15.2.2 Признак Даламбера

Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ с положительными слагаемыми. Предположим, что существует такое число $q, 0 < q < 1,$ что начиная с некоторого номера $N$ справедливо неравенство $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leqslant q \left(n \geqslant N\right).$ Тогда ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ сходится.

Из условия теоремы следует, что $a_{N +1} \leqslant q \cdot a_N, a_{N + 2} \leqslant q \cdot a_{N + 1}, \ldots, a_n \leqslant q \cdot a_{n − 1} \left(n \geqslant N + 1\right).$ Перемножая эти неравенства, получаем $a_n \leqslant q^{n – N} \cdot a_N \left(n \geqslant N + 1\right),$ т. е. $a_n \leqslant c \cdot q^n \left(n \geqslant N + 1\right),$ где $c = a_N \cdot q^{−N}.$ По признаку сравнения, из сходимости геометрической прогрессии со знаменателем $q, \mid q \mid < 1,$ следует сходимость исходного ряда.

Замечание 1. Из неравенства $$\frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1 \tag{15.6}$$ не следует сходимость ряда $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n.$ Неравенство $\left(15.6\right)$ означает лишь то, что слагаемые ряда строго убывают, из чего вовсе не следует сходимость ряда, например, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}, \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ и т. д.

Замечание 2. Из неравенства $$\frac{a_{n + 1}}{a_n} \geqslant 1 \left(n \geqslant N\right) \tag{15.7}$$ сразу следует расходимость ряда $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n.$ В самом деле, $\left(15.7\right)$ означает, что слагаемые ряда образуют неубывающую последовательность положительных чисел и, следовательно, не стремятся к нулю, так что в этом случае не выполнено необходимое условие сходимости.

Следствие (признак Даламбера в предельной форме). Пусть дан ряд $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \tag{15.8}$$ с положительными слагаемыми. Предположим, что существует (быть может, и бесконечный) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow {\infty}} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lambda.$ Тогда

a) если $0 \leqslant \lambda < 1,$ то ряд $\left(15.8\right)$ сходится;

b) если $1 < \lambda \leqslant \infty,$ то ряд $\left(15.8\right)$ расходится;

c) если $\lambda = 1,$ то ничего определенного о сходимости ряда $\left(15.8\right)$ сказать нельзя.

a) Выберем такое $\varepsilon > 0,$ что $q \equiv \lambda + \varepsilon < 1 \left(\text{например, }\varepsilon = \frac{\left(1 — \lambda\right)}{2}\right).$ Тогда, начиная с некоторого номера $N,$ будет иметь место неравенство $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leqslant q \left(n \geqslant N\right),$ и, в силу признака Даламбера, ряд $\left(15.8\right)$ сходится.

b) Если $1 < \lambda \leqslant \infty,$ то, начиная с некоторого номера, справедливо неравенство $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \geqslant 1$ и, в силу замечания 2, ряд $\left(15.8\right)$ расходится.

c) Для доказательства приведем примеры сходящегося и расходящегося рядов, для которых $\lambda = 1.$ Ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится и $\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n}{n + 1} \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty.$ Ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится и $\frac{a_{n + 1}}{a_n} \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \infty.$

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1000^n}{n!}.$

По признаку Даламбера, $$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{1000^{ n + 1} \cdot n!}{\left(n + 1\right)! \cdot 1000^n} = \frac{1000}{n + 1} \rightarrow 0 \qquad \left(n \rightarrow \infty\right),$$ следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{\left(2n + 1\right)!}{\left(n!\right)^2}.$

К этому ряду удобно применить признак Даламбера $$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{\left(2n + 3\right)! \cdot \left(n!\right)^2}{\left[\left(n + 1\right)!\right]^2 \cdot \left(2n + 1\right)!} = \frac{\left(2n + 2\right) \cdot \left(2n + 3\right)}{\left(n + 1\right)^2} =$$ $$= \frac{4n^2 + 10n + 6}{n^2 + 2n + 1} \rightarrow 4 \qquad \left(n \rightarrow \infty\right),$$ По признаку Даламбера, данный ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2n — 1}.$

По признаку Даламбера, $$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{1 \cdot \left(2n – 1\right)}{2n \cdot 1} \rightarrow 1 \qquad \left(n \rightarrow \infty\right),$$ следовательно, мы не можем выяснить характер сходимости данного ряда с помощью признака Даламбера.

Признак Даламбера

Вы можете пройти данный тест, чтобы примерно оценить, насколько вы поняли тему «Признак Даламбера»

4.8 Обратная функция

Функция $f,$ действующая из $X$ в $Y,$ называется биективной, если она взаимно однозначна и ее область значений совпадает с множеством $Y.$ Это означает, что для каждого $y \in Y$ существует единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$

Пусть функция $f: X \rightarrow Y$ биективна. Тогда каждому $y \in Y$ можно поставить в соответствие единственный $x \in X,$ такой, что $y = f\left(x\right).$ Тем самым мы получим новую функцию, действующую из $Y$ в $X.$ Такая функция называется обратной к функции $f$ и обозначается $f^{−1}.$ Например, $f\left(x\right) = x^3$ действует из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ и биективна. Тогда $f^{−1}\left(y\right) = \sqrt[3]{y}.$ Другая функция $f\left(x\right) = x^2,$ действующая из $\mathbb {R}$ в $\left[0, +\infty\right),$ не является биективной, и поэтому нельзя говорить об обратной функции. Если же мы рассмотрим функцию $f_1: \left[0, +\infty\right) \rightarrow \left[0, +\infty\right),$ действующую по правилу $f_1\left(x\right) = x^2,$ то такая функция биективна, и поэтому у нее есть обратная $f^{−1} \left(y\right) = \sqrt{y}.$ В этом примере мы пользуемся понятием сужения, т. е. функцию мы рассматриваем не на всей возможной области определения, где определяющая функцию формула имеет смысл, а лишь на части этой области. Дадим определение.

Определение. Пусть функция $f: X \rightarrow Y,$ и множество $A \subset X.$ Каждой точке $x \in A$ поставим в соответствие $y = f \left(x\right) \in Y.$ Тогда получим функцию, заданную на множестве $A,$ которую будем называть сужением функции $f$ на множество $A,$ и будем обозначать это сужение $f\mid A.$

В рассмотренном выше примере $f\left(x\right) = x^2$ функция не была взаимно однозначной на $\mathbb {R}.$ В то же время сужение $f_1 = f\mid \left[0, +\infty\right)$ – взаимно однозначная функция, и поэтому существует обратная функция.

В этом параграфе мы будем заниматься вопросом существования и свойствами обратной функции. Если обратную функцию удается явно выразить (как в рассмотренных выше примерах), то свойства обратной функции могут быть изучены непосредственно. Однако это не всегда можно сделать. Например, функция $f \left(x\right) = x + \frac{1}{2} \sin x $ взаимно однозначна, но выражение обратной функции весьма затруднительно. Мы хотим исследовать свойства обратной функции $f^{−1},$ не зная ее явного выражения.

Пусть функция $f$ определена на $\left[a, b\right].$ Очевидно, что если $f$ строго монотонна на $\left[a, b\right],$ то она взаимно однозначна. Обратное утверждение не имеет места. Например, функция $$f\left(x\right) = \begin{cases} −x, \qquad −1 \leqslant x < 0, \\ x − 1, \qquad 0 \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}$$ очевидно, взаимно однозначна, но не является монотонной на $\left[−1, 1\right].$ Можно, однако, доказать, что если функция $f$ взаимно однозначна и непрерывна, то она строго монотонна. Мы этого не будем делать.

В дальнейшем через $\langle\alpha, \beta\rangle$ будем обозначать отрезок с концами $\alpha$ и $\beta$ (при этом неравенство $\alpha < \beta$ не обязательно).

Теорема (об обратной функции). Пусть функция $f$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\left[a, b\right].$ Тогда обратная функция $f^{−1}$ строго монотонна и непрерывна на отрезке $\langle f\left(a\right), f\left(b\right)\rangle.$

Рассматриваем случай возрастающей $f.$ В силу теоремы Больцано – Коши, областью значений функции $f$ является отрезок $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$ Так как $f$ взаимно однозначна на $\left[a, b\right],$ то существует функция $f^{−1},$ отображающая $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ на $\left[a, b\right].$ Обозначим $g\left(y\right) = f^{−1}\left(y\right).$ Покажем, что $g$ строго возрастает. Пусть $y^{\prime} < y^{\prime\prime}, x^{\prime} = g\left(y^{\prime}\right), x^{\prime\prime} = g \left(y^{\prime\prime}\right).$ Если $x^{\prime} \geqslant x^{\prime\prime},$ то $f \left(x^{\prime}\right) \geqslant f \left(x^{\prime\prime}\right)$ (в силу возрастания $f$), т. е. $y^{\prime} \geqslant y^{\prime\prime},$ что противоречит условию. Итак, получаем, что $x^{\prime} < x^{\prime\prime},$ т. е. условие $y^{\prime} < y^{\prime\prime}$ влечет $x^{\prime} < x^{\prime\prime}.$ Это и означает, что обратная функция $x = g\left(y\right)$ строго возрастает на $\left[f \left(a\right), f \left(b\right)\right].$

Областью значений обратной функции $g$ является отрезок $\left[a, b\right].$ В самом деле, каждое $x \in \left[a, b\right]$ является значением функции $g\left(y\right),$ где $y = f\left(x\right).$ Так как $g$ монотонна на $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right]$ и ее областью значений является отрезок $\left[a, b\right],$ то, по теореме о непрерывности монотонной функции, функция $g$ непрерывна на отрезке $\left[f\left(a\right), f\left(b\right)\right].$

Пример 1. Арксинус. Функция $f\left(x\right) = \sin x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$ Это сужение – непрерывная и строго возрастающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго возрастающая.

Арксинусом называется функция, обратная к сужению функции $\sin x$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ и обозначается $\arcsin x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$ строго возрастает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$

Пример 2. Арккосинус. Функция $f\left(x\right) = \cos x \left(−\infty < x < +\infty\right)$ не является взаимно однозначной. Рассмотрим сужение этой функции на $\left[0, \pi\right].$ Это сужение – непрерывная и строго убывающая функция. Следовательно, существует обратная функция, непрерывная и строго убывающая.

Арккосинусом называется функция, обратная к сужению функции $\cos x$ на $\left[0, \pi\right],$ и обозначается $\arccos x.$ Она определена на $\left[−1, 1\right],$ имеет областью значений отрезок $\left[0, \pi\right],$ строго убывает и непрерывна на $\left[−1, 1\right].$

Пример 3. Арктангенс и арккотангенс. Арктангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{tg } x$ на $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),$ и обозначается $\text{arctg } x.$ Функция $\text{arctg } x$ непрерывна и строго возрастает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$

Арккотангенсом называется функция, обратная к сужению функции $\text{ctg } x$ на $\left(0, \pi\right),$ и обозначается $\text{arcctg } x.$ Функция $\text{arcctg } x$ непрерывна и строго убывает на $\left(−\infty, +\infty\right),$ область ее значений – интервал $\left(0, \pi\right).$

Упражнение. Постройте графики определенных выше обратных тригонометрических функций $y = \arcsin x, y = \arccos x, y = \text{arctg } x$ и $y = \text{arcctg } x.$

Пример 4. Функция $f\left(x\right) = x^n \left(x \geqslant 0, n \in \mathbb {Z}\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \sqrt[n]{x}.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $ n = 2m + 1 \left(m \in \mathbb {N}\right).$

Пример 5. $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}_+,$ функция $f\left(x\right) = a^x \left(a > 0, a \neq 1\right)$ является взаимно однозначной. Следовательно, существует обратная функция $f^{-1}\left(x\right) = \log_a x.$ Можем увидеть пример графика данной функции и её обратной при $a > 1.$

Обратная функция

Вы можете пройти данный тест, чтобы примерно оценить, насколько вы поняли тему «Обратная функция»

М605. Задача о преобразовании плоскости

Условие

На плоскости отмечены $2n + 1$ различных точек. Занумеруем их числами $1, 2, \ldots, 2n + 1$ и рассмотрим следующее преобразование $R$ плоскости: сначала делается симметрия относительно первой точки, затем относительно второй и т. д. — до $\left(2n + 1\right)$-й точки.

а) Покажите, что y этого преобразования $R$ есть единственная «неподвижная точка» (точка, которая отображается в себя).

Рассмотрим всевозможные способы нумерации наших $2n + 1$ точек (числами $1, 2, \ldots, 2n + 1$). Каждой такой нумерации соответствует свое преобразование плоскости $R$ и своя неподвижная точка. Пусть $F$ — множество неподвижных точек всех этих преобразований.

б) Укажите множество $F$ для $n = 1$.

в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество $F$ при каждом $n = 2, 3, \ldots$

Решение

Фиксируем произвольную систему координат.

Пусть точки $A\left(x; y\right)$ и $A^*\left(x^*; y^*\right)$ симметричны относительно точки $A’\left(x’; y’\right)$. Тогда $x’ = \frac{\left(x + x^*\right)}{2}, y’ = \frac{\left(y + y^*\right)}{2},$ откуда $$x^* = 2x’ — x, y^* = 2y’ — y.$$

Таким образом, точка с координатами $\left(x; y\right)$ при симметрии относительно точки с координатами $\left(x’; y’\right)$ переходит в точку с координатами $\left(2x’ — x; 2y’ — y\right)$.

Поэтому при нашем преобразовании $R$ точка с координатами $\left(x; y\right)$ перейдет в точку с координатами $\left(-x + 2x_1 — 2x_2 + \cdots + 2x_{2n + 1}; -y + 2y_1 — 2y_2 + \cdots + 2y_{2n + 1}\right),$ где $\left(x_i; y_i\right)$ — координаты $i$-й из заданных $2n + 1$ точек.

a) Для неподвижной точки $\left(x; y\right)$ преобразования $R$ эти координаты определяются однозначно из условия $$ \begin{cases}-x + 2x_1 — 2x_2 + \cdots + 2x_{2n + 1} = x \\ -y + 2y_1 — 2y_2 + \cdots + 2y_{2n + 1} = y\end{cases}$$ и равны $\left(x_1 — x_2 + \cdots — x_{2n} + x_{2n + 1}; y_1 — y_2 + \cdots — y_{2n} + y_{2n + 1}\right)$ или $$\left(\sum_{i = 1}^{2n + 1} \left(-1\right)^{i — 1} x_i; \sum_{i = 1}^{2n + 1} \left(-1\right)^{i — 1} y_i\right) \tag{*}$$ Утверждение a) доказано.

б) Пусть сначала данные точки $X_1, X_2, X_3$ не лежат на одной прямой. Если точка $A_1$ после симметрии относительно точек $X_1, X_2, X_3$ отобразилась в себя (см. рисунок), то $X_1, X_2, X_3$ — середины отрезков $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1$, где $A_2 = SX_1\left(A_1\right)$, $A_3 = SX_2\left(A_2\right)$. Значит, $\left[A_1A_2\right]$, $\left[A_2A_3\right]$, $\left[A_3A_1\right]$ — медианы треугольника $A_1A_2A_3$, так что точки $A_1, A_2, A_3$ можно получить из точек $X_1, X_2, X_3$ гомотетией с центром в центре тяжести $O$ треугольника $X_1X_2X_3$ и коэффициентом $(—2)$. Этим положение точек $A_i \left(i = 1, 2, 3\right)$ определяется однозначно. С другой стороны, каждая точка $A_i$ при соответствующей композиции симметрий относительно точек $X_i$, отображается в себя (например, $SX_2\left(SX_1\left(SX_3\left(A_3\right)\right)\right) = A_3$). Поэтому множество $F$ — это три точки, получающиеся из данных точек $X_1, X_2, X_3$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $(-2)$. Легко видеть, что, если данные точки $X_1, X_2, X_3$ лежат на прямой, ответ получается, в разумном смысле, тот же.

в) Глядя на выражение $(*)$, нетрудно сообразить, что в множестве $F$ точек не больше, чем число способов выбрать из $2n + 1$ данных точек те $n$ точек, перед абсциссами которых в выражении $(*)$ будет стоять знак «минус», то есть не больше, чем $C^n_{2n + 1}$. Очевидно, эта оценка точна (возьмите, например, $2n + 1$ точек на одной прямой с целыми координатами $1, 2, 2^2, \ldots, 2^{2n}$).

Оценим теперь число неподвижных точек снизу. Спроектируем данные $2n + 1$ точек на прямую так, чтобы никакие две точки не попали в одну. На этой прямой введем координаты и перенумеруем точки в порядке возрастания координат: $x_1 < x_2 < \ldots < x_{2n + 1}$. Поставим $n$ минусов перед первыми $n$ числами и рассмотрим сумму $- x_1 — x_2 — \cdots — x_n + x_{n + 1} + \cdots + x_{2n + 1}$: она будет соответствовать некоторой неподвижной точке из нашего множества $F$. Далее произведем следующую операцию: выберем пару чисел $x_i$ и $x_{i + 1}$ таких, что перед $x_i$ стоит минус, а перед $x_{i + 1}$ — плюс, и поменяем у них знаки (на первом шаге, очевидно, $i = n$). Каждая такая операция приводит к сумме, соответствующей неподвижной точке из множества $F$, причем, поскольку после каждой такой операции сумма уменьшатся, все эти неподвижные точки различны. Всего таких операций (вне зависимости от их порядка) мы можем произвести $n\left(n + 1\right)$, что уже даст нам $n\left(n + 1\right) + 1$ неподвижных точек. Значит, в $F$ точек не меньше $n\left(n + 1\right) + 1$. Ровно столько неподвижных точек получится, если, например, снова взять $2n + 1$ точек на прямой с целыми координатами $-n, -\left(n — 1\right), \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots, n — 1, n$. При всевозможных способах расстановки $n$ «минусов» перед некоторыми из них максимальное значение суммы этих чисел равно $2 \cdot \left(1 + 2 + \cdots + n\right) = n(n + 1)$, минимальное значение равно $-n\left(n + 1\right)$, причем сумма может принимать любое четное значение между числами $-n\left(n + 1\right)$ и $n\left(n + 1\right)$ — всего $n\left(n + 1\right) + 1$ значений.

И. Клумова, А. Талалай