Автор: Андрей Бойко
Дифференцируемость сложной функции
Теорема (о дифференцировании сложной функции)
Если функции z=f(y) и y=φ(x) дифференцируемы соответственно в точках y0 и x0, где y0=φ(x0), то z=f(φ(x)) — дифференцируема в точке x0, причём z′(x0)=f′(y0)⋅φ′(x0)=f′(φ(x0))⋅φ′(x0).
Доказательство
Т.к. функции f и φ непрерывны, то z(x)=f(φ(x)) — непрерывны в точке x0⇒z определена в uδ(x0)
|Δx|<δ
Δz=z(x0+Δx)−z(x0)
Δz=f(y)=f(φ(x))
Δz=f′(y0)⋅Δy+Δy⋅α(Δy), где limΔy→0α(Δy)=0
\frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)}{\Delta x}=&s=2
=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(f'(y_0)\cdot \underset{\underset{\varphi'(x_0)}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}} + \underset{\underset{0}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \alpha (\Delta x)}})=f'(y_0) \cdot \varphi'(x_0) &s=2
Теорема доказана.
Дифференцируемость обратной функции
Теорема (о дифференцируемости обратной функции)
Если y=f(x) непрерывна и строго монотонна на Δ=[x0−δ;x0+δ](δ>0) и если ∃f′(x0)≠0⇒x=φ(y) (обратное к y=f(x)) дифференцируемо в точке y0=f(x0), причём φ′(y0)=1f′(x0)
Доказательство:
x0−δ→f(x0−δ)=α
x0+δ→f(x0+δ)=β
По теореме об обратной функции функция f имеет обратную x=φ(y), yϵ[α;β], φ(x) — строго монотонна и непрерывна.
y′(y0)=limΔy→0ΔxΔy=
\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2
Примеры
1) Доказать, что:
График функции y=arcsinx. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.
Решение:
x=siny=φ(y)
φ′(y)=cosy
dydx=1dxdy=1cosy=
2) Доказать, что:
Решение:
x=tgy=φ(y)
\varphi(y)=\frac{1}{\cos^2 y}&s=1
dydx=1dxdy=11cos2y=
Список литературы:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, глава 3, §1, 94 (стр 196) 1962г.
Тест: дифференцируемость обратной функции
Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.