Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей, на основе которых можно существенно облегчить их вычисление:

Свойство $1$

Определитель транспонированной матрицы равен определителю начальной матрицы: $\det A = \det A^{T}$.

Доказательство

Действительно, брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы — то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. Далее, номера строк для исходной матрицы — это номера столбцов для транспонированной, а номера столбцов исходной матрицы — суть номера строк транспонированной. Поэтому каждое слагаемое входит в состав определителя исходной матрицы и определителя транспонированной с одним и тем же множителем.

[свернуть]

Свойство $2$

Транспозиция (замена) двух строк (столбцов) матрицы — меняет знак определителя $$\det A = \begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{i1} & … & a_{in} \\ a_{j1} & … & a_{jn} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ .&.&. \\ a_{j1} & … & a_{jn}\\ a_{i1} & … & a_{in} \\ .&.&. \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{vmatrix}.$$

Доказательство

Действительно, по Теореме №$2$ о транспозиции — транспозиция меняет четность элементов перестановки. При перестановке двух строк, каждый элемент меняет знак, значит и сам определитель меняет знак.

[свернуть]

Свойство $3$

Умножение всей строки (столбца) на некий элемент $\alpha$ является аналогичным умножению всего определителя на этот элемент. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю: $$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\\alpha a_{i 1} & \alpha a_{i 2} & \cdots & \alpha a_{i j} & \cdots & \alpha a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}= \alpha \cdot\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}.$$

Доказательство

Пусть на $\alpha$ умножаются все элементы $i$-той строки. Каждый член определителя содержит $1$ элемент из этой строки, поэтому всякий член определителя приобретает общий множитель $\alpha$, а это значит что и сам определитель умножается на $\alpha$.

[свернуть]

Свойство $4$

Если все элементы $i$-той строки (столбца) матрицы определителя разбить в сумму двух строк: $$a_{i j}=b_{j}+c_{j}, \quad j=1, \ldots, n$$ то и саму матрицу можно будет разбить на две, у которых все строки (столбцы) кроме $i$-той — такие же как у первой матрицы, а $i$-тая строка состоит из $b_{j}$ в первой матрице определителя, и из элементов $c_{j}$ во втором.

Доказательство

Действительно, любой член матрицы определителя можно представить в виде произведения: $$\begin{aligned}a_{1 \alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots a_{i \alpha_{i}} \ldots a_{n \alpha_{n}}&=a_{1 \alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots\left(b_{\alpha_{i}}+c_{\alpha_{i}}\right)\ldots a_{n \alpha_{n}}=\\&=a_{1 \alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots b_{\alpha_{i}} \ldots a_{n \alpha_{n}}+a_{1\alpha_{1}} a_{2 \alpha_{2}} \ldots c_{\alpha_{i}} \ldots a_{n\alpha_{n}}.\end{aligned}.$$ Объединяя первые слагаемые этого выражения, мы получим матрицу определителя, где в первой матрице в $i$-той строке вместо элементов $a_{i j}$ стоят элементы$b_{j} .$ Соответственно вторые слагаемые составляют матрицу определителя, с элементами $c_{j}$ таким образом: $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & \dots & b_{n}+c_{n} \\a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots a_{1 n} \\b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \\a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\c_{1} & c_{2} &\dots & c_{n} \\a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n}\end{vmatrix}.$$

[свернуть]

Свойство $5$

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы есть произведение элементов ее главной диагонали $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{vmatrix}=a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot \ldots \cdot a_{n n}.$$

Доказательство

Действительно, так как определитель есть произведение одного из элементов строки (столбца) его матрицы, то у первого столбца единственным будет $a_{11}$, во втором столбце — $a_{22}$ т.к. у первой строки $a_{11}$, третьим элементом — только $a_{33}$, далее аналогично.

[свернуть]

Свойство $6$

Если в матрице определителя одна строка будет результатом ее сложения с другой строкой и умножения на число, определитель не изменится . $$\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{j 1} & a_{j 2} & a_{j 3} & \cdots & a_{j n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & a_{i 3} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k 1}+k a_{i 1} & a_{k 2}+k a_{i 2} & a_{k 3}+k a_{i 3} & \cdots & a_{k n}+k a_{i n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1}& \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}\cdot$$

Доказательство

Этот определитель можно представить в виде суммы определителей (по $4$ свойству), в итоге получится $2$ определителя, один из которых будет равен нулю, из-за равенства двух строк, а второй будет исходным.

[свернуть]

Пример $1$

Вычислить определитель $$\det A=\begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\12 & 2 & 12 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix}.$$

Решение

Выносим $2$ из второй строки определителя: $$\det A = \begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\12 & 2 & 12 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}6 & 1 & 6 \\6 & 1 & 6 \\9 & 2 & 5\end{vmatrix} = 0.$$ Видим что у определителя две равных строки соответственно определитель равен нулю

[свернуть]

Пример $2$

Вычислить определитель$$\det A =\begin{vmatrix}12& 5 & 1 & 5 & 19 \\0 & 8 & 2 & 12 & 9 \\0 & 0 & 4 & 27 & 41 \\0 & 0 & 0 & 5 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\end{vmatrix}$$

Решение

По пятому свойству, определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали: $$\det A=\begin{vmatrix}12& 5 & 1 & 5 & 19 \\0 & 8 & 2 & 12 & 9 \\0 & 0 & 4 & 27 & 41 \\0 & 0 & 0 & 5 & 13 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\end{vmatrix}=12\cdot8\cdot4\cdot5\cdot7=13440.$$

[свернуть]

Пример $3$

Проверьте, будет ли определитель транспонированной матрицы равен исходной:$$\begin{Vmatrix}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{Vmatrix}.$$

Решение

$$\begin{vmatrix}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2 \end{vmatrix}=$$$$=(-6)-(-18)-(-24) + 8 + 9 — (-1)=54$$$$\begin{vmatrix}3 & 4 & 1 \\3 & 1 & -2 \\-1 & 3 & -2 \end{vmatrix}=(-6)-(-18)-(-24)+8+9- (-1)=54.$$ Действительно, определитель транспонированной матрицы равен исходной

[свернуть]

Пример 4

Вычислите определитель треугольной матрицы: $$\begin{Vmatrix}3 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 \\1 & -2 & -2 \end{Vmatrix}.$$

Решение

Воспользуемся пятым свойством: $$\begin{vmatrix}3 & 0 & 0 \\4 & 1 & 0 \\1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 3\cdot1\cdot-2 = -6$$

Пример $5$

Вычислите определитель: $$\begin{vmatrix}6 & 5 & 9 & 3 \\2 & 1 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 12 & 8 & 2 \end{vmatrix}.$$

Решение
[свернуть]

По $3$ свойству, матрица определителя, содержащая нулевую строку равна нулю. Ответ $\det A=0$

[свернуть]

Смотрите также

  1. Конспект Белозерова Г.С. по алгебре — Глава IV.
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, издание 9, глава 1, §4, «Определители n-го порядка»
  3. В.Воеводин Линейная алгебра М.: Наука, 1980, глава 7, §62, «Матрицы и определители» — стр 201

Свойства Определителей

Проверьте себя на знание материала «Свойства Определителей»

Ф1308. Скольжение кубика в тележке

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 9 выпуск)

Условие

У левого края тележки длиной $L=0,2$ м и массой $M = 1$ кг лежит кубик массой $m=0,3$ кг (см. рисунок). Кубику толчком придают горизонтальную скорость $v_{0} = 1$ м/с вправо. Считая, что тележка в начальный момент неподвижна, определите, на каком расстоянии от левого края тележки будет находиться кубик после того, как проскальзывание его относительно тележки прекратится. Коэффициент трения кубика о дно тележки $\mu = 0,1$. Удары кубика о стенки считать абсолютно упругими. Тележка едет по столу без трения.

Решение

Проще всего решать эту задачу, исходя из энергетических соображений. Согласно закону сохранения энергии, убыль кинетической энергии системы равна выделившемуся количеству теплоты, которое, в свою очередь, равно работе силы трения скольжения на тормозном пути $l$:$$\Delta E_{k}=\frac{\left(M+m\right) u^{2}}{2}-\frac{m v_{0}^{2}}{2}=Q=F_{тр} l=-\mu m g l.$$Скорость системы и после прекращения проскальзывания легко найти из закона сохранения импульса$$m v_{0}=\left(M+m\right) u.$$После простых преобразований получим$$l=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g\left(1+\frac{m}{M}\right)} \approx 0,38 m.$$Значит, кубик остановится на расстоянии$$x=L-\left(l-L\right)=0,02 m$$от левого края тележки.

А. Зильберман