М1336. Доказательство неравенства.

Задача из журнала «Квант» (1992 год, 10 выпуск)

Условие

Докажите для любых чисел $m$ и $n$, больших 1, неравенство
$$\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}+\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}>1 \tag{*}$$

Доказательство

Докажем, что неравенство
$$(1+x)^{a}<1+\alpha x$$
выполняется при $0 < \alpha < 1 $ и $x>0$. Пусть
$$f(x)=(1+x)^{\alpha}-\alpha x-1$$
Имеем
$$f(0) = 0$$
$$f^{\prime}(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}-\alpha<0$$
при $x>0$. Следовательно, при $x \geqslant 0$ функция $f(x)$ убывает, поэтому $f(x)<f(0)=0$ при $x>0$.

Пользуясь неравенством $(*)$, получаем, что

$$(1+m)^{\frac{1}{n}}<1+\frac{m}{n},(1+n)^{\frac{1}{m}}<1+\frac{n}{m}$$
откуда сразу следует, что
$$\frac{1}{\sqrt[n]{1+m}}+\frac{1}{\sqrt[m]{1+n}}>\frac{n}{m+n}+\frac{m}{m+n}=1$$

И. Сендеров