Вычисление объема тела вращения.

Вычисление объема тела вращения

Пусть [latex]M[/latex] — некоторая плоская фигура. Тело вращения мы можем получить 2 способами:

  • вращением [latex]M[/latex] вокруг оси абсцисс([latex]OX[/latex]);
  • вращением [latex]M[/latex] вокруг оси ординат ([latex]OY[/latex]).

Примеры

Пример 1

Пусть [latex]M[/latex] — тело вращения полученная вращением фигуры [latex]T[/latex], образованной линиями [latex]y=x^2-4x+2[/latex] и [latex]y=0[/latex], вокруг оси [latex]OX[/latex].
Первым делом начертим график:
svg1113
Искомая фигура [latex]T[/latex] на графике заштрихована.
Отрезок на котором задана фигура равен [latex](2-\sqrt{2};2-\sqrt{2})[/latex]
Объем тела вращения равен:,
[latex]V=\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} {(x^2-4x+2)}^2 dx=[/latex] [latex]\pi\int\limits_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} (x^4-8x^3+20x^2-16x+4) dx=[/latex] [latex]\pi (\frac{x^5}{5}-2x^4+\frac{20x^3}{3}-8x^2+4x){|}_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}}=[/latex] [latex]\frac{64\sqrt{2}\pi}{15}[/latex]

Пример 2

Пусть [latex]M[/latex] — тело вращения полученная вращением фигуры [latex]T[/latex], образованной линиями [latex]y=x^2-4x+2[/latex] и [latex]y=0[/latex], вокруг оси [latex]OX[/latex].
Hачертим график:

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Спойлер

Комплексным числом [latex]z[/latex] называется число вида [latex]z=a+bi[/latex], где [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] – действительные числа, [latex]i[/latex] – так называемая мнимая единица. Число [latex]a[/latex] называется действительной частью [latex](Rez)[/latex] комплексного числа, число [latex]b[/latex] называется мнимой частью [latex](Imz)[/latex] комплексного числа.

[свернуть]

Сложение

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 + z_2[/latex] получается простым приведением подобных:
[latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]a_1+b_1i+a_2+b_2i=[/latex] [latex](a_1+a_2)+(b_1+b_2)i[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=3+2i[/latex] и [latex]z_2=1+4i[/latex]
[latex]z_1 + z_2=[/latex] [latex]3+2i + 1+4i=[/latex] [latex](3+1)+(2+4)i=[/latex] [latex]4+6i[/latex]

[свернуть]

Вычитание

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 — z_2[/latex] получается аналогично со сложением:
[latex]a_1+b_1i — (a_2+b_2i)=[/latex] [latex](a_1-a_2)+(b_1-b_2)i[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=6+i[/latex] и [latex]z_2=5+2i[/latex]
[latex]z_1 — z_2=[/latex] [latex]6+i — (5+2i)=[/latex] [latex](6-5)+(1-2)i=[/latex] [latex]1-i[/latex]

[свернуть]

Умножение

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)[/latex].
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
[latex](a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)=[/latex] [latex](a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=2+i[/latex] и [latex]z_2=3+2i[/latex]
[latex]z_1 — z_2=[/latex] [latex](2+i)(3+2i)=[/latex] [latex](6 — 2)+(4+3)i=[/latex] [latex]4+7i[/latex]

[свернуть]

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
[latex]z_1[/latex] называют комплексно сопряженным к [latex]z_2[/latex], если [latex]a_1 = a_2[/latex] и [latex]b_1 = -b_2[/latex], т.е. [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_1-b_1i[/latex].
И при перемножении [latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]{a_1}^2-{b_1}^2[/latex]
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть [latex]z_1,z_2\in C[/latex], [latex]z_1=a_1+b_1i[/latex] и [latex]z_2=a_2+b_2i[/latex].
Тогда [latex]z=[/latex] [latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}[/latex]
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
[latex]\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}=[/latex] [latex]\frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=3+i[/latex] и [latex]z_2=3+2i[/latex]
[latex]\frac{z_1}{z_2}=[/latex] [latex]\frac{3+i}{3+2i}=[/latex] [latex]\frac{(3+i)(3-2i)}{9+4}=[/latex] [latex]\frac{9+2-6i+3i}{13}=[/latex] [latex]\frac{11-3i}{13}[/latex]

[свернуть]

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Спойлер

Перед дальнейшим прочтением материала просмотрите информацию о тригонометрической форме комплексного числа
svg111
Любое комплексное число [latex]z[/latex] можно представить в виде:[latex]|z|(\cos\phi+ i\sin\phi)[/latex], где [latex]|z|[/latex] — это модуль комплексного числа, а [latex]\phi=arg z[/latex] — это аргумент комплексного числа. [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex]

[свернуть]

Умножение

Произведением двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)[/latex]

Спойлер

[latex]z_1=3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})[/latex] и [latex]z_1=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})[/latex]
[latex]z_1 \times z_2=[/latex] [latex]3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) \times 2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=[/latex] [latex]6(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})[/latex]

[свернуть]

Деление

Частным двух комплексных чисел [latex]z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1)[/latex] и [latex]z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2)[/latex] будет комплексное число вида [latex]z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)[/latex]

Возведение в степень

[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]z^n=[/latex] [latex]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))[/latex]

Спойлер

[latex]z=3\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})[/latex]
[latex]z^10=[/latex] [latex]{3\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=[/latex] [latex]{27}^5{(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10=[/latex] [latex]{27}^5(\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3})=[/latex] [latex]{27}^5(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})=[/latex]

[свернуть]

Извлечение корня

[latex]\forall z \in C[/latex] [latex]\sqrt[n]{z}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}=[/latex] [latex]\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n})[/latex], [latex]k=\overline{0,n-1}[/latex]

Спойлер

[latex]z=8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})[/latex]
[latex]\sqrt[3]{8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2\sqrt[3]{(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}=[/latex] [latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}), k=\{0,1,2\}[/latex]
[latex]2(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9})[/latex] — это первый корень.
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9})[/latex] — это второй корень
[latex]2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})=[/latex] [latex]2(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9})[/latex] — это третий корень

[свернуть]

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Отношение эквивалентности, связь с разбиениями

Отношение эквивалентности

Введение понятия «отношение эквивалентности»

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если отвечает условиям:

  1. Рефлексивность: [latex]a \sim a[/latex], [latex]\forall a \in A[/latex];
  2. Симметричность: [latex]a \sim b[/latex], то [latex]b \sim a[/latex], [latex]\forall a,b \in A[/latex];
  3. Транзитивность: [latex]a \sim b[/latex] и [latex]b \sim c[/latex], то [latex]a \sim c[/latex], [latex]\forall a,b,c \in A[/latex].
  4. Если [latex]a[/latex] связан с [latex]b[/latex], будем писать [latex]a \sim b[/latex] и говорить, что [latex]a[/latex] эквивалентен [latex]b[/latex].

Определение

Пусть [latex]\rho[/latex] — отношение эквивалентности, тогда подмножество [latex]\overline{X}=\{y\in A\vert y\sim_{\rho}x\}[/latex] называется классом эквивалентности.

Теорема

Любое отношения эквивалентности на множестве [latex]A[/latex] образует разбиение множества [latex]A[/latex] на классы эквивалентности. Обратно, любое разбиение множества [latex]A[/latex] задает на нем отношение эквивалентности.

Доказательство

Действительно, пусть [latex]K_a[/latex] — группа элементов из [latex]A[/latex] эквивалентных фиксированному элементу [latex]a[/latex]. В силу рефлексивности [latex]a \in K_a[/latex].
Покажем, что для любых [latex]K_a[/latex] и [latex]K_b[/latex]: [latex]K_a = K_b[/latex] или не имеют общих элементов.
Докажем методом «от противного».
Пусть [latex]\exists c: c\in K_a[/latex] и [latex]c\in K_b[/latex], т.е. [latex]c \sim a[/latex] и [latex]c \sim b[/latex], а в силу транзитивности [latex]a \sim b[/latex], и [latex]b \sim a[/latex]. Тогда [latex]\forall x \in K_a[/latex], то [latex]x \sim a[/latex][latex]\Rightarrow[/latex][latex]x \sim b[/latex], т.е. [latex]x \in K_b[/latex]. Таким образом, две группы, имеющие хотя бы [latex]1[/latex] общий элемент, полностью совпадают.
Мы получили разбиение на классы.
Докажем обратное.
Теперь пусть [latex](B_i)_{i\in I}[/latex] — некоторое разбиение множества [latex]A[/latex]. Рассмотрим отношение [latex]\rho[/latex], такое, что [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] имеет место тогда и только тогда, когда [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] данного разбиения:

[latex]x \sim_{\rho} y \Leftrightarrow (\exists i \in I)(x \in B_i) \land (y \in B_i).[/latex]

Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых [latex]x[/latex],[latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] имеет место [latex]x \sim_{\rho} y[/latex] и [latex]y \sim_{\rho} z[/latex], то [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] и [latex]z[/latex] в силу определения отношения [latex]\rho[/latex] принадлежат одному и тому же элементу [latex]B_i[/latex] разбиения. Следовательно, [latex]x \sim_{\rho} z[/latex] и отношение [latex]\rho[/latex] транзитивно. Таким образом, [latex]\rho[/latex] — эквивалентность на [latex]A[/latex].

Пример

Отношение равенства [latex] =_\rho [/latex] на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
[latex]\forall a \in R[/latex]: [latex]a=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] рефлексивно на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=a[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] симметрично на множестве [latex]R[/latex];
[latex]\forall a,b,c \in A[/latex]: [latex]a=b[/latex] и [latex]b=c[/latex], то [latex]a=c[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex] =_\rho [/latex] транзитивно на множестве [latex]R[/latex].

Тест поможет определить как хорошо вы усвоили материал.

Источники:

  1. Конспект лекций С.В.Федоровского
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994,стр 15-17
  3. Отношения эквивалентности на множестве

Определение тела вращения и его объема

Определение тела вращения и его объема

Тела вращения – это объемные тела, которые образуются при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и вращается вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Определение кубируемости

Тело [latex]M[/latex] — называется кубируемым, если верхний объем [latex]\overline{V}[/latex] совпадает с нижним [latex]V[/latex] и тогда величина [latex]V=\overline{V}=V[/latex] называется объемом [latex]M[/latex].

Пусть Тело [latex]M[/latex] — тело вращения, полученное вращением некоторой плоской фигуры вокруг оси [latex]OX[/latex] или [latex]OY[/latex].
[latex]M[/latex] — кубируемо и его объем вычисляется по формуле [latex]V=\pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x) dx[/latex].
Вот пример тела полученого вращением вокруг оси [latex]OX[/latex] криволинейной трапеции, образованной непрерывной функцией [latex]y=f(x)[/latex] и прямыми [latex]x=a[/latex] и [latex]x=b[/latex].
svg111