Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] и [latex]f[/latex] строго возрастает на [latex]I = [a;b][/latex], то на [latex]E = [f(a),f(b)][/latex] определена функция [latex]x=g(y)[/latex], которая будет обратной к [latex]f[/latex], непрерывной на [latex][f(a), f(b)][/latex] и строго возрастающей на [latex][a;b][/latex].

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] и [latex]f[/latex] строго убывает на [latex][a;b][/latex], то на [latex][f(b), f(a)][/latex] определена функция [latex]x=g(y)[/latex], которая будет обратной к [latex]f[/latex], непрерывной на [latex][f(b), f(a)][/latex] и строго убывающей на [latex][a;b][/latex].

Доказательство:

Предположим, что функция [latex]f[/latex] строго возрастает на отрезке [latex]I[/latex].
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений [latex]E[/latex] непрерывной функции [latex]f[/latex] тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции [latex]f[/latex] для каждого [latex]y\in E[/latex] существует единственная точка [latex]x\in I[/latex] такая, что [latex]f(x)=y[/latex].
Следовательно, для функции [latex]f[/latex] существует обратная функция [latex]f^{-1}[/latex], определенная на отрезке [latex]E[/latex], имеющая множество значений [latex]I[/latex].

Покажем, что [latex]f^{-1}[/latex] строго возрастает на [latex]E[/latex].

Пусть [latex]y_{1}[/latex] и [latex]y_{2}[/latex] — две произвольные точки из [latex]E[/latex] такие, что [latex]y_{1}<y_{2}[/latex], и прообразами этих точек будут точки [latex]x_{1}[/latex] и [latex]x_{2}[/latex]. [latex]f^{-1}(y_{1})=x_{1}[/latex] и [latex]f^{-1}(y_{2})=x_{2}[/latex].

Поскольку [latex]f[/latex] — строго возрастающая функция, то неравенство [latex]y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2}[/latex] возможно тогда и только тогда, когда [latex]x_{1}<x_{2}[/latex] или, что то же самое, когда [latex]f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2})[/latex].

В силу произвольности [latex]y_{1} < y_{2}[/latex] делаем вывод, что функция [latex]f^{-1}[/latex] строго возрастает на множестве [latex]E[/latex].

Для случая, когда [latex]f[/latex] строго убывает, теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Таблица эквивалентных

Таблица эквивалентных

Отношения бесконечно малых можно упрощать, отбрасывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные им бесконечно малые.  Чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида [latex][\frac{0}{0}][/latex]) можно было применять к большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных величин. Создадим такой запас для базы[latex]x\rightarrow 0[/latex]  в виде таблицы «стандартных» эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу [latex]x\rightarrow 0[/latex], для простоты записи  будем писать знак [latex]\sim[/latex] вместо [latex]_{x\rightarrow 0}^{\sim}\textrm{}[/latex].

[latex]sinx \sim x [/latex] [latex]e^{x}-1\sim x [/latex]
[latex]tgx\sim x[/latex] [latex]a^{x}-1\sim xlna[/latex]
[latex]arcsinx\sim x[/latex] [latex]ln(1+x)\sim x[/latex]
[latex]arctgx\sim x[/latex] [latex](1+x)^{\alpha }-1\sim \alpha x[/latex]
[latex]shx\sim x[/latex] [latex]1-cosx\sim \frac{x^{2}}{2}[/latex]

Докажем некоторые утверждения:

1)    [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx}{x}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{x}{arcsinx}}=[/latex][latex]lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{siny}{y}} =1[/latex]

2)  [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{\frac{x}{cosx}}[/latex][latex]=\frac{lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}}{lim_{x\rightarrow 0}cosx}=[/latex][latex]\frac{1}{1}=1[/latex]

3)  [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}/2}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}/2}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{2(\frac{x}{2})^{2}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=[/latex][latex]1\cdot 1=1[/latex]

4) [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{log_{a}(1+x)}{\frac{x}{lna}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{1}{x}log_{a}(1+x)=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot log_{a}(1+x)^{\frac{1}{x}}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln\; a\cdot \frac{ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{lna}=[/latex][latex]lim_{x\rightarrow 0}ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=[/latex][latex]ln\; lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=[/latex][latex]ln\; e=1[/latex]

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

Определение :
Если [latex]\exists\dot{U}_{\delta }(x_{0})[/latex]в которой определены [latex]f,g[/latex]  и [latex]h:f(x)=g(x)h(x)[/latex],
причём [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=1\Rightarrow f[/latex] и [latex]g[/latex]- эквивалентные при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] и пишут [latex]f_{x\rightarrow x_{0}}\sim g[/latex]
[latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)=1[/latex]
Понятие эквивалентные обычно используют, когда f и g — бесконечно малые или бесконечно большие при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex]

Критерий:
Для того, чтобы две бесконечно малые  [latex]\alpha[/latex]  и [latex]\beta[/latex] были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было [latex]lim\frac{\beta }{\alpha }=1[/latex]
Положив  [latex]\beta-\alpha =\gamma[/latex], будем иметь  [latex]\frac{\beta }{\alpha }-1=\frac{\gamma }{\alpha }[/latex]
Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если   [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex]  , то есть[latex]\gamma[/latex] есть бесконечно малая высшего порядка, чем  [latex]\alpha[/latex] и  [latex]\beta \sim \alpha[/latex] . Обратно, если дано, что [latex]\beta \sim \alpha[/latex] , то [latex]\frac{\gamma }{\alpha }\rightarrow 0[/latex] , а тогда  [latex]\frac{\beta }{\alpha }\rightarrow 1[/latex].
С помощью этого критерия, например, видно, что при [latex]x\rightarrow 0[/latex] бесконечно малая  [latex]sin\: x[/latex]  эквивалентна [latex]x[/latex], а [latex]\sqrt{1+x}-1=\frac{1}{2}x[/latex].
Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределённости  [latex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/latex] . Т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых  [latex]\frac{\beta }{\alpha }[/latex]. Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Замена функций эквивалентными при вычислении предела:

Теорема:
Если[latex]f\sim f_{1}[/latex] , а [latex]g\sim g_{1}[/latex] , при [latex]x\rightarrow x_{0}[/latex] , то если [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}[/latex] , то  [latex]\exists\; lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
Замечание:
Если в числителе или знаменателе стоит сумма, то  при раскрытии неопределенности заменять отдельные слагаемые эквивалентными величинами нельзя, т.к. такая замена может привести к неверному результату.

Примеры:

1) [latex]lim_{x\rightarrow 0}\frac{arcsinx(e^{x}-1)}{cosx-cos3x}=[/latex][latex]\begin{bmatrix} arcsinx\sim x\\e^{x-1}\sim x \\cosx-cos3x=2sinxsin2x \ \end{bmatrix}[/latex][latex]\Rightarrow lim_{x\rightarrow 0}\frac{x*x}{4x^{2}}=[/latex][latex]\frac{1}{4}[/latex]

2) [latex]lim_{x\rightarrow \infty }x(e^{\frac{1}{x}}-1)=[/latex][latex]\begin{bmatrix} \frac{1}{x}=t\\ x\rightarrow \infty \Rightarrow t\rightarrow 0 \end{bmatrix}[/latex][latex]=lim_{t\rightarrow 0 }\frac{1}{t}(e^{t}-1)=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t}t=[/latex][latex]lim_{t\rightarrow 0}1=1[/latex]

Источники:

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Сравнение функций»).
  • Фихтенгольц Г. М. «Основы математического анализа, том 1» Издание шестое,  стереотипное 1968 Изд-во Наука (с. 112-114)

Тест по теме «Эквивалентные функции»

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] , то она достигает своих точных граней, то есть

[latex] \exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]  и

[latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] .

Доказательство:

[latex]\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x) [/latex]
Обозначим [latex]M=\sup f(x)[/latex] (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: [latex]\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M[/latex]
[latex]\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })[/latex]

Полагая [latex]\varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{n},…[/latex] получим последовательность [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]такую, что для всех [latex] n\in N [/latex]выполняются условия [latex]\forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M[/latex] откуда получаем [latex] \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n})[/latex] существует подпоследовательность [latex]\left \{ x_{n_{k}} \right \}[/latex]  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]  и точка [latex]\xi[/latex] , такие что [latex] \lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi[/latex] ,  где  [latex]\xi\in [a;b].[/latex]
В силу непрерывности функции [latex]f[/latex] в точке [latex]\xi[/latex] [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )[/latex]

С другой стороны [latex]\left \{ f(x_{n_{k}}) \right \}[/latex] — подпоследовательность последовательности [latex]\left \{ f(x_{n}) \right \}[/latex], сходящейся к числу [latex]M.[/latex]
Поэтому  [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M[/latex]
В силу единственности предела последовательности заключаем, что[latex]f(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x); [/latex]

Утверждение [latex]\exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] доказано.

Аналогично доказывается [latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»

Обратная функция

Определение

Пусть функция $y=f(x)$ с областью определения $ D(f)$ и множеством значений $R(f)$. Обратная к $f$ — функция $f^{-1}$ определяется как функция с областью определения $D(f^{-1})=R(f)$  и множеством значений $R(f^{-1})=D(f)$ , такая что $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$. Таким образом,  $f^{-1}$ возвращает $y$ обратно в $x$.

График

Переход от функции $y=f(x)$, $x\in X$, к обратной функции $x=f^{-1}(y)$, $y\in Y$ (если она существует), сводится к изменению ролей множеств $X$ и $Y$. Следовательно, графики функций $y=f(x)$ и $x=f^{-1}(y)$ на плоскости $XOY$ совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через $x$, т.е. записывают ее в виде $y=f^{-1}(x)$. График функции $y=f^{-1}(x)$ получается из графика функции $y=f(x)$ с помощью преобразования плоскости $XOY$, переводящей каждую точку $(x,y)$ в точку $(y,x)$, то есть симметрией относительно прямой $y=x$.

Graphic

Спойлер

  1. Найти функцию, обратную функции $y=3x+5$.
    Решение:
    Функция $y=3x+5$ определена и возрастает на всей числовой оси. Следовательно, обратная функция существует и возрастает. Разрешая уравнение относительно $x$ получим $x=\frac{y-5}{3}$.
  2. Показать, что функция $y=\frac{k}{x}$, на множестве $X = \{x \mid x > 0\}$, где $(k\neq 0)$ обратна сама себе.
    Решение:
    Функция $y=\frac{k}{x}$ определена и строго монотонна $x > 0$ . Следовательно, обратная функция существует. Область значений функции — в зависимости от $k$: если $k > 0$, то $y >0$; если $k < 0$, то $y <0$. Разрешая уравнение относительно $x$, получим $x = \frac{k}{y}$. Итак $f^{-1}(y)=\frac{k}{y}$, $f^{-1}(x) = \frac{k}{x} = f(x)$.

[свернуть]

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Тест по теме «Обратная функция»