Ф1308. Скольжение кубика в тележке

Задача из журнала «Квант» (1991 год, 9 выпуск)

Условие

У левого края тележки длиной $L=0,2$ м и массой $M = 1$ кг лежит кубик массой $m=0,3$ кг (см. рисунок). Кубику толчком придают горизонтальную скорость $v_{0} = 1$ м/с вправо. Считая, что тележка в начальный момент неподвижна, определите, на каком расстоянии от левого края тележки будет находиться кубик после того, как проскальзывание его относительно тележки прекратится. Коэффициент трения кубика о дно тележки $\mu = 0,1$. Удары кубика о стенки считать абсолютно упругими. Тележка едет по столу без трения.

Решение

Проще всего решать эту задачу, исходя из энергетических соображений. Согласно закону сохранения энергии, убыль кинетической энергии системы равна выделившемуся количеству теплоты, которое, в свою очередь, равно работе силы трения скольжения на
тормозном пути $l$:

$$
\Delta E_{k}=\frac{\left(M+m\right) u^{2}}{2}-\frac{m v_{0}^{2}}{2}=Q=F_{тр} l=-\mu m g l
$$

Скорость системы и после прекращения проскальзывания легко найти из закона сохранения импульса

$$
m v_{0}=\left(M+m\right) u
$$

После простых преобразований получим

$$
l=\frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g\left(1+\frac{m}{M}\right)} \approx 0,38 m
$$

Значит, кубик остановится на расстоянии

$$
x=L-\left(l-L\right)=0,02 m
$$
от левого края тележки.

А. Зильберман