Пусть [latex]M[/latex] — некоторая плоская фигура. Тело вращения мы можем получить 2 способами:
вращением [latex]M[/latex] вокруг оси абсцисс([latex]OX[/latex]);
вращением [latex]M[/latex] вокруг оси ординат ([latex]OY[/latex]).
Примеры
Пример 1
Пусть [latex]M[/latex] — тело вращения полученная вращением фигуры [latex]T[/latex], образованной линиями [latex]y=x^2-4x+2[/latex] и [latex]y=0[/latex], вокруг оси [latex]OX[/latex].
Первым делом начертим график:
Искомая фигура [latex]T[/latex] на графике заштрихована.
Отрезок на котором задана фигура равен [latex](2-\sqrt{2};2-\sqrt{2})[/latex]
Объем тела вращения равен:,
[latex]V=\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} {(x^2-4x+2)}^2 dx=[/latex] [latex]\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} (x^4-8x^3+20x^2-16x+4) dx=[/latex] [latex]\pi (\frac{x^5}{5}-2x^4+\frac{20x^3}{3}-8x^2+4x){|}_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}}=[/latex] [latex]\frac{64\sqrt{2}\pi}{15}[/latex]
Пример 2
Пусть [latex]M[/latex] — тело вращения полученная вращением фигуры [latex]T[/latex], образованной линиями [latex]y=x^2-4x+2[/latex] и [latex]y=0[/latex], вокруг оси [latex]OX[/latex].
Hачертим график:
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Спойлер
Комплексным числом [latex]z[/latex] называется число вида [latex]z=a+bi[/latex], где [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] – действительные числа, [latex]i[/latex] – так называемая мнимая единица. Число [latex]a[/latex] называется действительной частью [latex](Rez)[/latex] комплексного числа, число [latex]b[/latex] называется мнимой частью [latex](Imz)[/latex] комплексного числа.
Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)[/latex].
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
[latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)=[/latex] [latex](a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i[/latex]
Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
[latex]z_1[/latex] называют комплексно сопряженным к [latex]z_2[/latex], если [latex]a_1 = a_2[/latex] и [latex]b_1 = -b_2[/latex], т.е. [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_1-b_1i[/latex].
И при перемножении [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]{a_1}^2-{b_1}^2[/latex]
Это потребуется для нашего следующего действия.
Деление
Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}[/latex]
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
[latex]\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}=[/latex] [latex]\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}[/latex]
Спойлер
[latex]z_1=3+i[/latex] и [latex]z_2=3+2i[/latex]
[latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{3+i}{3+2i}=[/latex] [latex]\frac{(3+i)(3-2i)}{9+4}=[/latex] [latex]\frac{9+2-6i+3i}{13}=[/latex] [latex]\frac{11-3i}{13}[/latex]
[свернуть]
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Спойлер
Перед дальнейшим прочтением материала просмотрите информацию о тригонометрической форме комплексного числа
Любое комплексное число [latex]z[/latex] можно представить в виде:[latex]|z|(\cos\phi+ i\sin\phi)[/latex], где [latex]|z|[/latex] — это модуль комплексного числа, а [latex]\phi=arg z[/latex] — это аргумент комплексного числа. [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex]
[свернуть]
Умножение
Произведением двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)[/latex]
Спойлер
[latex]z_1=3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})[/latex] и [latex]z_1=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})[/latex]
[latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) \times 2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=[/latex] [latex]6(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})[/latex]
[свернуть]
Деление
Частным двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)[/latex]
Возведение в степень
[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]z^n=[/latex] [latex]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))[/latex]
[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]\sqrt[n]{z}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n})[/latex], [latex]k=\overline{0,n-1}[/latex]
Спойлер
[latex]z=8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})[/latex]
[latex]\sqrt[3]{8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2\sqrt[3]{(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}), k=\{0,1,2\}[/latex]
[latex]2(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9})[/latex] — это первый корень.
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9})[/latex] — это второй корень
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9})[/latex] — это третий корень
[свернуть]
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 4 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
Информация
Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Транзитивность: [latex]a \sim b[/latex] и [latex]b \sim c[/latex], то [latex]a \sim c[/latex], [latex]\forall a,b,c \in A[/latex].
Если [latex]a[/latex] связан с [latex]b[/latex], будем писать [latex]a \sim b[/latex] и говорить, что [latex]a[/latex] эквивалентен [latex]b[/latex].
Определение
Пусть [latex]\rho[/latex] — отношение эквивалентности, тогда подмножество [latex]\overline{X}=\{y\in A\vert y\sim_{\rho}x\}[/latex] называется классом эквивалентности.
Теорема
Любое отношения эквивалентности на множестве [latex]A[/latex] образует разбиение множества [latex]A[/latex] на классы эквивалентности. Обратно, любое разбиение множества [latex]A[/latex] задает на нем отношение эквивалентности.
Доказательство
Действительно, пусть [latex]K_a[/latex] — группа элементов из [latex]A[/latex] эквивалентных фиксированному элементу [latex]a[/latex]. В силу рефлексивности [latex]a \in K_a[/latex].
Покажем, что для любых [latex]K_a[/latex] и [latex]K_b[/latex]: [latex]K_a = K_b[/latex] или не имеют общих элементов.
Докажем методом «от противного».
Пусть [latex]\exists c: c\in K_a[/latex] и [latex]c\in K_b[/latex], т.е. [latex]c \sim a[/latex] и [latex]c \sim b[/latex], а в силу транзитивности [latex]a \sim b[/latex], и [latex]b \sim a[/latex]. Тогда [latex]\forall x \in K_a[/latex], то [latex]x \sim a[/latex][latex]\Rightarrow[/latex][latex]x \sim b[/latex], т.е. [latex]x \in K_b[/latex]. Таким образом, две группы, имеющие хотя бы [latex]1[/latex] общий элемент, полностью совпадают.
Мы получили разбиение на классы.
Докажем обратное.
Теперь пусть [latex](B_i)_{i\in I}[/latex] — некоторое разбиение множества [latex]A[/latex]. Рассмотрим отношение [latex]\rho[/latex], такое, что [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] имеет место тогда и только тогда, когда [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] данного разбиения:
[latex]x \sim_{\rho} y \Leftrightarrow (\exists i \in I)(x \in B_i) \land (y \in B_i).[/latex]
Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых [latex]x[/latex],[latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] имеет место [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] и [latex]y \sim_{\rho} z[/latex], то [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] в силу определения отношения [latex]\rho[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] разбиения. Следовательно, [latex]x \sim_{\rho} z[/latex] и отношение [latex]\rho[/latex] транзитивно. Таким образом, [latex]\rho[/latex] — эквивалентность на [latex]A[/latex].
Пример
Отношение равенства [latex] =_\rho [/latex] на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
[latex]\forall a \in R[/latex]: [latex]a=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] рефлексивно на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] симметрично на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b,c \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=c[/latex], то [latex]a=c[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] транзитивно на множестве [latex]R[/latex].
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Тест поможет определить как хорошо вы усвоили материал.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Алгебра0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если отвечает условиям:
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 5
2.
Можно ли разбить все страны на классы, помещая в один класс странны тогда и только тогда, когда они имеют общую границу?
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 5
3.
Является ли, отношение «!=»(не равно) отношением эквивалентности?
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 5
4.
Любое отношения эквивалентности на множестве [latex]A[/latex] образует _________ множества [latex]A[/latex] на классы эквивалентности.
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 5
5.
Напишите пропущенное слово:
Любое отношение эквивалентности на некотором множестве задает (разбиение) на этом множестве.
Тела вращения – это объемные тела, которые образуются при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и вращается вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Определение кубируемости
Тело [latex]M[/latex] — называется кубируемым, если верхний объем [latex]\overline{V}[/latex] совпадает с нижним [latex]\underline{V}[/latex] и тогда величина [latex]V=\overline{V}=\underline{V}[/latex] называется объемом [latex]M[/latex].
Пусть Тело [latex]M[/latex] — тело вращения, полученное вращением некоторой плоской фигуры вокруг оси [latex]OX[/latex] или [latex]OY[/latex].
[latex]M[/latex] — кубируемо и его объем вычисляется по формуле [latex]V=\pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x) dx[/latex].
Вот пример тела полученого вращением вокруг оси [latex]OX[/latex] криволинейной трапеции, образованной непрерывной функцией [latex]y=f(x)[/latex] и прямыми [latex]x=a[/latex] и [latex]x=b[/latex].