Михаил Бутник

15.2.2 Признак Даламбера

Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ с положительными слагаемыми. Предположим, что существует такое число $q, 0 < q < 1,$ что начиная с некоторого номера $N$ справедливо неравенство $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leqslant q \left(n \geqslant N\right).$ Тогда ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ сходится.

Из условия теоремы следует, что $a_{N +1} \leqslant q \cdot a_N, a_{N + 2} \leqslant q \cdot a_{N + 1}, \ldots, a_n \leqslant q \cdot a_{n − 1} \left(n \geqslant N + 1\right).$ Перемножая эти неравенства, получаем $a_n \leqslant q^{n – N} \cdot a_N \left(n \geqslant N + 1\right),$ т. е. $a_n \leqslant c \cdot q^n \left(n \geqslant N + 1\right),$ где $c = a_N \cdot q^{−N}.$ По признаку сравнения, из сходимости геометрической прогрессии со знаменателем $q, \mid q \mid < 1,$ следует сходимость исходного ряда.

Из неравенства $\frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1 \tag{15.6}$ не следует сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n.$ Неравенство $\left(15.6\right)$ означает лишь то, что слагаемые ряда строго убывают, из чего вовсе не следует сходимость ряда, например, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}, \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ и т. д.

Из неравенства $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \geqslant 1 \left(n \geqslant N\right) \tag{15.7}$ сразу следует расходимость ряда $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n.$ В самом деле, $\left(15.7\right)$ означает, что слагаемые ряда образуют неубывающую последовательность положительных чисел и, следовательно, не стремятся к нулю, так что в этом случае не выполнено необходимое условие сходимости.

Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \tag{15.8}$ с положительными слагаемыми. Предположим, что существует (быть может, и бесконечный) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow {\infty}} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lambda.$ Тогда

a) если $0 \leqslant \lambda < 1,$ то ряд $\left(15.8\right)$ сходится;

b) если $1 < \lambda \leqslant \infty,$ то ряд $\left(15.8\right)$ расходится;

c) если $\lambda = 1,$ то ничего определенного о сходимости ряда $\left(15.8\right)$ сказать нельзя.

a) Выберем такое $\varepsilon > 0,$ что $q \equiv \lambda + \varepsilon < 1 \left(\text{например, }\varepsilon = \frac{\left(1 — \lambda\right)}{2}\right).$ Тогда, начиная с некоторого номера $N,$ будет иметь место неравенство $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leqslant q \left(n \geqslant N\right),$ и, в силу признака Даламбера, ряд $\left(15.8\right)$ сходится.

b) Если $1 < \lambda \leqslant \infty,$ то, начиная с некоторого номера, справедливо неравенство $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \geqslant 1$ и, в силу замечания 2, ряд $\left(15.8\right)$ расходится.

c) Для доказательства приведем примеры сходящегося и расходящегося рядов, для которых $\lambda = 1.$ Ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится и $\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n}{n + 1} \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty.$ Ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится и $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty.$

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1000^n}{n!}.$

По признаку Даламбера, $\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{1000^{ n + 1} \cdot n!}{\left(n + 1\right)! \cdot 1000^n} = \frac{1000}{n + 1} \rightarrow 0 \qquad \left(n \rightarrow \infty\right),$ следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{\left(2n + 1\right)!}{\left(n!\right)^2}.$

К этому ряду удобно применить признак Даламбера $\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{\left(2n + 3\right)! \cdot \left(n!\right)^2}{\left[\left(n + 1\right)!\right]^2 \cdot \left(2n + 1\right)!} = \frac{\left(2n + 2\right) \cdot \left(2n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^2} =$ $= \frac{4n^2 + 10n + 6}{n^2 + 2n + 1} \rightarrow 4 \qquad \left(n \rightarrow \infty\right),$ По признаку Даламбера, данный ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2n — 1}.$

По признаку Даламбера, $\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{1 \cdot \left(2n – 1\right)}{2n \cdot 1} \rightarrow 1 \qquad \left(n \rightarrow \infty\right),$ следовательно, мы не можем выяснить характер сходимости данного ряда с помощью признака Даламбера.

Признак Даламбера

Вы можете пройти данный тест, чтобы примерно оценить, насколько вы поняли тему «Признак Даламбера»

Задание 1 из 5

1.
Для каких рядов действует признак Даламбера?
- Для рядов с положительными слагаемыми.
- Для рядов с неотрицательными слагаемыми.
- Для рядов с отрицательными слагаемыми.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.

К чему стремится ряд по признаку Даламбера в предельной форме?

Элементы сортировки

$\frac{2}{e}$
$\frac{1}{4}$
$0$

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n}$

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{\left(n!\right)^2}{\left(2n\right)!}$

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{n \cdot 4^n}{\left(n + 1\right)!}$

Задание 3 из 5

3.
Отсортируйте в правильном порядке отрывки из доказательства теоремы (признак Даламбера):
- Из условия теоремы следует, что $a_{N +1} \leqslant q \cdot a_N, a_{N + 2} \leqslant q \cdot a_{N + 1}, ..., a_n \leqslant q \cdot a_{n − 1} \left(n \geqslant N + 1\right).$
- Перемножая эти неравенства, получаем $a_n \leqslant q^{n – N} \cdot a_N \left(n \geqslant N + 1\right)$ , т. е. $a_n \leqslant c \cdot q^n \left(n \geqslant N + 1\right)$ , где $c = a_N \cdot q^{−N}$ .
- По признаку сравнения, из сходимости геометрической прогрессии со знаменателем $q, \mid q \mid < 1$ , следует сходимость исходного ряда.
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Пусть дан ряд

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ с положительными слагаемыми. Предположим, что существует (быть может, и бесконечный) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow {\infty}} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lambda$ . Тогда если $0 \leqslant \lambda < 1$ , то ряд _____.
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
В каких случаях мы можем утверждать о сходимости ряда

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$

с положительными слагаемыми?
- Если $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leqslant q \left(n \geqslant N, 0 < q < 1\right).$
- Если $\displaystyle \lim_{n \rightarrow {\infty}} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lambda, 0 \leqslant \lambda < 1.$
- Если $\displaystyle \lim_{n \rightarrow {\infty}} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lambda, \lambda = 1.$
- Если $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \geqslant 1 \left(n \geqslant N\right).$
Правильно

Неправильно

Коляда В. И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу. 2010г. стр.10-12.
Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997г. стр.147.
Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, 1988-1989г. стр.20-21.
Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

4.8 Обратная функция

\usepackage{amsfonts}

Функция $f,$ действующая из $X$ в $Y,$ называется биективной, если она взаимно однозначна и ее область значений совпадает с множеством $Y.$ Это означает, что для каждого $y \in Y$ существует единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$

Пусть функция $f: X \rightarrow Y$ биективна. Тогда каждому $y \in Y$ можно поставить в соответствие единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$ Тем самым мы получим новую функцию, действующую из $Y$ в $X.$ Такая функция называется обратной к функции $f$ и обозначается $f^{−1}.$ Например, $f\left(x\right) = x^3$ действует из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ и биективна. Тогда $f^{−1}\left(y\right) = \sqrt[3]{y}.$ Другая функция $f\left(x\right) = x^2,$ действующая из $\mathbb {R}$ в $\left[0, +\infty\right),$ не является биективной, и поэтому нельзя говорить об обратной функции. Если же мы рассмотрим функцию $f_1: \left[0, +\infty\right) \rightarrow \left[0, +\infty\right),$ действующую по правилу $f_1\left(x\right) = x^2,$ то такая функция биективна, и поэтому у нее есть обратная $f^{−1} \left(y\right) = \sqrt{y}.$ В этом примере мы пользуемся понятием сужения, т. е. функцию мы рассматриваем не на всей возможной области определения, где определяющая функцию формула имеет смысл, а лишь на части этой области. Дадим определение.

Пусть функция $f: X \rightarrow Y,$ и множество $A \subset X.$ Каждой точке $x \in A$ поставим в соответствие $y = f \left(x\right) \in Y.$ Тогда получим функцию, заданную на множестве $A,$ которую будем называть сужением функции $f$ на множество $A,$ и будем обозначать это сужение $f\mid A.$

В рассмотренном выше примере $f\left(x\right) = x^2$ функция не была взаимно однозначной на $\mathbb {R}.$ В то же время сужение $f_1 = f\mid \left[0, +\infty\right)$ – взаимно однозначная функция, и поэтому существует обратная функция.

В этом параграфе мы будем заниматься вопросом существования и свойствами обратной функции. Если обратную функцию удается явно выразить (как в рассмотренных выше примерах), то свойства обратной функции могут быть изучены непосредственно. Однако это не всегда можно сделать. Например, функция $f \left(x\right) = x + \frac{1}{2} \sin x$ взаимно однозначна, но выражение обратной функции весьма затруднительно. Мы хотим исследовать свойства обратной функции $f^{−1},$ не зная ее явного выражения.

Пусть функция $f$ определена на $\left[a, b\right].$ Очевидно, что если $f$ строго монотонна на $\left[a, b\right],$ то она взаимно однозначна. Обратное утверждение не имеет места. Например, функция $f\left(x\right) = \begin{cases} −x, \qquad −1 \leqslant x < 0, \\ x − 1, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}$ очевидно, взаимно однозначна, но не является монотонной на $\left[−1, 1\right].$ Можно, однако, доказать, что если функция $f$ взаимно однозначна и непрерывна, то она строго монотонна. Мы этого не будем делать.

В дальнейшем через $\langle\alpha, \beta\rangle$ будем обозначать отрезок с концами $\alpha$ и $\beta$ (при этом неравенство $\alpha < \beta$ не обязательно).

Пусть функция $f$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\left[a, b\right].$ Тогда обратная функция $f^{−1}$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\langle f\left(a\right), f\left(b\right)\rangle.$

Рассматриваем случай возрастающей $f.$ В силу теоремы Больцано – Коши, областью значений функции $f$ является отрезок $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$ Так как $f$ взаимно однозначна на $\left[a, b\right],$ то существует функция $f^{−1},$ отображающая $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ на $\left[a, b\right].$ Обозначим $g\left(y\right) = f^{−1}\left(y\right).$ Покажем, что $g$ строго возрастает. Пусть $y^{\prime} < y^{\prime\prime}, x^{\prime} = g\left(y^{\prime}\right), x^{\prime\prime} = g \left(y^{\prime\prime}\right).$ Если $x^{\prime} \geqslant x^{\prime\prime},$ то $f \left(x^{\prime}\right) \geqslant f \left(x^{\prime\prime}\right)$ (в силу возрастания $f$ ), т. е. $y^{\prime} \geqslant y^{\prime\prime},$ что противоречит условию. Итак, получаем, что $x^{\prime} < x^{\prime\prime},$ т. е. условие $y^{\prime} < y^{\prime\prime}$ влечет $x^{\prime} < x^{\prime\prime}.$ Это и означает, что обратная функция $x = g\left(y\right)$ строго возрастает на $\left[f \left(a\right), f \left(b\right)\right].$

Областью значений обратной функции $g$ является отрезок $\left[a, b\right].$ В самом деле, каждое $x \in \left[a, b\right]$ является значением функции $g\left(y\right),$ где $y = f\left(x\right).$ Так как $g$ монотонна на $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ и ее областью значений является отрезок $\left[a, b\right],$ то, по теореме о непрерывности монотонной функции, функция $g$ непрерывна на отрезке $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$

Функция $f\left(x\right) = \sin x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$ Это сужение – непрерывная и строго возрастающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго возрастающая.

Арксинусом называется функция, обратная к сужению функции $\sin x$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ и обозначается $\arcsin x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ строго возрастает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$

Функция $f\left(x\right) = \cos x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[0, \pi\right].$ Это сужение – непрерывная и строго убывающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго убывающая.

Арккосинусом называется функция, обратная к сужению функции $\cos x$ на $\left[0, \pi\right],$ и обозначается $\arccos x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[0, \pi\right],$ строго убывает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$

Арктангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{tg } x$ на $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),$ и обозначается $\text{arctg } x.$ Функция $\text{arctg } x$ непрерывна и строго возрастает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$

Арккотангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{ctg } x$ на $\left(0, \pi\right),$ и обозначается $\text{arcctg } x.$ Функция $\text{arcctg } x$ непрерывна и строго убывает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(0, \pi\right).$

Постройте графики определенных выше обратных тригонометрических функций $y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \text{arctg } x$ и $y = \text{arcctg } x.$

Функция $f\left(x\right) = x^n \left(x \geqslant 0, n \in \mathbb {Z}\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \sqrt[n]{x}.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $n = 2m + 1 \left(m \in \mathbb {N}\right).$

$f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_+,$ функция $f\left(x\right) = a^x \left(a > 0, a \neq 1\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \log_a x.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $a > 1.$

Обратная функция

Вы можете пройти данный тест, чтобы примерно оценить, насколько вы поняли тему «Обратная функция»

Задание 1 из 4

1.
Чтобы фунция имела обратную, он должна быть _____?
- Инъективной
- Биективной
- Сюръективной
Правильно

Неправильно

Найдите соответствующую функции обратную:

Элементы сортировки

$f^{-1}\left(x\right) = \frac{11 - x}{5}$
$f^{-1}\left(x\right) = \arcsin x$
$f^{-1}\left(x\right) = \sqrt[3]{x}$

$f\left(x\right) = 11 - 5x$

$f\left(x\right) = \sin x, x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$

$f\left(x\right) = x^3$

Задание 3 из 4

3.
Чтобы выполнялась теорема об обратной функции необходимо, чтобы на отрезке функция была строго монотонна и _____?
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Отсортируйте в правильном порядке отрывки из доказательства теоремы (об обратной функции):
- В силу теоремы Больцано – Коши, областью значений функции $f$ является отрезок $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ . Так как $f$ взаимно однозначна на $\left[a, b\right]$ , то существует функция $f^{−1}$ , отображающая $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ на $\left[a, b\right].$
- Обозначим $g\left(y\right) = f^{−1}\left(y\right)$ . Покажем, что $g$ строго возрастает. Пусть $y^{\prime} < y^{\prime\prime}, x^{\prime} = g\left(y^{\prime}\right), x^{\prime\prime} = g \left(y^{\prime\prime}\right).$
- Если $x^{\prime} \geqslant x^{\prime\prime}$ , то $f \left(x^{\prime}\right) \geqslant f \left(x^{\prime\prime}\right)$ (в силу возрастания $f$ ), т. е. $y^{\prime} \geqslant y^{\prime\prime},$ что противоречит условию.
- Итак, получаем, что $x^{\prime} < x^{\prime\prime}$ , т. е. условие $y^{\prime} < y^{\prime\prime}$ влечет $x^{\prime} < x^{\prime\prime}$ . Это и означает, что обратная функция $x = g\left(y\right)$ строго возрастает на $\left[f \left(a\right), f \left(b\right)\right].$
Правильно

Неправильно

М605. Задача о преобразовании плоскости

Условие

На плоскости отмечены $2n + 1$ различных точек. Занумеруем их числами $1, 2, \ldots, 2n + 1$ и рассмотрим следующее преобразование $R$ плоскости: сначала делается симметрия относительно первой точки, затем относительно второй и т. д. — до $\left(2n + 1\right)$ -й точки.

а) Покажите, что y этого преобразования $R$ есть единственная «неподвижная точка» (точка, которая отображается в себя).

Рассмотрим всевозможные способы нумерации наших $2n + 1$ точек (числами $1, 2, \ldots, 2n + 1$ ). Каждой такой нумерации соответствует свое преобразование плоскости $R$ и своя неподвижная точка. Пусть $F$ — множество неподвижных точек всех этих преобразований.

б) Укажите множество $F$ для $n = 1$ .

в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество $F$ при каждом $n = 2, 3, \ldots$

Решение

Фиксируем произвольную систему координат.

Пусть точки $A\left(x; y\right)$ и $A^*\left(x^*; y^*\right)$ симметричны относительно точки $A’\left(x’; y’\right)$ . Тогда $x’ = \frac{\left(x + x^*\right)}{2}, y’ = \frac{\left(y + y^*\right)}{2},$ откуда $x^* = 2x’ — x, y^* = 2y’ — y.$

Таким образом, точка с координатами $\left(x; y\right)$ при симметрии относительно точки с координатами $\left(x’; y’\right)$ переходит в точку с координатами $\left(2x’ — x; 2y’ — y\right)$ .

Поэтому при нашем преобразовании $R$ точка с координатами $\left(x; y\right)$ перейдет в точку с координатами $\left(-x + 2x_1 — 2x_2 + \cdots + 2x_{2n + 1}; -y + 2y_1 — 2y_2 + \cdots + 2y_{2n + 1}\right),$ где $\left(x_i; y_i\right)$ — координаты $i$ -й из заданных $2n + 1$ точек.

a) Для неподвижной точки $\left(x; y\right)$ преобразования $R$ эти координаты определяются однозначно из условия $\begin{cases}-x + 2x_1 — 2x_2 + \cdots + 2x_{2n + 1} = x \\ -y + 2y_1 — 2y_2 + \cdots + 2y_{2n + 1} = y\end{cases}$ и равны $\left(x_1 — x_2 + \cdots — x_{2n} + x_{2n + 1}; y_1 — y_2 + \cdots — y_{2n} + y_{2n + 1}\right)$ или $\left(\sum_{i = 1}^{2n + 1} \left(-1\right)^{i — 1} x_i; \sum_{i = 1}^{2n + 1} \left(-1\right)^{i — 1} y_i\right) \tag{*}$ Утверждение a) доказано.

б) Пусть сначала данные точки $X_1, X_2, X_3$ не лежат на одной прямой. Если точка $A_1$ после симметрии относительно точек $X_1, X_2, X_3$ отобразилась в себя (см. рисунок), то $X_1, X_2, X_3$ — середины отрезков $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1$ , где $A_2 = SX_1\left(A_1\right)$ , $A_3 = SX_2\left(A_2\right)$ . Значит, $\left[A_1A_2\right]$ , $\left[A_2A_3\right]$ , $\left[A_3A_1\right]$ — медианы треугольника $A_1A_2A_3$ , так что точки $A_1, A_2, A_3$ можно получить из точек $X_1, X_2, X_3$ гомотетией с центром в центре тяжести $O$ треугольника $X_1X_2X_3$ и коэффициентом $(—2)$ . Этим положение точек $A_i \left(i = 1, 2, 3\right)$ определяется однозначно. С другой стороны, каждая точка $A_i$ при соответствующей композиции симметрий относительно точек $X_i$ , отображается в себя (например, $SX_2\left(SX_1\left(SX_3\left(A_3\right)\right)\right) = A_3$ ). Поэтому множество $F$ — это три точки, получающиеся из данных точек $X_1, X_2, X_3$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $(-2)$ . Легко видеть, что, если данные точки $X_1, X_2, X_3$ лежат на прямой, ответ получается, в разумном смысле, тот же.

в) Глядя на выражение $(*)$ , нетрудно сообразить, что в множестве $F$ точек не больше, чем число способов выбрать из $2n + 1$ данных точек те $n$ точек, перед абсциссами которых в выражении $(*)$ будет стоять знак «минус», то есть не больше, чем $C^n_{2n + 1}$ . Очевидно, эта оценка точна (возьмите, например, $2n + 1$ точек на одной прямой с целыми координатами $1, 2, 2^2, \ldots, 2^{2n}$ ).

Оценим теперь число неподвижных точек снизу. Спроектируем данные $2n + 1$ точек на прямую так, чтобы никакие две точки не попали в одну. На этой прямой введем координаты и перенумеруем точки в порядке возрастания координат: $x_1 < x_2 < \ldots < x_{2n + 1}$ . Поставим $n$ минусов перед первыми $n$ числами и рассмотрим сумму $- x_1 — x_2 — \cdots — x_n + x_{n + 1} + \cdots + x_{2n + 1}$ : она будет соответствовать некоторой неподвижной точке из нашего множества $F$ . Далее произведем следующую операцию: выберем пару чисел $x_i$ и $x_{i + 1}$ таких, что перед $x_i$ стоит минус, а перед $x_{i + 1}$ — плюс, и поменяем у них знаки (на первом шаге, очевидно, $i = n$ ). Каждая такая операция приводит к сумме, соответствующей неподвижной точке из множества $F$ , причем, поскольку после каждой такой операции сумма уменьшатся, все эти неподвижные точки различны. Всего таких операций (вне зависимости от их порядка) мы можем произвести $n\left(n + 1\right)$ , что уже даст нам $n\left(n + 1\right) + 1$ неподвижных точек. Значит, в $F$ точек не меньше $n\left(n + 1\right) + 1$ . Ровно столько неподвижных точек получится, если, например, снова взять $2n + 1$ точек на прямой с целыми координатами $-n, -\left(n — 1\right), \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots, n — 1, n$ . При всевозможных способах расстановки $n$ «минусов» перед некоторыми из них максимальное значение суммы этих чисел равно $2 \cdot \left(1 + 2 + \cdots + n\right) = n(n + 1)$ , минимальное значение равно $-n\left(n + 1\right)$ , причем сумма может принимать любое четное значение между числами $-n\left(n + 1\right)$ и $n\left(n + 1\right)$ — всего $n\left(n + 1\right) + 1$ значений.

И. Клумова, А. Талалай

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Михаил Бутник

15.2.2 Признак Даламбера

Признак Даламбера

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

4.8 Обратная функция

Обратная функция

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

М605. Задача о преобразовании плоскости

Условие

Решение

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат