Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Теоретическая справка

Определение:
Пусть [latex]A \subset E, A\ne 0[/latex]. Тогда ортогональным дополнением к множеству [latex]A[/latex] называется множество:
[latex]A^\perp = \{x\in {E} | \forall a\in A: (x,a) = 0\}.[/latex]
Britkariu_Praktika
Свойства ортогонального дополнения:

  1. [latex]\{0\}^\perp = {E};[/latex]
  2. [latex]{E}^\perp = \{0\};[/latex]
  3. [latex]({L}^\perp)^\perp = {L}, \forall{L}\subseteq{E};[/latex]
  4. [latex]({L}_1 + {L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp}\cap{L}_{2}^{\perp}, \forall{L}_{1},{L}_{2}\subseteq{E}[/latex];
  5. [latex]({L}_1\cap{L}_2)^\perp = {L}_{1}^{\perp} + {L}_{2}^{\perp}[/latex].

Пример

Найти базис ортогонального дополнения [latex]{L}^{\perp}[/latex] подпространства [latex]{L}[/latex], натянутого на векторы [latex]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/latex].
[latex]a_1 = (1,0,2,1)[/latex]
[latex]a_2 = (2,1,2,3)[/latex]
[latex]a_3 = (0,1,-2,1)[/latex]
Найдем ранг матрицы [latex]L[/latex]:
[latex]L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}[/latex]
Домножим первую строчку матрицы на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй. Получим:
[latex]L = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}[/latex]
Вторая и третья строки матрицы совпадают, а значит одну можно исключить. Получим, что ранг системы [latex]L[/latex] равен [latex]2[/latex]. Следовательно, системы [latex]L[/latex]- линейно зависимая.
[latex]L[/latex] (система состоит из двух векторов).
[latex]{L}^{\perp} = \{b_1,b_2\}[/latex]
[latex](a_1,x) = 0, (a_2,x) = 0[/latex]
Составим матрицу из векторов [latex]a_1, a_2[/latex].

[latex]\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\2 & 1 & 2 & 3 \\\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{pmatrix}[/latex]
(домножим первую строчку матрицы на -2 и прибавим ко второй)
[latex]\left\{\begin{matrix} x_1 + 2x_3 + x_4& = &0 \\ x_2 — 2x_3 + x_4& = &0 \end{matrix}\right.[/latex]
Найдем общее решение системы:
[latex]\left\{\begin{matrix} x_1& = &-2x_3 — x_4 \\ x_3& = &\frac{x_2 + x_4}{2} \end{matrix}\right.[/latex]
[latex]x = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} — 2x_3 — x_4 \\ x_2 \\ \frac{x_2 + x_4}{2}\\ x_4 \\\end{pmatrix}[/latex]
Найдем ФСР (фундаментальную систему решений) по формуле:
ФСР [latex] = n — r [/latex], где [latex]n[/latex]- число неизвестных переменных, [latex]r[/latex]- ранг матрицы.
ФСР: [latex]4 — 2 = 2.[/latex]
Получили два линейно независимых решения системы. Придадим переменным [latex]x_3, x_4 [/latex] произвольные значения:

ФСР [latex]x_1[/latex] [latex]x_2[/latex] [latex]x_3[/latex] [latex]x_4[/latex]
[latex]b_1[/latex] [latex]2[/latex] [latex]-2[/latex] [latex]-1[/latex] [latex]0[/latex]
[latex]b_2[/latex] [latex]1[/latex] [latex]1[/latex] [latex]0[/latex] [latex]-1[/latex]

Получили ортогональное дополнение [latex]{L}^{\perp} = <b_1, b_2> = <(2,-2,-1,0), (1,1,0,-1)>[/latex].

Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства

Тест составлен для проверки знаний по теме «Нахождение ортогонального дополнения к подпространству евклидова пространства»

Литература:

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Кольцо

Пусть [latex]R[/latex]- произвольное множество, [latex]R\ne0[/latex],  [latex]»+»[/latex],  [latex]»\cdot»[/latex]- бинарные алгебраические операции  на [latex]R[/latex].
[latex](R,+,\cdot)[/latex] называется кольцом, если выполнено:

  1. [latex](R,+)[/latex]- абелева группа (аддитивная группа кольца);
  2. Для любых [latex](R,+,\cdot) \in R[/latex] выполняется:
    1. [latex]a(b + c) = ab + ac[/latex];
    2. [latex](b + c)a = ba + ca[/latex].

Если операция [latex]»\cdot»[/latex] коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
[latex]\forall a,b,c \in R[/latex]

  1. Коммутативна: [latex]a + b = b + a[/latex];
  2. Ассоциативна: [latex]a + (b + c) = (a + b) + c[/latex].

Операция умножения:
[latex]\forall a,b,c \in R[/latex]

  1. Коммутативна: [latex]ab = ba[/latex];
  2. Ассоциативна: [latex]a(bc) = (ab)c[/latex].

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
[latex](a + b)c = ac + ab[/latex].

Примеры:

  1. [latex](Z,+,\cdot)[/latex]- кольцо целых чисел;
  2. [latex](Q,+,\cdot)[/latex]- кольцо рациональных чисел;
  3. [latex](R,+,\cdot)[/latex]- кольцо вещественных чисел;
  4. [latex](Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}[/latex].

Проверим, будет ли на множестве [latex](Q[\sqrt{2}],+,\cdot)[/latex] кольцо.
[latex](a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}][/latex]
Значит [latex](Q[\sqrt{2}], +, \cdot)[/latex] является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

  1. [latex]\forall a \in R [/latex] [latex] a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0,[/latex] [latex]a\cdot0 = a(0 + 0) =[/latex] [latex] a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =[/latex] [latex] a\cdot0 + ( — a\cdot0) =[/latex] [latex] (a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =[/latex] [latex] a\cdot0 = 0[/latex]
  2.  

  3. [latex]\forall a,b \in R (-a)b = -ab[/latex] [latex](-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0[/latex]
  4.  

  5. [latex]d(a — b) = da — db[/latex] [latex]d(a — b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da — db[/latex]
  6.  

  7. [latex](a — b)d = ad — bd[/latex] [latex](a — b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac — bc[/latex]
  8.  

  9. Если имеет единичный элемент 1, то [latex]\forall a \in R[/latex] [latex]a \cdot 1 = 1 \cdot a = a[/latex].

Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Этот тест составлен для проверки знаний по теме: «Кольцо. Простейшие следствия из аксиом».

Литература: