Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные

Теорема

Пусть функция $f(x,y)$ определена и непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике $\{(x,y)\colon a \le x < b, \ — \infty < a < b \le +\infty, \  c \le y < d\}$.

    Если выполняются условия:

  • Несобственный интеграл $\int\limits_a^b |f(x,y)| dx$ сходится равномерно на любом отрезке $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$
  • Несобственный интеграл $\int\limits_c^d |f(x,y)| dy$ сходится равномерно на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset (a,b)$,
  • Сходится один из повторных интегралов: $$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b |f(x,y)| dx, \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d |f(x,y)| dy,$$

то существуют оба повторных интеграла $\int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy$ $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ и $$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$$

Доказательство

Пусть $f(x,y) \ge 0$ и существует интеграл $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$. Возьмем произвольный отрезок $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$. Тогда интеграл по отрезку $[\gamma,\delta]$ будет собственным. Согласно теореме о перестановки порядка интегрирования имеем:

$$\int\limits_\gamma^\delta dy\int\limits_a^b f(x,y)dx = \int\limits_a^b dx\int\limits_\gamma^\delta f(x,y)dy \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$$

где последнее неравенство следует из существования интеграла $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$ и неотрицательности функции $f$.  Предел левой части равенства при $\delta \to d-0$ и $\gamma \to c+0$, равен интегралу $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$. Следовательно, получаем неравенство

$$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$$

Проведя аналогичное рассуждение для интеграла $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ получим новое неравенство

$$\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy \le \int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx.$$

Из этих двух неравенств следует равенство

$$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$$

Пусть теперь функция $f(x,y)$ — произвольная. Тогда её можно представить в виде разности

$f=f^+ — f^-$, где $f^+ = \frac{|f|+f}{2}$, $f^- = \frac{|f|-f}{2}$, $f^+ \ge 0$, $f^- \ge 0$.

Используя следствие теоремы (критерий коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру) и признаки сравнения несобственных интегралов, заключаем, что условие теоремы выполнены для функций $f^+$ и $f^-$. Тогда, основываясь на приведенном доказательстве для неотрицательных функций, можно заключить, что повторные интегралы от функций $f^+$ и $f^-$ равны. Следовательно, повторные интегралы от функции $f=f^+ — f^-$ также равны.

Пример 1

Допустима ли перестановка порядка интегрирования для функции $f(x,y)= \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ в прямоугольнике [0, 1; 0, 1]?

Спойлер

Условия теоремы для функции $f(x,y)$ не выполнены так как существует разрыв в точке $(0, 0)$. Проверим равенство повторных интегралов $\int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx$ и $\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dy$

$$\int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx = \int\limits_{0}^{1}dy \frac{x}{x^2+y^2} \bigg|_0^1 = \int\limits_{0}^{1} \frac{dy}{1+y^2} = $$
$$= \arctan y \bigg|_0^1 = \frac{\pi}{4},$$
в то время как
$$\int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dy = \int\limits_{0}^{1}dx \frac{-y}{x^2+y^2} \bigg|_0^1 = \int\limits_{0}^{1} \frac{-dx}{1+x^2} = $$
$$= — \arctan x \bigg|_0^1 = — \frac{\pi}{4}$$
$$\Longrightarrow \int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx \ne \int\limits_{0}^{1}dx \int\limits_{0}^{1} \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}dy.$$

Следовательно, перестановка порядка интегрирования в данном случае не допустима.

[свернуть]

Пример 2

Функция $f(x,y)=x^y$ определена и непрерывна в прямоугольнике $[0,1;a,b]$, где $0<a<b$. Вычислить интеграл $$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dy.$$

Спойлер

Искомый интеграл удовлетворяет условиям теоремы. Следовательно, мы можем поменять порядок интегрирования:

$$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}x^ydy=\int\limits_{a}^{b}dy\int\limits_{0}^{1}x^ydx.$$

После чего остается вычислить полученный повторный интеграл

$$\int\limits_{a}^{b}dy\int\limits_{0}^{1}x^ydx = \int\limits_{a}^{b}dy \frac{x^{y+1}}{y+1} \bigg|_0^1 = \int\limits_{a}^{b} \frac{dy}{y+1} = $$

$$ \ln{(y+1)}\bigg|_a^b =\ln{\frac{b+1}{a+1}}$$

Так как $\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}x^ydy=\int\limits_{a}^{b}dy\int\limits_{0}^{1}x^ydx,$

то значение искомого интеграла: $\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}x^ydy=\ln{\frac{b+1}{a+1}}.$

[свернуть]

Список использованной литературы

Тест

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

Для закрепления усвоенного материала, рекомендуется пройти тест по пройденной теме

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *