Автор: Александр Базан

Множество вещественных чисел

Всякую дробь вида $\pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$, где $a_{0}$ — целое неотрицательное число, а $a_{i}$ — десятичные знаки $(0,1,2,3,4,…,9)$ назовём вещественным (или действительным) числом.

(если перед дробью стоит $+$, то его опускают)

Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $\mathbb{R}$.

Если дробь $\pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.

Например: $x^{2}=2$

$x=\pm\sqrt{2}=1,41421…$

$x$ — иррациональное число.

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ — множество иррациональных чисел.

Сравнение вещественных чисел

1.Пусть $\alpha$ и $\beta$ — неотрицательные вещественные числа.

$\alpha = a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$;   $\beta = b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$;

$\alpha = \beta$ $\Leftrightarrow$ $a_{k}=b_{k}$, $k=0,1,2,…$

$\alpha < \beta$, либо когда $a_{0} < b_{0}$, либо если $a_{0} = b_{0}$ и $\exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n}$.

2. Пусть $\alpha$ — неотрицательное и $\beta$ — отрицательное, тогда $\alpha > \beta$.

3. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — отрицательные, тогда

$\alpha = \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |=\left | \beta \right |$;

$\alpha < \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |>\left | \beta \right |$,

где $\left | \alpha \right |=\left | \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… \right |=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$; $\left | \beta \right |=\left | \pm b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… \right |=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.

Возьмём вещественное число $a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$

Обрывая эту дробь на $n$-ном знаке после запятой получим рациональное число:
${a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $\forall n \in \mathbb{R}:$
$a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $\underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна  $\frac{1}{10^{n}}$.

$\frac{1}{10^{n}}<\varepsilon$;  $\varepsilon-$ фиксируемое  $\Rightarrow 1<\varepsilon 10^{n}$  $\Rightarrow \frac{1}{\varepsilon}<10^{n} \Rightarrow$  $n> \lg \frac{1}{\varepsilon}.$

Возьмём, например   $\varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$.

Получаем   $n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$.

Вывод: для любого вещественного вещественного числа $a$ и для любой наперёд заданной точности $\varepsilon$  существуют $\alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$  такие, что  $\alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$    $\alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$.

Лемма

Если $\alpha$ и $\beta$ — вещественные числа. $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$, то $\exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$.
$\square$ $1)$ Если $\alpha$ и $\beta$ — рациональные, то $r=\frac{\alpha +\beta }{2}$.
$1)$ Если одно из чисел $\alpha$ и $\beta$ иррациональное.
Допустим $\beta$ — иррациональное, тогда $\beta$ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $\alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $\alpha < \beta$), тогда существует номер $p$, такой что $a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$,   $a_{p}<b_{p}$.
Так как $\beta$ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $«0»$. Поэтому существует номер больше $p$. Например $p+n$, такой что $b_{p+n}>0$.
Имеем $r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$.
Получили число $r$, такое что $\alpha<r<\beta$.  $\blacksquare$

Аксиомы действительных чисел

Множеством $\mathbb{R}$ называется множество, на котором выполняются следующие условия:

$1)$ Во множестве $\mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $\forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$
 a. $a+b=b+a$ (сложение коммутативно);
 b. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно);
 с. $\exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента);
 d. $\forall a\in\mathbb{R}$   $\exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $a+(-b)$ называется разностью чисел $a$ и $b$ и обозначаются $a-b$.

$2)$ В $\mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $\forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$
а. $ab=ba$ (коммутативность умножения);
b. $a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
с. $\exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $\forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$a*b^{-1}$ — частное деление $a$ на $b$ и обозначается   $\frac{a}{b}$  или  $a:b$.

$3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$\forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$.
$4)$ $\forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $a=0$, либо $a>0$.

При этом, если $a>0$ и  $b>0$ $\Rightarrow$  $a+b>0$,   $ab>0$.

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если $a-b>0$, то пишут $a>b$;

Если $a-b<0$, то пишут $a<b$;

Если $a-b=0$, то пишут $a=b$.

Для множеств:
Для $A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $A \leq B$  означает, что  $\forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$.
Если  $A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента)  и  $A \leq B$,  то  $a \leq B$.
Непрерывность множества $\mathbb{R}$ заключается в том, что в $\mathbb{R}$  нет «щелей», а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

$\forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $a \leq c \leq b$.
Неравенство Бернулли
Пусть $x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$. Тогда
$\left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$
Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $n \in \mathbb{N}$. Докажем его справедливость при $n+1 \in \mathbb{N}$. Действительно:

$\left ( 1+x \right )^{n+1}=$ $\left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )\geq \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )$;

$\left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )=$ $1+\left ( n+1 \right )x+nx^{2}\geq 1+\left ( n+1 \right )x$.

Что и требовалось доказать. $\blacksquare$

Вступление в теорию действительных чисел

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Множеством вещественных чисел является множество:

   • $$\mathbb{N}$$
   • $$\mathbb{Q}$$
   • $$\mathbb{Z}$$
   • $$\mathbb{R}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Какова разность между числами 2,(8) и 2,(7)?
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   В множестве вещественных чисел коммутативными являются операции:

   • сложение
   • вычитание
   • умножение
   • частное деление
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Вещественное число представляется в виде:

   • $$a_0,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}...$$
   • $$a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$$
   • $$\frac{a}{b}$$
   • $$a_{0}a_{1}a_{2}...$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте по возрастанию числа:

   • 3,2
   • 3,21032134....
   • 3,21345...
   • 3,2(4)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. З.М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.2.
3. В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).

Подробнее о вещественных числах на:

Wikipedia

matica.org.ua

Натуральные, целые и рациональные числа

В процессе счёта возникли натуральные числа.
$\mathbb{N}=\{1,2,3,…,n,…\}$.
Сложение и умножение натуральных чисел снова даёт натуральное число. Операция «вычитание» во множестве натуральных чисел приводит к целым числам.
$\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,…,n,-n\}$.
Операция «деление» во множестве целых чисел приводит к рациональным числам.
$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}, m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\}$.
Например: $\frac{1}{2}; \frac{5}{8}; -\frac{1}{2}; -\frac{11}{8}; -\frac{1}{30} …$
Во множестве рациональных чисел $\mathbb{Q}$ выполняются все 4 арифметических действия. В данном множестве можно решать уравнения 1-ой степени $(a*x+b=c)$, однако, простейшее уравнение $x^2=a$, $a\in\mathbb{N}$ не всегда разрешимо в $\mathbb{Q}$, в частности, уравнение $x^2=2$ не имеет решений в $\mathbb{Q}$.

Необходимость иррациональных чисел

Докажем, что уравнение $x^2=2$ не имеет решений в $\mathbb{Q}$.

Теорема

Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
$\square$  Предположим противное. Предположим, что существует такое рациональное число, квадрат которого равен 2. Числа $p$ и $q$ — числитель и знаменатель данного рационального числа; $p$ и $q$ — взаимно простые (числа, наибольший общий делитель которых равен 1).

$\frac{p}{q}\in\mathbb{Q},$  $(\frac{p}{q})^{2}=2$

$p^{2}=2q^{2}$ $\Rightarrow$ $p^{2} \vdots 2$

$p^{2}$ — чётное число, тогда $p$ — чётное.

Отсюда: $p=2s$

$4s^{2}=2q^{2} |:2$

$2s^{2}=q^{2} \Rightarrow q^{2}$ — чётное $\Rightarrow q$ — чётное.

Получили противоречие того утверждения, что $p$ и $q$ — взаимно простые. $\blacksquare$

Таким образом, проблема решения уже таких уравнений приводит к необходимости расширения множества рациональных чисел путём добавления к ним иррациональных чисел.
Бесконечные дроби: периодические десятичные дроби
Зная рациональное число, его можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

$1)$ $\frac{3}{8}=0,375$ — конечная десятичная дробь;
$0,375=\frac {375}{1000}=\frac {3}{8}$.
$2)$ $\frac{27}{11}=2,454545…=2,(45)$ — бесконечная периодическая десятичная дробь.
$2,(45)=2+\frac{45}{100}+\frac{45}{100^{2}}+\frac{45}{100^{3}}+\cdots$ $=2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots)$.
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  $S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}$, где $b_{1}$ — первый член геометрической прогрессии,  $q$ — знаменатель прогрессии.
Получим: $2+45(\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+\frac{1}{100^{3}}+\cdots)=$ $2+45*\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}}=$
$=2+\frac{45}{99}=2\frac{5}{11}$.
Договоримся, конечную десятичную дробь будем отождествлять с бесконечной десятичной дробью с $«0»$ в периоде.
$0,375=0,375(0)$.
Между множеством множеством всех рациональных чисел и множеством всех периодических бесконечных десятичных дробей установлена связь, если отождествлять бесконечную периодическую дробь с $(9)$ с бесконечной периодической периодической дробью с $(0)$.
$2,5=2,5(0)=2,4+0,1=2,4+\frac{1}{10}=$ $2,4+(\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{9}{10000}+\cdots)=$ $=2,4+\frac{9}{10}(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}}+\cdots)$ $=2,4+0,9(9)=2,4(9).$

Тест "Существование иррациональных чисел".

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые задания по вышеизложенной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Какие операции на множестве натуральных чисел снова дают натуральные числа?

   • сложение
   • деление
   • вычитание
   • умножение
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Какое отношение между множествами правильное?

   • $$\mathbb{Q}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$$
   • $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$$
   • $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$
   • $$\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{N}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Заполните пробел:

   • Договорились, конечную десятичную дробь отождествлять с бесконечной десятичной дробью с (0)  в периоде.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте операции в порядке расширения множеств, к которым они приводят.

   • сложение
   • вычитание
   • деление
   • извлечение корня
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте числа, в зависимости от того множества, к которому они принадлежат

   Элементы сортировки

   • $$\sqrt{3}$$
   • $$\sqrt{4}$$
   • $$5\sqrt{-1}$$

   • Иррациональное

   • Рациональное

   • Комплексное

   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. З. М. Лысенко.  Лекции по математическому анализу.
2. В. И. Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса, «Астропринт», 2009г.), стр.1.
3. В. И. Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40. (скачать учебник можно здесь).

Подробнее про «существование иррациональных чисел» на:

Wikipedia

Викизнание