Задача М1314 з журналу «Квант» 1991 року №11

Умова

$ABCD$ — випуклий чотирикутник, діагоналі котрого перетинаються в точці $O$. Нехай $P$ та $Q$ — центри кіл, описаних навколо трикутників $ABO$ і $CDO$.

Доведіть, що $AB+CD\leq4PQ$

Розв’язання

Нехай $O$ — точка перетину діагоналей чоторикутника $ABCD$. Проведемо пряму, що ділить кути $BOA$ та $COD$ навпіл і, що перетинає кола, описані навколо трикутників $AOB$ і $COD$ у точках $K$ і $L$ відповідно. (малюнок)

Нехай $PM$ та $QN$ — перпендикуляри, опущені із точок $P$ і $Q$ на пряму $KL$.

Так як сума кутів $\angle KBO$ і $\angle KAO$ = $180^{\circ}$, один з цих двох кутів не є гострим. Будемо для визначенності вважати, що таким кутом є $KBO$.

З трикутника $KBO$ отримаємо, що $КО > KB$. А так як трикутник $AKB$ — рівнобедрений,

$$2KB = KB + KA > AB.$$

Отже, $2KO > AB$. Аналогічно доводиться, що $2LO > CD$.

Але тоді

$$4PQ \geq 4MN = 2KL = 2KO + 2LO > AB + CD.$$