Processing math: 100%

Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если fC[a;b] и f строго возрастает на I=[a;b], то на E=[f(a),f(b)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(a),f(b)] и строго возрастающей на [a;b].

Если fC[a;b] и f строго убывает на [a;b], то на [f(b),f(a)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(b),f(a)] и строго убывающей на [a;b].

Доказательство:

Предположим, что функция f строго возрастает на отрезке I.
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений E непрерывной функции f тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции f для каждого yE существует единственная точка xI такая, что f(x)=y.
Следовательно, для функции f существует обратная функция f1, определенная на отрезке E, имеющая множество значений I.

Покажем, что f1 строго возрастает на E.

Пусть y1 и y2 — две произвольные точки из E такие, что y1<y2, и прообразами этих точек будут точки x1 и x2. f1(y1)=x1 и f1(y2)=x2.

Поскольку f — строго возрастающая функция, то неравенство y1=f(x1)<f(x2)=y2 возможно тогда и только тогда, когда x1<x2 или, что то же самое, когда f1(y1)<f1(y2).

В силу произвольности y1<y2 делаем вывод, что функция f1 строго возрастает на множестве E.

Для случая, когда f строго убывает, теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Таблица эквивалентных

Таблица эквивалентных

Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые.  Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [00]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базыx0  в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу x0, для простоты записи  будем писать знак вместо x0.

sinxx ex1x
tgxx ax1xlna
arcsinxx ln(1+x)x
arctgxx (1+x)α1αx
shxx 1cosxx22

Докажем некоторые утверждения:

1)    limx0arcsinxx=limx01xarcsinx=limy01sinyy=1

2)  limx0tgxx=limx0sinxxcosx=limx0sinxxlimx0cosx=11=1

3)  limx01cosxx2/2=limx02sin2x2x2/2=limx02sin2x22(x2)2=limx0sinx2x2sinx2x2=limx0sinx2x2limx0sinx2x2=11=1

4) limx0loga(1+x)xlna=limx0lna1xloga(1+x)=limx0lnaloga(1+x)1x=limx0lnaln(1+x)1xlna=limx0ln(1+x)1x=lnlimx0(1+x)1x=lne=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

Определение :
Если ˙Uδ(x0)в которой определены f,g  и h:f(x)=g(x)h(x),
причём limxx0h(x)=1f и g- эквивалентные при xx0 и пишут fxx0g
limx0f(x)g(x)=h(x)=1
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при xx0

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  α  и β были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было limβα=1
Положив  βα=γ, будем иметь  βα1=γα
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   βα1 , то γα0  , то естьγ есть бесконечно малая высшего порядка, чем  α и  βα . Обратно, если дано, что βα , то γα0 , а тогда  βα1.
С помощью этого критерия, например, видно, что при x0 бесконечно малая  sinx  эквивалентна x, а 1+x1=12x.
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  [00] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  βα. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Еслиff1 , а gg1 , при xx0 , то если limxx0f1(x)g1(x) , то  limxx0f(x)g(x) и limxx0f1(x)g1(x)=limxx0f(x)g(x)
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) limx0arcsinx(ex1)cosxcos3x=[arcsinxxex1xcosxcos3x=2sinxsin2x ]limx0xx4x2=14

2) limxx(e1x1)=[1x=txt0]=limt01t(et1)=limt01tt=limt01=1

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
  • Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если fC[a;b] , то она достигает своих точных граней, то есть

ξ[a;b]:f(ξ)=supx[a;b]f(x)  и

ξ1[a;b]:f(ξ1)=infx[a;b]f(x) .

Доказательство:

ξ[a;b]:f(ξ)=supx[a;b]f(x)
Обозначим M=supf(x) (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: x[a;b]:f(x)M
ε>0xε[a;b]:Mε<f(xε)

Полагая ε=1,12,13,,1n, получим последовательность {xn}такую, что для всех nNвыполняются условия nN:M1n<f(xn)M откуда получаем limxf(xn) существует подпоследовательность {xnk}  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности {xn}  и точка ξ , такие что limxxnk=ξ ,  где  ξ[a;b].
В силу непрерывности функции f в точке ξ limxf(xnk)=f(ξ)

С другой стороны {f(xnk)} — подпоследовательность последовательности {f(xn)}, сходящейся к числу M.
Поэтому  limxf(xnk)=M
В силу единственности предела последовательности заключаем, чтоf(ξ)=M=supx[a;b]f(x);

Утверждение ξ[a;b]:f(ξ)=supx[a;b]f(x) доказано.

Аналогично доказывается ξ1[a;b]:f(ξ1)=infx[a;b]f(x)
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Обратная функция

Определение

Пусть функция y=f(x) с областью определения D(f) и множеством значений R(f). Обратная к f — функция f1 определяется как функция с областью определения D(f1)=R(f)  и множеством значений R(f1)=D(f) , такая что f1(y)=x тогда и только тогда, когда f(x)=y. Таким образом,  f1 возвращает y обратно в x.

График

Переход от функции y=f(x), xX, к обратной функции x=f1(y), yY (если она существует), сводится к изменению ролей множеств X и Y. Следовательно, графики функций y=f(x) и x=f1(y) на плоскости XOY совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через x, т.е. записывают ее в виде y=f1(x). График функции y=f1(x) получается из графика функции y=f(x) с помощью преобразования плоскости XOY, переводящей каждую точку (x,y) в точку (y,x), то есть симметрией относительно прямой y=x.

Graphic

Спойлер

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Тест по теме «Обратная функция»