаем $\left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$ Тогда найдем обратные матрицы.$$\widetilde{A}=\left (\begin{array}{rrr}1 & -2\\ 6 & 2\end{array}\right ),\,\left (\widetilde{A}\right )^{T}=\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right ),\, A^{-1}=\frac{1}{14}\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right ).$$$$\widetilde{B}=\left (\begin{array}{rrr}2 & -2\\ -8 & 3\end{array}\right ),\,\left (\widetilde{B}\right)^{T}=\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right ),\, B^{-1}=-\left ( \frac{1}{10} \right )\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right ).$$Тогда $$ \displaystyle \left ( AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}=-\left ( \frac{1}{10} \right )\left (\begin{array}{rrr}2 & -8\\ -2 & 3\end{array}\right )\frac{1}{14}\left (\begin{array}{rrr}1 & 6\\ -2 & 2\end{array}\right )=$$$$\displaystyle =\left (\begin{array}{rrr}-\frac{2}{10} & \frac{8}{10}\\ \frac{2}{10} & -\frac{3}{10}\end{array}\right )\left (\begin{array}{rrr}\frac{1}{14} &\frac{6}{14} \\ -\frac{2}{14} & \frac{2}{14}\end{array}\right )=\left (\begin{array}{rrr}-\frac{9}{70} & \frac{1}{35}\\ \frac{2}{35} & \frac{3}{70}\end{array}\right ).$$

Смотрите также

  1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. — 431 с. — С. 95-98.
  2. Конспект Г.С.Белозерова. Глава 4 — 18 с. — С. 11 — 12.
  3. Д.К. Фаддеев. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1984. — 416 с. — С. 134-137.

Обратимость матриц

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.

M1753. Вершина угла на середине хорды

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 6 выпуск)

Задача

Окружность, вписанная в $\triangle ABC$,  касается его сторон в точках  $A’$, $B’$, $C’$,  точка $L$ – середина отрезка $A’B’$ (см. рисунок). Докажите, что $\angle ALB$ — тупой.

Введем обычные обозначения: $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$, p — полупериметр $\triangle ABC$. Так как $CA’=CB’=p-c$ и $CL$ биcсектриса $\angle C$, $CL= \left ( p-c \right )\cos\left ( \frac{C}{2} \right ).$ Применяя теорему косинусов к $\triangle ACL$ и $\triangle BCL$, получим $$AL^{2}=b^{2} +\left ( p-c \right )^{{2}}\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )-2b\left (p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right ),$$$$BL^{2}=a^{2} +\left ( p-c \right )^{{2}}\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )-2a\left ( p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right ),$$$$AL^{2}+BL^{2}-c^{2}=2\left (ab\cos C-p \left (p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)=$$$$=\frac{2\left(ab-p\left (p-c\right )-ab\tg^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)}{\left (1+\tg ^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)}.$$Поскольку $$ab-p\left ( p-c \right )=\left( \left( p-a \right)+ \left( p-c\right)\right)\left( \left( p-b \right)+\left( p-c \right) \right)-$$ $$-\left ( p-c \right ) ( \left ( p-a \right )+ \left ( p-b\right)+\left ( p-c \right ))=\left ( p-a \right)\left ( p-b \right ),$$ $$\tg ^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )=\frac{r^{2}}{\left ( p-c\right )^{2}}=\frac{\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )}{p\left( p-c \right)},$$a $p\left ( p-c \right )< ab$, выражение $AL^{2}+BL^{2}-c^{2}$ отрицательно, т.е. $\angle ALB$ тупой.

А.Заславский