M1753. Вершина угла на середине хорды

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 6 выпуск)

Задача

Окружность, вписанная в $\triangle ABC$,  касается его сторон в точках  $A’$, $B’$, $C’$,  точка $L$ – середина отрезка $A’B’$ (см. рисунок). Докажите, что $\angle ALB$ — тупой.

Введем обычные обозначения: $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$, p — полупериметр $\triangle ABC$. Так как $CA’=CB’=p-c$ и $CL$ биcсектриса $\angle C$, $CL= \left ( p-c \right )\cos\left ( \frac{C}{2} \right ).$ Применяя теорему косинусов к $\triangle ACL$ и $\triangle BCL$, получим $$AL^{2}=b^{2} +\left ( p-c \right )^{{2}}\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )-2b\left (p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right ),$$$$BL^{2}=a^{2} +\left ( p-c \right )^{{2}}\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )-2a\left ( p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right ),$$$$AL^{2}+BL^{2}-c^{2}=2\left (ab\cos C-p \left (p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)=$$$$=\frac{2\left(ab-p\left (p-c\right )-ab\tg^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)}{\left (1+\tg ^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)}.$$Поскольку $$ab-p\left ( p-c \right )=\left( \left( p-a \right)+ \left( p-c\right)\right)\left( \left( p-b \right)+\left( p-c \right) \right)-$$ $$-\left ( p-c \right ) ( \left ( p-a \right )+ \left ( p-b\right)+\left ( p-c \right ))=\left ( p-a \right)\left ( p-b \right ),$$ $$\tg ^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )=\frac{r^{2}}{\left ( p-c\right )^{2}}=\frac{\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )}{p\left( p-c \right)},$$a $p\left ( p-c \right )< ab$, выражение $AL^{2}+BL^{2}-c^{2}$ отрицательно, т.е. $\angle ALB$ тупой.

А.Заславский