Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения latexP(n),∀n∈N, то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа latexn0, обычно latexn0=1, а потом допускают истинность выражения latexP(k). Далее доказывают истинность утверждения latexP(k+1).
Упражнение:
Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.
Доказываемое утверждение:все лошади одного цвета.
Доказательство:
Проведем доказательство по индукции.
База индукции:
Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета. Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые latexK лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим latexK+1 каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся latexK лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся latexK лошадей снова будут одного цвета. Значит, все latexK+1 лошадей одного цвета.
Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.
В чем ошибка? Решение
Спойлер
Опровержение
Противоречие возникает из-за того, что шаг индукции не сообразуется с базой. Он верен лишь при latexK≥2. При latexK=1 (база индукции) получаемые множества оставшихся лошадей не будут пересекаться, и утверждение о равенстве цветов всех лошадей сделать нельзя.
Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число latexM называется точной верхней гранью (границей), если:
latex1) для latex∀x∈X:x≤M;
latex2) для latex∀M′<M:∃x′∈X:x′>M′; (любое число меньшее M верхней гранью не является).
latexM=supX (latexM — супремум latexX).
Число latexM называется точной нижней гранью (границей), если:
latex1) для latex∀x∈X:x≥M;
latex2) для latex∀M′>M:∃x′∈X:x′<M′; (любое число меньшее M верхней гранью не является).
latexM=infX (latexM — инфимум latexX).
(если множество latexXнеограничено сверху, то пишем latexsupX=+∞; если множество latexXнеограничено снизу, то пишем latexsupX=−∞.)
Примечание: если latexM не является точной верхней гранью множества latexX и latex∀x∈X:x≤M, тогда latex∃M′<M:∀x′∈X:x′>M′;
если latexM не является точной нижней гранью множества latexX и latex∀x∈X:x≥M, тогда latex∃M′>M:∀x′∈X:x′<M′.
latex1)Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чиселlatexr, удовлетворяющих равенствуlatexr2<2.
Решим неравенство latexr2.
latexx∈(−√2;√2)
latexsupr=√2 Докажем это:
latex1)∀x∈r:x≤√2. Так и есть, latex√2 является верхней границей множества latexr.
latex2)∀M′<√2:∃x′∈r:x′>M′;
Действительно, всякие рациональные latexx<√2 (и при этом latexx>−√2) будут элементами множества latexr, причём latex∀ϵ:∃x∈r:√2—x<ϵ. То есть какое бы рациональное число из latexr мы не взяли, можно взять рациональное число из latexr так, что оно будет находиться ближе к latex√2 на числовой прямой.
latex2)Пустьlatex{−x}— множество чисел, противоположных числамlatexx∈{x}.
Доказать, чтоlatexinf{−x}=sup{x}.
latex Пусть latex(−x) — элемент из множества latex{−x} противоположный элементу latexx из множества latex{x}.
Распишем точную нижнюю грань для множества latex{−x} по определению:
latex Докажем методом от противного. Предположим, что latexN ограничено сверху во множестве latexR. Тоесть latexE — множество всех его верхних границ (не пустое). latexN≤E, тогда по аксиоме непрерывностиlatex∃c∈R:N≤c≤E. Так как latexc≤E, то latexc не является верхней границей. Следовательно, latexc−1∉E, то есть latexc−1 не является верхней границей для latexN. latex∃n∈N:n>c−1⇔c<n+1. Так как latexn∈N, то latexn+1∈N. Получаем, что latexn+1≤c. Получили противоречие с тем, что latexc<n+1. latex
Тест "Ограниченные и неограниченные множества"
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Тестовые вопросы по вышеизложенной теме
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 1
Множество X=(1;4] является
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 1
Укажите натуральное число, которым ограниченно снизу множество X=(1;9]
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 1
Укажите правильную характеристику множества X=(19; 29,5)
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 1
Отсортируйте множества согласно их характеристикам:
Элементы сортировки
X=(−∞;∞)
X=(−18;0]
X=[−π;∞)
Неограничено
Имеет максимум
Имеет минимум
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 1
Укажите пропущенное слово
Множество натуральных чисел неограничено сверху во множестве (вещественных, действительных) чисел. (принцип Архимеда)
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Тест "Ограниченные и неограниченные множества"
максимум из 5 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Источники:
Конспект по мат.анализу (Лекции Лысенко З.М.)
В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.6.
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.43.