Перед прочтением статьи, ознакомьтесь со следующим материалом:
• Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.
• Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.
• Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру — Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа, стр 620-621

Теорема

Пусть функция $f(x,y)$ определена и непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике $\{(x,y)\colon a \le x < b, \ — \infty < a < b \le +\infty, \  c \le y < d\}$.

Если выполняются условия:
• Несобственный интеграл $\int\limits_a^b |f(x,y)| dx$ сходится равномерно на любом отрезке $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$
• Несобственный интеграл $\int\limits_c^d |f(x,y)| dy$ сходится равномерно на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset (a,b)$,
• Сходится один из повторных интегралов: $$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b |f(x,y)| dx, \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d |f(x,y)| dy,$$

то существуют оба повторных интеграла $\int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy$ $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ и $$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$$

Доказательство

Пусть $f(x,y) \ge 0$ и существует интеграл $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$. Возьмем произвольный отрезок $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$. Тогда интеграл по отрезку $[\gamma,\delta]$ будет собственным. Согласно теореме о перестановки порядка интегрирования имеем:

$$\int\limits_\gamma^\delta dy\int\limits_a^b f(x,y)dx = \int\limits_a^b dx\int\limits_\gamma^\delta f(x,y)dy \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$$

где последнее неравенство следует из существования интеграла $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$ и неотрицательности функции $f$.  Предел левой части равенства при $\delta \to d-0$ и $\gamma \to c+0$, равен интегралу $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$. Следовательно, получаем неравенство

$$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$$

Проведя аналогичное рассуждение для интеграла $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ получим новое неравенство

$$\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy \le \int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx.$$

Из этих двух неравенств следует равенство

$$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$$

Пусть теперь функция $f(x,y)$ — произвольная. Тогда её можно представить в виде разности

$f=f^+ — f^-$, где $f^+ = \frac{|f|+f}{2}$, $f^- = \frac{|f|-f}{2}$, $f^+ \ge 0$, $f^- \ge 0$.

Используя следствие теоремы (критерий коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру) и признаки сравнения несобственных интегралов, заключаем, что условие теоремы выполнены для функций $f^+$ и $f^-$. Тогда, основываясь на приведенном доказательстве для неотрицательных функций, можно заключить, что повторные интегралы от функций $f^+$ и $f^-$ равны. Следовательно, повторные интегралы от функции $f=f^+ — f^-$ также равны.

Пример 1

Допустима ли перестановка порядка интегрирования для функции $f(x,y)= \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ в прямоугольнике [0, 1; 0, 1]?

Пример 2

Функция $f(x,y)=x^y$ определена и непрерывна в прямоугольнике $[0,1;a,b]$, где $0<a<b$. Вычислить интеграл $$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dy.$$

Список использованной литературы

• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа, стр 630-633
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- т.1 стр 664-665
• Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа, том. 2 стр 679-681

Тест

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Для закрепления усвоенного материала, рекомендуется пройти тест по пройденной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Восстановите условия теоремы

   Элементы сортировки

   • определена и непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике $\{(x,y): a \le x < b, - \infty < a < b \le +\infty, c \le y < d\}$
   • сходится равномерно на любом отрезке $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$
   • сходится равномерно на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset (a,b)$

   • Функция $f(x,y)$

   • Несобственный интеграл $\int\limits_a^b |f(x,y)| dx$

   • Несобственный интеграл $\int\limits_c^d |f(x,y)| dy$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   $\int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy$ и $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ — повторные интегралы функции $f(x,y)$.

   • Если функция удовлетворяет условиям теоремы, то (существуют) оба повторных интеграла , при чем они (равны) между собой
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Какие интегралы удовлетворяют условию теоремы?

   • $\int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-\frac{1}{x+y}}dx$ на прямоугольнике $[0 , + \infty; 0 , + \infty]$
   • $ \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ на прямоугольнике $[0 , + \infty; 0 , + \infty]$
   • $\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{ \cos xy}{1+x^2}dx$ на прямоугольнике $[0 , + \infty; - \infty , + \infty]$
   • $\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{sin x^2}{x + y}$ на прямоугольнике $[0,1; 0,+ \infty]$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   1. Существует разрыв а точке $[0,0]$.

   2. По признаку Вейерштрасса, так как на любом отрезке $[\gamma, \delta] \subset [0,+\infty]$ $ye^{-y^2(x^2+1)} \le \delta e^{- \gamma^2(1+x^2)}$ и $\int_\limits{0}^{+\infty} \delta e^{- \gamma ^2(x^2+1)}dx$ сходится равномерно по параметру $y$ при $y \ge 0$.

   3. По признаку Вейерштрасса, так как $\frac{\cos xy}{1+x^2} \le \frac{1}{1+x^2}$ и $\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$ сходится равномерно по параметру $y$ на $[- \infty , + \infty]$.

   4. Существует разрыв а точке $[0,0]$.
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте интегралы по убыванию

   • $\int\limits_{0}^{+ \infty} dy \int\limits_{0}^{2} \frac{x}{x^2+y^2}dx$
   • $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{1}^{e} \frac{dx}{x^2+y^2}dx$
   • $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-y^2(x^2+1)}dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   1. $\int\limits_{0}^{+ \infty} dy \int\limits_{0}^{2} \frac{x}{x^2+y^2}dx = $ $\int\limits_{0}^{2} dx \int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{x}{x^2+y^2}dy = $ $\int\limits_{0}^{2} dx \frac{x}{x} \arctan \frac{y}{x}$ $\bigg|_0^{+\infty} =$ $\int\limits_{0}^{2} \frac{\pi}{2} dx =\frac{x \pi}{2} \bigg|_0^{2} = \pi$
   2. $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{1}^{e} \frac{dx}{x^2+y^2}dx = $ $\int\limits_{1}^{e}dx \int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{dx}{x^2+y^2}dy = $ $\int\limits_{1}^{e}dx \frac{1}{x} \arctan
   \frac{y}{x} \bigg|_0^{+ \infty} = $ $\int\limits_{1}^{e}dx \frac{\pi}{2x}dx = $ $\frac{\pi}{2} \ln x \bigg|_1^e = $ $\frac{\pi}{2}(1-0) = \frac{\pi}{2}$
   3. $\int\limits_{0}^{+ \infty}dy \int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-y^2(x^2+1)}dx = $ $\int\limits_{0}^{+ \infty}dx \int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-y^2(x^2+1)}dy = $ $-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}(0-\frac{1}{(x^2 +1)})dx= $ $\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}= $ $\frac{1}{2} \arctan x\bigg|_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}$