Вычисления площадей плоских областей, ограниченных кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Параметрическое задание

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая

 \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.

Причем: функции x и  y непрерывны на интервале [a,b], a<b; x=\varphi (t) монотонно возрастает на этом интервале и \varphi (\alpha )=a, \psi (\beta )=b.

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле  S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt подстановкой: S(G)=\int\limits_\alpha^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt

Если функция является монотонно убывающей на интервале [\beta ,\alpha], \beta < \alpha, то формула примет следующий вид:  S(G)=-\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi '(t)dt

Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Примеры:

Спойлер

Дан эллипс \left\{\begin{matrix} x=2\cos t\\y=3\sin t \end{matrix}\right.. Посчитать его площадь.

Делим эллипс абсциссой и ординатой на 4 симметричные части.

Image1

Очевидно, их площади равны — а площадь эллипса получается равной площади верхней правой четверти, умноженной на 4.

Считаем её. Она равна
-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3\sin t*(2\cos )' dt=6\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}t dt=3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2t)dt=\frac{3\pi }{2}

Умножаем площадь одной четверти на 4, и:

Ответ — 6\pi

[свернуть]

Спойлер

Дана линия,заданная функциями x=2t-t^2 и y=2t^2-t^3.
Найти площадь ограниченной ею и осью ОХ фигуры.
Находим производную y', она равна (2t^2-t^3)'=4t-3t^3.
Находим t, при которых наша линия пересекается с осью OX. Это t=0 и t=2. Составляем формулу площади:

S=\int\limits_{0}^{2}(2t-t^2)(4t-3t^2)dt;

S=\int\limits_{0}^{2}(3t^4-10t^3+8t^2)dt;

S=\frac{3t^5}{5}-\frac{5t^4}{2}+\frac{8t^3}{3}|^2_0;

S=\frac{8}{15};
Ответ — \frac{8}{15}.

[свернуть]

Полярное задание

А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: $$ S=\frac{1}{2} \int\limits_{\alpha }^{\beta }r^{2}d\varphi $$ Здесь \alpha и \beta — значения углов, ограничивающих фигуру, r — расстояние от начала координат до точки, \varphi — угол. Уравнение функции в полярных координатах — r=f(\varphi )

Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.

Пример:

Спойлер

Найдём площадь круга. Задан уравнением r=a.

Площадь круга в первом квадранте — $$ S=\frac{1}{2} \int\limits_{0 }^{\frac{\pi }{2} }a^{2}d\varphi $$

Преобразуем этот интеграл:

S=\frac{1}{2}*\frac{\pi }{2}*a^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}.

Площадь всего круга — учетверённая площадь одной четверти, которую мы и подсчитали выше.

Тут должна быть картинка

S= \pi a^{2}

[свернуть]

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Вычисление пути и его длины.

Параметрическое задание:

Дано  \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.

Тогда площадь находится по формуле: S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(\varphi' (t))^{2}+(\psi' (t))^{2}}dt

Полярное задание:

Дано r=f(\alpha ), где r — расстояние от точки до начала координат, \alpha — угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью OX.

S=\int_{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sqrt{((r\cos \alpha )')^{2}+((r\sin \alpha )')^{2}}dt

Пример:

Спойлер

Найдём длину первого витка спирали Архимеда:

r=\alpha \varphi; 0\leq \varphi \leq 2\pi

Запишем формулу длины для этого случая:

L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(\alpha \varphi \cos \varphi)'^2+(\alpha \varphi \sin \varphi)'^2}d\varphi

Упрощаем её, раскрываем скобки и вспоминаем о тригонометрической единице:

L=\alpha \int_{0}^{2\pi }\sqrt{1+\varphi ^2}d\varphi

К счастью, этот интеграл — табличный — а, точнее, частный случай табличного (таблицу интегралов, содержащую его, можно найти тут) и равен:

L=\alpha (\pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\frac{\ln (2\pi + \sqrt{1+4\pi ^2})}{2})

[свернуть]

Обычное задание:

Дана функция в виде y=f(x).

S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1+(y')^{2}}dx

Пример:

Спойлер

Найти длину графика функции y=x^\frac{3}{2} на отрезке [0;4]

Мы получаем интеграл:

L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+(y')^2}dx

L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx

Делаем небольшую замену переменной:

q=\frac{9}{4}x+1; dq=\frac{9}{4}dx

L=\frac{4}{9}\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}d(1+\frac{9}{4}x)

L=\frac{4}{9}\int_{1}^{10} \sqrt{q}dq

И решаем образовавшийся интеграл:

L=\frac{4}{9}*\frac{2}{3}q^{\frac{3}{2}}|^{10}_{1}

L=\frac{8}{27}*(10\sqrt{10}-1)

[свернуть]

Почему эти формулы верны?

Спойлер

Здесь мы доказываем, что верна формула L'(t)=\sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}.
Затем мы избавляемся от производной длины кривой:

L=\int \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}dt

Затем находим длину кривой между двумя точками:

L=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}dt, где t_1 и t_2 — координаты t точек, ограничивающих часть кривой.

И дальше приспосабливаем последнюю формулу под обычный и полярный способы задания функций.

[свернуть]

Источники:

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.

Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.

Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

Определения

Путем на плоскости называется отображение t \mapsto (\varphi (t),\psi (t)) отрезка \left [ \alpha,\beta \right ] в \mathbb{R}^{2}, задаваемое парой непрерывных функций \varphi и \psi. Это означает, что каждому значению t\in \left [ \alpha,\beta \right ] ставится в соответствие точка плоскости с координатами \left ( x,y \right ), где x=\varphi (t),y=\psi(t).
След пути — множество точек \left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.
Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции \varphi и \psi непрерывно дифференцируемы на отрезке \left [ \alpha ,\beta \right ], то путь \gamma =(\varphi ,\psi ) называется дифференцируемым.

Теорема

Дан путь \gamma\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\y=\psi (t) \end{matrix}\right.

Пусть \gamma = (\varphi ,\psi ) непрерывно дифференцируемый путь на отрезке \left [ \alpha ,\beta \right].
Тогда L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{'}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{'}(t)\right ]^{2}}dt, где L_{(\gamma )} — длина пути.

Доказательство

Часть 1

\square \Pi :\alpha =x_{0}<x_{1}< ... <x_{n}=\beta — произвольное разбиение отрезка \left [ \alpha ,\beta \right]. Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}} — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:

  • x_{i+1}-x_i=\varphi '(t_i)(t_{i+1}-t_i);
  • y_{i+1}-y_i=\psi '(t_i)(t_{i+1}-t_i);

Тогда длина ломаной будет равна: S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi '(t))^{2}+(\psi '(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i).
Обозначим наибольшие значения производных \psi '(t) и \varphi '(t) :
L=sup(|\psi '(t)|) и \overline{L}=sup(|\varphi '(t)|).
Очевидно: S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^2}(T-t_{0}), T и t_0  — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^2}(T-t_{0}), где l=inf(|\psi '(t)|), \overline{l}=inf(|\varphi '(t)|)

Часть 2

У нас имеются выведенные в части 1 неравенства:

  • S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^{2}}(T-t_0);
  • S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^{2}}(T-t_0);

Получаем: \sqrt{L^2+\overline L^2}(T-t_0)\geq S\geq \sqrt{l^2+\overline l^2}(T-t_0), p=inf(S)
А теперь возьмём точку a_1 на нашей дуге с координатами (t_1,y_1). Придадим её абсциссе приращение \Delta t и получим точку a_2(t_1+\Delta t, y_2). Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При \Delta t \rightarrow 0 левая часть стремится к \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t. Аналогично, для правой.
Получаем \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t\geq S\geq \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\Delta t. Преобразуем это двойное неравенство:
\sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}\geq \frac{S}{\Delta t}\geq \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}.
L^{'}_{(\gamma )}=\sqrt{(\varphi '(t))^2+((\psi '(t))^2}.
Тогда L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{'}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{'}(t)\right ]^{2}}dt, где L_{(\gamma )} — длина пути. \blacksquare

Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.

Следствия из теоремы

Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.

Литература:

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 1, стр. 192 (определения, теорема).
  2. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169 (следствия). Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 1, стр. 560,562-563 (определения, теорема).

Тест

Таблица лучших: Теорема о вычислении спрямляемого пути, следствия

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных