Дифференцируемость сложной функции

Теорема (о дифференцировании сложной функции)

Если функции $latex z=f(y)$ и $latex y=\varphi(x)$ дифференцируемы соответственно в точках $latex y_0$ и $latex x_0$, где $latex y_0=\varphi(x_0)$, то $latex z=f(\varphi(x))$ — дифференцируема в точке $latex x_0$, причём $latex z'(x_0)=f'(y_0)\cdot \varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0)) \cdot \varphi'(x_0)$.

Доказательство

Т.к. функции $latex f$ и $latex \varphi$ непрерывны, то $latex z(x)=f(\varphi(x))$ — непрерывны в точке $latex x_0 \Rightarrow z$ определена в $latex u_\delta (x_0)$

$latex |\Delta x|<\delta$

$latex \Delta y=\varphi(x_0+\Delta x) — \varphi(x_0)$
$latex \Delta z=z(x_0+\Delta x)-z(x_0)$

$latex \Delta z=f(y)=f(\varphi(x))$
$latex \Delta z=f'(y_0) \cdot \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)$, где $latex \lim\limits_{\Delta y \to 0} \alpha (\Delta y)=0$
$latex \frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)}{\Delta x}=&s=2$
$latex =\lim\limits_{\Delta x \to 0}(f'(y_0)\cdot \underset{\underset{\varphi'(x_0)}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}} + \underset{\underset{0}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \alpha (\Delta x)}})=f'(y_0) \cdot \varphi'(x_0) &s=2$
Теорема доказана.

Читать далее «Дифференцируемость сложной функции»

Дифференцируемость обратной функции

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если $latex y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна на $latex \Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0)$ и если $latex \exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y)$ (обратное к $latex y=f(x)$) дифференцируемо в точке $latex y_0=f(x_0)$, причём $latex \varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$

Доказательство:

$latex x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha$
$latex x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta$
По теореме об обратной функции функция $latex f$ имеет обратную $latex x=\varphi(y)$, $latex y\epsilon [\alpha;\beta]$, $latex \varphi(x)$ — строго монотонна и непрерывна.
$latex y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}= $
$latex \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2 $

Примеры

1) Доказать, что:

$latex (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1&s=2$
y=arcsin(x), график
График функции $latex y=arcsinx$. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

$latex y=\arcsin x, |y|<\frac{\pi}{2}$
$latex x=\sin y=\varphi(y)$
$latex \varphi'(y)=\cos y$
$latex \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\cos y} = $
$latex \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&s=2$

2) Доказать, что:

$latex ( \textrm{arctg} x)’ = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R} &s=2$
y=arctg(x), график

Решение:

$latex y=\textrm{arctg} x$
$latex x=\textrm{tg} y=\varphi(y)$
$latex \varphi(y)=\frac{1}{\cos^2 y}&s=1$
$latex \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}= $
$latex \cos^2 y=\frac{1}{1+\textrm{tg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}&s=2$

Список литературы:

Тест: дифференцируемость обратной функции

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.


Спойлер

Таблица лучших: Тест: дифференцируемость обратной функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
[свернуть]