Автор: Бриткариу Ирина

Теоретическая справка

Определение:
Пусть [latex]A \subset E, A\ne 0[/latex]. Тогда ортогональным дополнением к множеству [latex]A[/latex] называется множество:
[latex]A^\perp = \{x\in {E} | \forall a\in A: (x,a) = 0\}.[/latex]

Свойства ортогонального дополнения:

1. [latex]\{0\}^\perp = {E};[/latex]
2. [latex]{E}^\perp = \{0\};[/latex]
3. [latex]({L}^\perp)^\perp = {L}, \forall{L}\subseteq{E};[/latex]
4. [latex]({L}_1 + {L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp}\cap{L}_{2}^{\perp}, \forall{L}_{1},{L}_{2}\subseteq{E}[/latex];
5. [latex]({L}_1\cap{L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp} + {L}_{2}^{\perp}[/latex].

Пример

Найти базис ортогонального дополнения [latex]{L}^{\perp}[/latex] подпространства [latex]{L}[/latex], натянутого на векторы [latex]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/latex].
[latex]a_1 = (1,0,2,1)[/latex]
[latex]a_2 = (2,1,2,3)[/latex]
[latex]a_3 = (0,1,-2,1)[/latex]
Найдем ранг матрицы [latex]L[/latex]:
[latex]L = $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}$$ [/latex]
Домножим первую строчку матрицы на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй. Получим:
[latex]L = $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}$$ [/latex]
Вторая и третья строки матрицы совпадают, а значит одну можно исключить. Получим, что ранг системы [latex]L[/latex] равен [latex]2[/latex]. Следовательно, системы [latex]L[/latex]- линейно зависимая.
[latex]L[/latex] (система состоит из двух векторов).
[latex]{L}^{\perp} = \{b_1,b_2\}[/latex]
[latex](a_1,x) = 0, (a_2,x) = 0[/latex]
Составим матрицу из векторов [latex]a_1, a_2[/latex].
[latex] $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\\end{pmatrix}$$ \sim $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}$$ [/latex]
(домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй)
[latex]\left\{ $$\begin{matrix} x_1 + 2x_3 + x_4& = &0 \\ x_2 — 2x_3 + x_4& = &0 \end{matrix}$$ \right.[/latex]
Найдем общее решение системы:
[latex]\left\{ $$\begin{matrix} x_1& = &-2x_3 — x_4 \\ x_3& = &\frac{x_2 + x_4}{2} \end{matrix}$$ \right.[/latex]
[latex]x = $$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} — 2x_3 — x_4 \\ x_2 \\ \frac{x_2 + x_4}{2}\\ x_4 \\\end{pmatrix}$$ [/latex]
Найдем ФСР (фундаментальную систему решений) по формуле:
ФСР [latex] = n — r [/latex], где [latex]n[/latex]- число неизвестных переменных, [latex]r[/latex]- ранг матрицы.
ФСР: [latex]4 — 2 = 2.[/latex]
Получили два линейно независимых решения системы. Придадим переменным [latex]x_3, x_4 [/latex] произвольные значения:

Получили ортогональное дополнение [latex]{L}^{\perp} = <b_1, b_2> = <(2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)>[/latex].

Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест составлен для проверки знаний по теме «Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Верно ли утверждение? Ортогональным дополнением к множеству [latex]A[/latex] называется множество:
   [latex]A^\perp = \{x\in {E} | \forall a\in A: (x,a) = 0\}.[/latex]

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   
   
   Найти ортогональное дополнение [latex]{L}^{\perp}[/latex] подпространства [latex]{L}[/latex]
   [latex]L = \{x\in {R} | x = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5},\alpha_{6}),\alpha_{2}+\alpha_{4}=0,\alpha_{3}=0\}[/latex]
   [latex]E=R^6[/latex]

   • ${L}^{\perp} = <a_1, a_2> = <(0,1,0,1,0,0), (0,0,1,0,0,0)>$
   • ${L}^{\perp} = <a_1> = <(0,1,0,1,0,0)>$
   • ${L}^{\perp} = <a_2> = <(0,0,1,0,0,0)>$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Найти ранг матрицы [latex]A[/latex]:
   [latex]A = $$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \\\end{pmatrix}$$ [/latex]

   • (2)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций
• Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978, с. 175-177
• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, с. 217-222

Кольцо

Пусть $R$- произвольное множество, $R\ne0$,  $»+»$,  $»\cdot»$- бинарные алгебраические операции  на $R$.
$(R,+,\cdot)$ называется кольцом, если выполнено:

1. $(R,+)$- абелева группа (аддитивная группа кольца);
2. Для любых $(R,+,\cdot) \in R$ выполняется:
   1. $a(b + c) = ab + ac$;
   2. $(b + c)a = ba + ca$.

Если операция $»\cdot»$ коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
$\forall a,b,c \in R$

1. Коммутативна: $a + b = b + a$;
2. Ассоциативна: $a + (b + c) = (a + b) + c$.

Операция умножения:
$\forall a,b,c \in R$

1. Коммутативна: $ab = ba$;
2. Ассоциативна: $a(bc) = (ab)c$.

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
$(a + b)c = ac + ab$.

Примеры:

1. $(Z,+,\cdot)$- кольцо целых чисел;
2. $(Q,+,\cdot)$- кольцо рациональных чисел;
3. $(R,+,\cdot)$- кольцо вещественных чисел;
4. $(Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}$.

Проверим, будет ли на множестве $(Q[\sqrt{2}],+,\cdot)$ кольцо.
$(a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}]$
Значит $(Q[\sqrt{2}], +, \cdot)$ является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

1. $\forall a \in R$ $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0,$ $a\cdot0 = a(0 + 0) =$ $a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =$ $a\cdot0 + ( — a\cdot0) =$ $(a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =$ $a\cdot0 = 0$
2. $\forall a,b \in R (-a)b = -ab$ $(-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0$
3. $d(a — b) = da — db$ $d(a — b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da — db$
4. $(a — b)d = ad — bd$ $(a — b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac — bc$
5. Если имеет единичный элемент 1, то $\forall a \in R$ $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 7 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

Информация

Этот тест составлен для проверки знаний по теме: «Кольцо. Простейшие следствия из аксиом».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

• Поздравляем Вы закончили тест!

максимум из 7 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 7

   1.

   Если операция [latex]»\cdot»[/latex] коммутативна, то кольцо называется

   • (коммутативным)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 7

   2.

   [latex](R,+,\cdot)[/latex] называется кольцом, если выполнено:

   1. Для любых [latex](R,+,\cdot)\in R[/latex] выполняется:
      1. [latex]a(b+c)=ab+ac[/latex]
      2. [latex](b+c)a=ba+ca[/latex]
   2. [latex](R,+)[/latex] — __________

   • (абелева группа)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 7

   3.

   Установить соответствие

   Элементы сортировки

   • кольцо целых чисел
   • кольцо рациональных чисел
   • кольцо вещественных чисел

   • $(Z,+,\cdot)$

   • $(Q,+,\cdot)$

   • $(R,+,\cdot)$

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 7

   4.

   Установить соответствие:

   Элементы сортировки

   • $a\cdot0=$$0 \cdot\ $$a=0$
   • $a\cdot1=$$1\cdot \ $$a=a$
   • $(-a)b=-ab$

   • $\forall a\in R$

   • Если имеет единичный элемент $1$, то $\forall a\in R$

   • $\forall a,b\in R$

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 7

   5.

   Для любых [latex](R,+,\cdot) \in R[/latex] выполняется:

   • $(a+b)c = ab + ac$
   • $a(b + c) = ab + ac$
   • $(b + c)a = ba + ca$
   • $b(c+a) = bc + ba$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 7

   6.

   Будет ли на множестве [latex](Q[\sqrt{2}],+,\cdot)[/latex] кольцо?

   • Да
   • Нет
   • Неизвестно
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 7

   7.

   [latex]d(a-b)=[/latex]

   • (da-db)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература:

• Белозеров Г.С. Конспект лекций
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, с. 28-31
• Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, с. 270-276