Processing math: 100%

Теорема о существовании верхней и нижней грани

Если latexX и latexXограничено сверху (снизу) в latexR, то latexsupX<.(infX>)

latex◻ Докажем случай для supremum’а.

Пусть latexE — множество всех верхних границ множества latexX, то есть latexXE. По аксиоме непрерывности latexcR:XcE.

71

latexXcE;Xc;XcE;cE;}c=supX<. latex◼

Аналогично доказывается существование infimum’а.

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.8.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.45.

Подробнее на:

Wikiversity

Метод математической индукции

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения latexP(n),nN, то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа latexn0, обычно latexn0=1, а потом допускают истинность выражения latexP(k). Далее доказывают истинность утверждения latexP(k+1).

Упражнение:

Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.

Доказываемое утверждение: все лошади одного цвета.

Доказательство:

Проведем доказательство по индукции.

База индукции:

Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые latexK лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим latexK+1 каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся latexK лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся latexK лошадей снова будут одного цвета. Значит, все latexK+1 лошадей одного цвета.

Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.

В чем ошибка?
Решение

Спойлер

Пример:

latex1) Доказать равенство: latex12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6,nN.

latex◻ latex1)  latex12=1(1+1)(2+1)6=1.

latex2) Пусть данное утверждение верно для latexn=k:   latex12++k2=k(k+1)(2k+1)6.

latex3) Докажем истинность утверждения для latexn=k+1.

latexk(k+1)(2k+1)612+22++k2+(k+1)2=

latex(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6

latexk(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=

latex(k+1)(k+2)(2k+3)6

latexk(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=

latex(k+1)(k+2)(2k+3)6

latexk(2k2+k+2k+1)+6(k2+2k+1)=

latex(k+1)(2k2+3k+4k+6)

 latex2k3+3k2+k+6k2+12k+6=

latex2k3+7k2+6k+2k2+7k+6

latex2k3+9k2+13k+6=

latex2k3+9k2+13k+6.   latex◼

latex2) Доказать, что для всех натуральных чисел latexn справедливо неравенство latexn2n.

latex◻ Для latexn=1 неравенство принимает вид latex12, т.е. оно справедливо.

Предположим, требуемое неравенство имеет место при некотором latexn=k и покажем, что оно же справедливо и для latexn=k+1.

Сложим предположение индукции latexk2k с неравенством latex122k. Находим latexk+12k+2k=2k+1, что и требовалось доказать. latex◼

Тест "Метод математической индукции"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Метод математической индукции"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
  • В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.4.

 

Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение latex(a+b)n при latexn>0  в виде:

latex(a+b)n=an+C1nan1b+C2nan2b2+

latexC3nan3b3++Cn1nabn1+bn,

где latexCba — число сочетаний из latexa элементов по latexb элементов.

latexCkn=n!k!(nk)!.

Докажем верность данного утверждения:

latex◻ Доказательство методом математической индукции.

latex1) Для latexn=1 :

latexa+b=C01a10b0+C11a11b1=

latexa1+b1=a+b.

Для latexn=1 утверждение выполняется.

latex2) Предположим, что утверждение выполняется для latexn=k.

latex(a+b)k=C0kak0b0+C1kak1b1+

latexC2kak2b2++Ck1ka1bk1+Ckka0bk=

latexak+C1kak1b+C2kak2b2++

latexCk1ka1bk1+bk=ki=0Cikakibi.

latex3) Докажем верность формулы для latexn=k+1.

Докажем, что latex(a+b)k+1=k+1i=0Cikaki+1bi.

latex(a+b)k+1=(a+b)(a+b)k=

latex(a+b)ki=0Cikakibi=

latexki=0Cikaki+1bi+ki=0Cikakibi+1

Вынесем слагаемое при latexi=0 из первой суммы:

latexki=0Cikaki+1bi=ak+1+ki=1Cikaki+1bi

Вынесем слагаемое при latexi=k из последней суммы:

latexki=0Cikakibi+1=

latexbk+1+k1i=0Cikakibi+1=

latexbk+1+ki=1Cik1aki+1bi

Прибавим данные суммы:

latex=ak+1+ki=1Cikaki+1bi+

latexbk+1+ki=1Cik1aki+1bi=

latex=ak+1+bk+1+

latexki=1(Cik+Ci1k)aki+1bi=

latex=0i=0Cik+1aki+1bi+

latexk+1i=k+1Cik+1aki+1bi+

latexki=1Cik+1aki+1bi=

latex=k+1i=0Cik+1aki+1bi latex◼

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

552

Примеры:

latex1) latex(a+b)3=a3+3a2b+3!1!2!ab2+b3=

       latexa3+3a2b+3ab2+b3.

latex2) latex(a+b+c)4=?

latex(a+b+c)4=(a+(b+c))4=

latexa4+a3(b+c)4!3!+a2(b+c)24!2!2+

latexa(b+c)34!3!+(b+c)4=

latexa4+a3b4!3!+a3c4!3!+a2b24!2!2!+2a2bc4!2!+

latexa2c24!2!2!+ab34!3!+3ab2c4!123+

latex+3abc24!123+ac34!3!+

latexb4+b3c4!3!+b2c24!2!2!+bc34!3!+c4=

latex=a4+b4+c4+4(a3b+a3c+b3c)+

latex6(a2b2+a2c2+b2c2)+4(b3a+c3a+c3b)+

latex12(a2bc+b2ac+c2ab).

Список литературы:

Тест "Бином Ньютона"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Таблица лучших: Тест "Бином Ньютона"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Верхняя и нижняя грани множества

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число latexM называется точной верхней гранью (границей), если:

latex1) для latexxX:xM;

latex2) для latexM<M:xX:x>M; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

latexM=supX (latexM — супремум latexX).

Число latexM называется точной нижней гранью (границей), если:

latex1) для latexxX:xM;

latex2) для latexM>M:xX:x<M; (любое число меньшее M верхней гранью не является).

latexM=infX (latexM — инфимум latexX).

(если множество latexX неограничено сверху, то пишем latexsupX=+; если множество latexX неограничено снизу, то пишем latexsupX=.)

Примечание: если latexM не является точной верхней гранью множества latexX  и latexxX:xM, тогда latexM<M:xX:x>M;

если latexM не является точной нижней гранью множества latexX  и latexxX:xM, тогда latexM>M:xX:x<M.

Примеры:

latex1)X=[1;2):

latexsupX=2X;   latexinfX=1.

latex2)X={12;122;123;};

latexsupX=maxX=12X;

latexinfX=0X.

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет latexsup и latexinf, то он единственный.

latex◻ Рассмотрим для latexsup.

 Пусть множество latexX  имеет 2 точных верхних грани:  latexM1 и latexM2.

41

Допустим latexM1<M2.

Так как latexM1<M2 и latexM2=supX, то  latexxX:x>M1, что противоречит тому факту, что latexM1=supX.   latex◼

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

latex1) Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел latexr, удовлетворяющих равенству latexr2<2.

Решим неравенство latexr2.

latexx(2;2)

latexsupr=2 Докажем это:

latex1)xr:x2. Так и есть, latex2 является верхней границей множества latexr.

latex2)M<2:xr:x>M;

Действительно, всякие рациональные latexx<2 (и при этом latexx>2) будут элементами множества latexr, причём latexϵ:xr:2x<ϵ. То есть какое бы рациональное число из latexr мы не взяли, можно взять рациональное число из latexr так, что оно будет находиться ближе к latex2 на числовой прямой.

latex2) Пусть latex{x} — множество чисел, противоположных числам latexx{x}.

Доказать, что latexinf{x}=sup{x}.

latex◻ Пусть latex(x) — элемент из множества latex{x} противоположный элементу latexx из множества latex{x}.

Распишем точную нижнюю грань для множества latex{x} по определению:

latex1) latex(x){x}:(x)M;  latex   latexx{x}:xM;

latex2) latexM>M:(x){x}:(x)<M

  latex(M)<M:x{x}:x>M.

Получили:

latex1)  latexx{x}:xM;

latex2)  latex(M)<M:x{x}:x>M.

Тоесть: latexM=sup{x}  latex  latexM=sup{x}.

Так как latexM=inf{x}, latexinf{x}=sup{x}.  latex◼

Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Тест "Верхняя и нижняя грани множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.7.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.44.

Б.П.Демидович «Сборник задач и упражнений по мат.анализу» (издание пятое) стр.12. №17, 19а.

Подробнее на:

sernam.ru

 Wikipedia

Ограниченные и неограниченные множества

Множество latexX(R) называется ограниченным сверху, если latexcR: latexxX: latexxc, то есть все элементы множества latexX лежат левее latexc.

31

Например: latex3,2,1,0,1, ограничено сверху любым числом, которое больше или равно 3.

В данном случае, число latexc называется верхней границей множества latexX.

Множество latexX(R) называется ограниченным снизу, если latexcR: latexxX: latexxc, то есть все элементы множества latexX лежат правее latexc.

32

В данном случае, число latexc назовём нижней границей множества latexX.

Например: latex1,2, ограничено любым числом, которое меньше или равно 1.

Множество latexX(R) называется ограниченным, если latexc,cR:xX:cxc.

Проще говоря, множество latexX называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и ограниченно снизу .

Предложение: (другая запись ограниченности множества)

Множество latexX(R) ограниченно latexcR:xX:|x|c.

latexcxc

latexx — найбольший элемент (максимум)  множества latexX, если latexxX и latexyX:yx.

latexx — найменьший элемент (минимум)  множества latexX, если latexxX и latexyX:yx.

Например: latexx=(0;1]  не имеет минимума.

Теорема

(принцип Архимеда)

Для latexxR   latexnN:n>x, то есть множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве вещественных чисел.

latex◻ Докажем методом от противного. Предположим, что latexN ограничено сверху во множестве latexR. Тоесть latexE — множество всех его верхних границ (не пустое). latexNE, тогда по аксиоме непрерывности latexcR:NcE. Так как latexcE, то latexc не является верхней границей. Следовательно, latexc1E, то есть latexc1 не является верхней границей для latexN. latexnN:n>c1c<n+1. Так как latexnN, то latexn+1N. Получаем, что latexn+1c. Получили противоречие с тем, что latexc<n+1. latex◼

Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме

Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)

В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.

В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.

Подробнее на:

Wikipedia

mate.oglib.ru