1. Понятие преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье. Пусть $f(x)$ есть комплекснозначная функция действительного переменного. Тогда преобразование Фурье функции $f(x)$ ( оно обозначается через $F[f]$ или $\hat{f}$) определяется формулой
$$\hat{f}(y)=F[f]=v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx\,(1)$$ Обратное преобразование Фурье(обозначается через $F^{-1}[f]$ или $\tilde{f}$) определяется формулой
$$\tilde{f}(y)=F^{-1}[f]=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx\,(2)$$
Предполагается, что интегралы (1) и (2) существуют. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема, то несобственные интегралы $$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$$$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$ существуют и совпадают с соответствующими интегралами в смысле главного значения. Поэтому для абсолютно интегрируемых функций преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определяется как следующие несобственные интегралы:
$$F[f]=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$
$$F^{-1}[f]=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$
2. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых на $\mathbb{R}$ функций.
Лемма 1. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции есть ограниченная и непрерывная на $\mathbb{R}$ функция.
Так как функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то
$$\left|\hat{f}(y)\right|=\left|\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx \right| \leq\intop_{-\infty}^{+\infty} \left| f(x)\right|dx= C_{0}$$ Cледовательно, $\hat{f}(y)$ есть ограниченная функция на $\mathbb{R}$. Для доказательства непрерывности функции $\hat{f}(y)$ запишем её в виде
и заметим, что, в силу леммы, функции $a(y)$ и $b(y)$ непрерывны на $\mathbb{R}$.
Теорема 1. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$ и имеет в каждой точке конечную производную $f'(x)$, то справедливы формулы обращения
Пусть функция $f(x): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке $[a,b]$.
Если существует конечный предел
$$ \lim_{N \rightarrow \infty}\intop_{-N}^{N} f(x)\,dx,$$
то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значения и обозначать через $$v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx.$$ Таким образом,
$$v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{N \rightarrow \infty}\intop_{-N}^{N} f(x)\,dx.$$
Если $$\intop_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$$ сходящийся, то он существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение неверно. Ясно, что для любой нечетной, абсолютно интегрируемой на любом конечном отрезке функции интеграл от этой функции в смысле главного значения равен нулю.
Пусть функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на отрезке$[a,\beta]$, содержащимся в отрезке $[a,b]$ и $c\overline{\in}[a,\beta]$, $c\in(a,b)$.
Тогда:
$$v.p.\intop_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{\epsilon \rightarrow +0} \left[ \intop_{a}^{c-\varepsilon}f(x)\,dx — \intop_{c+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx \right]$$
Пусть для абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции $f(x)$ справедливо представление в виде интеграла Фурье, т.е. $\forall x \in \mathbb{R}$ справедливо
$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}\,dt=$$
$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}a(y)\cos{(yx)}\,dy+\intop_{-\infty}^{+\infty}b(y)\sin{(yx)}\,dy,(1)$$ где
$$a(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(yt)}\,dt,$$ $$b(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{(yt)}\,dt.$$
Лемма 1. Если $f(x)$ — абсолютно итегрируемая на $\mathbb{R}$, то $a(y)$ и $b(y)$, непрерывны на $\mathbb{R}$.
Докажем непрерывность $a(y)$.
$$a(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(yt)} \,dt$$
Из этого следует, что
$$\left|\triangle a(y)\right|=$$ $$=\left| a(y+\triangle y)-a(y)\right|\leq$$ $$\leq\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left| f(t)\right|\left|\sin{(\frac{t\triangle y}{2})}\right|dt.(2)$$
Так как функция $f(t)$ абсолютно интегрируема, то интервал $(-\infty,+\infty)$ можно разбить на три таких интервала $(-\infty,-c)$,$(-c,c)$ и $(c,+\infty)$, что по бесконечным интервалам интегралы от функции
$\mid f(x) \mid$ меньше либо равны $\frac{\varepsilon}{3}$. Второй интеграл в формуле (2) меньше, чем
$$\frac{c}{2\pi}\mid \triangle y \mid \intop_{-c}^{c}\mid f(t) \mid\, dt,$$
и, следовательно $\exists\delta>0$что при $\mid \triangle y \mid < \delta$ второй интеграл в формуле(1) меньше $\frac{\varepsilon}{3}$. Из (*) следует, что при $\mid \triangle y \mid < \delta$
приращение $\mid \triangle a(y) \mid < \varepsilon$. Рассмотрим несобственный интеграл
$$K(y)=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{(y(x-t))}\,dt=$$
$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\sin{(yx)} \cos {(yt)}-\cos{(yx)}\sin{(yt)})\,dt=$$ $$=2\pi(a(y)\sin{(yx)}-b(y)\cos{(yx)}).$$
В силу леммы 1 функция $K(y)$ непрерывна на $\mathbb{R}$. Так как функция $K(y)$ нечетна, то
$$\frac{1}{2\pi}v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}K(y)\,dy=$$ $$=v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin\,y(x-t)\,dt=0.(3)$$ Теорема 1. Если для абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции $f(x)$ справедливо $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}\,dt=$$
$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}a(y)\cos{(yx)}\,dy+\intop_{-\infty}^{+\infty}b(y)\sin{(yx)}\,dy$$
то справедливо, что $$f(x)=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left( \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iyt}\,dt \right) e^{iyx}\,dy,(4)$$
$$f(x)=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left( \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{iyt}\,dt \right) e^{-iyx}\,dy.(5)$$
(4) получается умножением равенства (3) на мнимую единицу, сложить его с равенством (4) и воспользоваться формулами Эйлера
$$\cos{(y(x-t))}+I\sin{(y(x-t))}=e^{iy(x-t)}=e^{iyx}e^{-iyt}$$
Аналогично получается (5). Интеграл, стоящий в праваой части равенства (4), называется интегралом Фурье $f(x)$ в комплексной форме.
Замечание
Интеграл Фурье в комплексной форме может быть написан и для комплекснозначной абсолютно интегрируемой функции $f(x)=f_{1}(x)+if_{2}(x)$. Если для действительной и мнимой части функции $f(x)$, т.е. для $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$, справедливо представление (4) интегралом Фурье, то очевидно, что такое представление справедливо и для функции $f(x)=f_{1}(x)+if_{2}(x).$
[свернуть]
Примеры
Пример 1.Представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию$$ f(x)=\begin{cases}0,x<0\\h, 0 \leq x \leq \tau \\ 0, x>\tau \end{cases}$$
Пример 2.Представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию $$f(x)=\begin{cases}-e^{-2x},x \geq0,\\2e^{x},x<0 \end{cases}$$
Решение
Построим график функции.
Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет всем условиям интегральной теоремы, а именно кусочно-непрерывна и имеет одну точку разрыва 1-го рода $x_{0}=0$. В точках непрерывности интеграл Фурье в комплексной форме сходится к значениям функции $$f(x)=\intop_{-\infty}^{+\infty}C(a)e^{iax}\,da$$
В точке разрыва $x_{0}=0$ интеграл Фурье сходится к значению $$\frac{f(0-0)+f(0+0)}{2}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}.$$
[свернуть]
Интегралы в смысле главного значения
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 2 заданий окончено
Вопросы:
1
2
Информация
Рекомендуется пройти
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 2
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Выполнено.
1
2
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 2
1.
Количество баллов: 1
Выберите интеграл в смысле главного значения:
Правильно
Верно!
Неправильно
Не верно!
Задание 2 из 2
2.
Количество баллов: 1
$$f(x)=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left( \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iyt}\,dt \right) e^{iyx}\,dy$$
Интеграл стоящий в правой части равенства называется
Докажите, что не существует различных простых чисел p, q таких, что [latex]2^{p}+1[/latex] делится на [latex]q[/latex], [latex]2^{q}+1[/latex] делится на [latex]p[/latex].
Доказательство
Ясно, что [latex]p[/latex] и [latex]q[/latex] нечетны, и если одно из них равно 3, то другое тоже должно равняться 3. Поэтому будем в дальнейшем считать, что [latex]p>q>3[/latex].
Первое решение.
Из условия следует, что [latex]2^{2p}\equiv1(\bmod m)[/latex].
С другой стороны, согласно малой теореме Ферма, для простого [latex]q[/latex] имеем: [latex]2^{q-1}\equiv1(\bmod q)[/latex].
Пусть n — найменьшее натуральное число такое, что [latex]2^n=1(mod q)[/latex]. Тогда [latex]n\neq 2[/latex] — отличный от единицы делитель числа [latex]2p[/latex]. Значит, [latex]n=p[/latex] либо [latex]n=2p[/latex], т.е. n не является делителем числа [latex]q-1[/latex]. Противоречие. Второе решение можно получить, опираясь на следующее утверждение.
Лемма 1
Пусть [latex]p[/latex], [latex]q[/latex] — простые числа, [latex]q\neq 3[/latex],[latex]2^{p}+1[/latex] делится на [latex]q[/latex]. Тогда [latex]q=2kp+1[/latex], где [latex]k[/latex] — натуральное число. Эту лемму легко доказать, заметив, что число n в первом решении равно [latex]2p[/latex]. Из нее следует, что [latex]q>p[/latex]. Противоречие.
Еще одно решение можно получить, опираясь на такое утверждение.
Лемма 2
Если числа a и b взаимно просты, то НОД([latex]2^{a}+1[/latex], [latex]2^{b}+1[/latex])=1,
либо НОД([latex]2^{a}+1[/latex], [latex]2^{b}+1[/latex])=3
(причем второй случай имеет место тогда и только тогда, когда [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] нечетны).
Третье решение
Имеем:[latex]2^{p}+1[/latex] делится на [latex]q[/latex]; [latex]2^{q-1}-1[/latex], по малой теореме Ферма, также делится на [latex]q[/latex]. Следовательно, и [latex]2^{p-q+1}+1[/latex] делится на [latex]q[/latex] — в противоречии с леммой 2.
Замечание.
Лемма 2 является частным случаем следующего несложного утверждения. Пусть НОД([latex]m[/latex],[latex]n[/latex])=1, НОД([latex]a[/latex],[latex]b[/latex])=[latex]d[/latex], НОД([latex]m^{a}+n^{a}[/latex], [latex]m^{b}+n^{b}[/latex])=[latex]d_{1}[/latex]. Тогда [latex]d_{1}=m^{d}+n^{d}[/latex], если числа [latex]\frac{a}{d}[/latex] и [latex]\frac{b}{d}[/latex] оба нечетны; [latex]d_{1}=1[/latex] либо [latex]d_{1}=2[/latex] в противном случае (а именно: [latex]d_{1}=1[/latex], если [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] разной четности; [latex]d_{1}=2[/latex], если [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex] нечетны).