Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция)

Определение

Эйлеровым интегралом первого рода (бета-функцией) называется функция вида
$$B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha-1}\cdot(1-x)^{\beta-1}\; \; dx.\; \; (1)$$
График бета-функции можно посмотреть здесь.

Теорема (о свойствах интеграла первого рода)

Бета-функция имеет следующие свойства:

1. Область определения

   Для сходимости интеграла $(1)$ при $x=0$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее: $\alpha>0$, а для сходимости интеграла при $x=1$ необходимо и достаточно, чтобы $\beta>0$.

2. Симметричность

   $$B(\alpha , \beta )=B(\beta , \alpha ).$$
   

   Доказательство

   $B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta -1}\; \; dx=$
   $=\begin{bmatrix}x=1-t & x=0 & t=1 \\ \; \; dx=-\; dt & x=1 & t=0 \end{bmatrix}=$
   $=-\overset {0}{ \underset {1}{\int}}(1-t)^{\alpha -1}\cdot (\not{1}-\not{1}+t)^{\beta -1}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\beta -1}\cdot (1-t)^{\alpha -1}\; dt=$
   $=B(\beta,\alpha).$

   [свернуть]

3. Формула понижения

   При $\alpha >1$
   $$B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -1}\cdot B(\alpha-1,\beta).$$
   

   Доказательство

   $B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta -1}\; \; dx=$
   $=\begin{bmatrix}u=x^{\alpha -1} & dv=(1-x)^{\beta -1}\; \; dx \\ \; du=(\alpha -1)\cdot x^{\alpha -2}& v=\frac{(1- x)^{\beta }}{-\beta }\end{bmatrix}=$
   $=\left.-\frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta }}{\beta }\right|^{\infty}_{0}+\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -2}\cdot (1-x)^{\beta}\; \; dx=$
   $=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -2}\cdot( (1-x)^{\beta-1}\cdot (1-x))\; d\beta=$
   $=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -2}\cdot( (1-x)^{\beta-1}-x\cdot (1-x)^{\beta -1})\; d\beta=$
   $=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot(B(\alpha-1,\beta)-B(\alpha,\beta));$
   $B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha-1,\beta)- \frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha,\beta));$
   $B(\alpha,\beta)(1+\frac{\alpha -1}{\beta })=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha-1,\beta);$
   $B(\alpha,\beta)(\frac{\beta +\alpha -1}{\beta })=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha-1,\beta);$
   $B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\not{\beta}}\cdot\frac{\not{\beta}}{\beta +\alpha -1}\cdot B(\alpha-1,\beta)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -1}\cdot B(\alpha-1,\beta).$

   [свернуть]

4. Интегральное представление бета-функции

   Интегральным представлением бета-функции называется функция вида
   $$B(\alpha,\beta)= \overset {\infty}{\underset{0}{\int}}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha +\beta }}\; dy.$$
   

   Доказательство

   $B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta -1}\; dx=$
   $=\begin{bmatrix}x=\frac{y}{1+y} \; \; \; \; \; dx=\frac{1+\not{y}-\not{y}}{(1+y)^{2}}\; dy=\frac{1}{(1+y)^{2}}\; dy\\1-x=1-\frac{y}{1+y}=\frac{1+\not{y}-\not{y}}{(1+y)}\; dy=\frac{1}{(1+y)} \; \; \; \\ x=0 \; \; \; y=0\\ x=1\; \; \; x=\frac{y}{1+y}-1=0 \; \; \; y \to \infty \; \; \; \frac{1}{(1+y)}=0 \end{bmatrix}=$
   $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}(\frac{y}{1+y})^{\alpha -1}\cdot (\frac{1}{(1+y)})^{\beta -1} \frac{\; dy}{(1+y)^{2}}= \overset{\infty}{\underset{0}{\int}}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha-1+\beta-1+2}}\; dy=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha +\beta}}\; dy.$

   [свернуть]

Примеры

• Пример 1

  $\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{y^{-\frac{1}{2}}}{1+y}\; dy=$ $\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\; dy}{\sqrt{y}\cdot(1+y)}=$ $\begin{bmatrix} y=z^{2} \end{bmatrix}=$ $\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{2\cdot \not{z}\; dz}{\not{z}(1+z^{2})}=$ $2\cdot \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\; dz}{1+z^{2}}=$ $=2\cdot \left.\arctan z\right|^{\infty}_{0}=$ $2\cdot \frac{\pi }{2}=$ $\pi.$

  [свернуть]
• Пример 2

  $I=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{p-1}\cdot (1-x^{m})^{q-1}\; \; dx\; \; p,q,m> 0$
  $I=\begin{bmatrix}x^{m}=t & x=\sqrt[m]{t}=t^{\frac{1}{m}} & x=0 & t=0 \\ &\; \; dx=\frac{1}{m}\cdot t^{\frac{1}{m}-1}\; dt & x=1 & t=1 \\ \end{bmatrix}=$
  $=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(t^{\frac{1}{m}})^{p-1}\cdot (1-t)^{q-1}\cdot \frac{1}{m}\cdot t^{\frac{1}{m}-1}\; dt=$
  $=\frac{1}{m}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{p-1+1-m}{m}}\cdot (1-t)^{q-1}\; dt=$
  $=\frac{1}{m}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{p}{m}-1}\cdot (1-t)^{q-1}\; dt=\frac{1}{m} \cdot B(\frac{p}{m};q).$

  [свернуть]
• Пример 3

  $B(\frac{1}{2};\frac{1}{2})=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{1}{2}-1}\cdot (1-t)^{\frac{1}{2}-1}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\frac{\; dt}{\sqrt{t}\cdot \sqrt{1-t}}=$
  $=\begin{bmatrix} t=\cos^{2}\varphi\; \; \; \sqrt{\cos^{2}\varphi}=\cos\varphi & \sqrt{1-\cos^{2}\varphi}= \\ dt=2\cdot \cos\varphi\cdot(-\sin \varphi )\; \; d\varphi & =\sqrt{\sin^{2}\varphi}=\sin \varphi\\ t=0 & \varphi =\frac{\pi }{2} & \\ t=1& \varphi =0\end{bmatrix}=$
  $=-\overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}\frac{2\cdot \not{\cos \varphi}\cdot \not{\sin\varphi}d\varphi}{\not{\cos \varphi}\cdot \not{\sin\varphi}}=2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \; d\varphi =\not{2}\cdot\frac{\pi }{\not{2}}=\pi.$

  [свернуть]
• Пример 4

  $B(1,b)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{1-1}\cdot (1-t)^{b-1}\; dt=$
  $=\begin{bmatrix} t=\cos ^{2}\varphi & \; dt=2\cdot \cos \varphi\cdot (-\sin \varphi)\; \; d\varphi \\ t=0 &\varphi=\frac{\pi}{2} \\ t=1 & \varphi=0 \end{bmatrix}=$ $=\overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}(\sin^{2}\varphi)^{b-1}\cdot 2\cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi \; d\varphi=$
  $=2\cdot \overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}\sin ^{2\cdot b-2}\varphi \cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi \; d\varphi=$
  $=2\cdot \overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}\sin ^{2\cdot b-1}\varphi \cdot \cos \varphi \; d\varphi=$ $\begin{bmatrix}t=\sin \varphi & \; dt=\cos \varphi \; \; d\varphi \\ \varphi=0 & t=0 \\ \varphi=\frac{\pi }{2} & t=1 \end{bmatrix}=$
  $=2\cdot \overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}t^{2\cdot b-1}\; dt =\not{2}\cdot \left.\frac{t^{2\cdot b}}{\not{2}\cdot b}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{b}-0=\frac{1}{b}.$

  [свернуть]

Тесты на проверку усвоенного материала по бета-функции Эйлера

Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
Информация
Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по бета-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
1. Математический анализ 0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
Имя: E-Mail:
Капча:
максимум из 20 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
1. С ответом
2. С отметкой о просмотре
1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3
   Рубрика: Математический анализ

   Как называется равенство вида $B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -1}\cdot B(\alpha-1,\beta)$ ?

   • Данное равенство называется формулой (понижения).
   Правильно
   

   Указанное равенство возможно только при $\alpha >1$

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3
   Рубрика: Математический анализ

   Запишите выражение, пропущенное в формуле бета-функции: $B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha-1}\cdot(…)^{\beta-1}\; \; dx.$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Выражение 1-х  является пропущенным в формуле бета-функции.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Математический анализ

   Определите, чему равняется $B(m,n)$.

   • $$\frac{m!\cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}$$
   • $$\frac{(m-1)!\cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}$$
   • $$\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot n!}$$
   • $$\frac{(m-1)!\cdot (n)!}{(m+n-1)!}$$
   • $$\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\cdot (n-1)!}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Из данного списка выберите функции, которые определяют бета-функцию.

   • $$\overset {\infty}{\underset{0}{\int}}x^{a-1}\cdot (1-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}(x-1)^{a-1}\cdot (1-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}x^{a}\cdot (1-x)^{b}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}x^{a-1}\cdot (1-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {\infty}{\underset{0}{\int}}x^{a-1}\cdot (-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}(x-1)^{a-1}\cdot (-x)^{b-1}\; dx$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Образуйте соответствие между равными значениями.

   Элементы сортировки

   • $$B(7,3)$$
   • $$B(9,4)$$
   • $$B(3,2)$$

   • $$B(3,7)$$

   • $$B(4,9)$$

   • $$B(2,3)$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Для ответа на данный вопрос используйте свойство симметричности.

Эйлеров интеграл второго рода (гамма-функция)

Определение

$$\Gamma(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; dx.\; (2)$$
Функция, определённая интегралом $(2)$, называется эйлеровым интегралом второго рода (гамма-функция).

График гамма-функции

Графическое изображение интеграла второго рода

Теорема (о свойствах гамма-функции Эйлера)

Гамма-функция имеет следующие свойства:

1. Область определения

   Для сходимости интеграла $(2)$ в нуле требуется, чтобы выполнялось условие $\alpha > 0$. На бесконечности интеграл $(2)$ сходится при
   любом $\alpha \in R$, так как множитель $e^{-x}$ убывает на бесконечности быстрее любой степени переменной $x$.
   Таким образом, функция $(2)$ определена при $\alpha > 0$.

2. Формула для производных гамма-функции

   Производная гамма-функции Эйлера определяется формулой
   $$\Gamma^{n}(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}e^{-x}\ln ^{n}x\; \; dx.\; (3)$$
   

   Доказательство

   При получении формулы $(3)$ было проведено дифференцирование гамма-функции Эйлера $(2)$, для чего операция дифференцирования была внесена под знак интеграла:
   ${\Gamma}'(\alpha )=\frac{d}{d\alpha } \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{d}{d\alpha }\cdot x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx=$
   $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln x\; \; dx,$
   ${\Gamma}»(\alpha )=\frac{d}{d\alpha } \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln x\; \; dx= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x} \ln ^{2}x\; \; dx,…\; .$
   Для законности этой операции необходимо доказать равномерную сходимость относительно параметра $\alpha$ интеграла $(3)$ при $n\in N$
   на каждом отрезке $[a;b] \in (0;+\infty)$.
   Если $0<a\leq \alpha$, то т.к $x^{\frac{\alpha }{2}}\cdot \ln ^{n}x \to 0$ при $x \to 0$ найдётся такое число
   $c_{n}>0$, что
   $$\begin{vmatrix}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln^{n}x \end{vmatrix}<x^{\frac{\alpha }{2}-1}$$
   при $0<x\leq c_{n}$.
   На основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл $\int_{0}^{c_{n}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{n}x\; \; dx$
   сходится равномерно по $\alpha$ на промежутке $[a;+\infty]$.
   Если $\alpha\leq b<+\infty$, то при $x\geq 1$
   $$\begin{vmatrix}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x}\cdot \ln^{n}x\end{vmatrix}\leq x^{b-1}\cdot e^{-x}\cdot \begin{vmatrix}\ln ^{n}x\end{vmatrix}.$$
   На основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл $\int_{c_{n}}^{+\infty}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{n}x\; \; dx$
   сходится равномерно по $\alpha$ на промежутке $(0;b)$.Таким образом,интеграл $(3)$ сходится равномерно по $\alpha$ на любом
   отрезке $[a;b] \in (0;+\infty)$. А это означает, что дифференцирование под знаком интеграла законно.
   Следовательно, на всём промежутке$\alpha >0$ гамма-функция бесконечно дифференцируема и для неё справедлива формула $(3)$.

   [свернуть]

3. Формула понижения

   Соотношение вида
   $$\Gamma(\alpha +1)=\alpha \cdot \Gamma(\alpha )$$
   называется формулой понижения для гамма-функции Эйлера.
   

   Доказательство

   $\Gamma(\alpha +1)= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha}\cdot e^{-x}\; \; dx=\begin{bmatrix} u=x^{\alpha } \; \; \; dv=e^{-x}\; \; dx\\ \; du=\alpha \cdot x^{\alpha -1}\; \; dx \; \; \; v=-e^{-x} \end{bmatrix}=$
   $=\left.\begin{matrix}x^{\alpha}\cdot e^{-x}\end{matrix}\right|^{\infty}_{0} + \alpha \cdot \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}e^{-x}\; \; dx=\alpha \cdot \Gamma(\alpha ).$
   Замечание
   $\Gamma(1)= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}e^{-x}\; \; dx=1$. Из этого свойства гамма-функции вытекает, что при $n \in N$:
   $\Gamma(n)=n\cdot \Gamma(n)=n\cdot (n-1)\cdot \Gamma(n-1)=$ $=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \Gamma(n-2)=…=$ $=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot…\cdot 1=n!\; .$
   То есть $\Gamma(n)=n! \;$.

   [свернуть]

4. Формула Эйлера-Гаусса

   Равенство вида
   $$\Gamma(\alpha )=\lim_{n \to \infty}n^{\alpha }\cdot \frac{(n-1)!}{\alpha \cdot (\alpha +1)\cdot …(\alpha +n-1)}$$
   называется формулой Эйлера-Гаусса.
   

   Доказательство

   В интеграле $\Gamma(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx$ проделаем замену.
   $\Gamma(\alpha )=\begin{bmatrix}x=\ln \frac{1}{u} \; \; \; \; \; dx=\frac{1}{\frac{1}{u}}\cdot ({\frac{1}{u}})’=u\cdot (-\frac{1}{u^{2}})=-\frac{1}{u}\; du \\ x=0\; \; \; \ln \frac{1}{u}=0 \; \; \; u=1 \\ x=\infty\; \; \; \ln \frac{1}{u}=\infty \; \; \; u=0 \end{bmatrix}=$
   $=\overset {0}{ \underset {1}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot e^{\ln(\frac{1}{u})^{-1}}d(-\frac{1}{u})\; du=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot(\frac{1}{u})^{-1}\cdot(\frac{1}{u})\; du=$
   $=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha -1}\cdot\not{u}\cdot \frac{1}{\not{u}}\; du= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\; du.\; (4)$
   Формула $(4)$ является иным интегральным представлением гамма-функции Эйлера. Используем соотношение:
   $$\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot (\frac{1}{u})\; du=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-u^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\; du.\;$$
   Проделаем замену переменной $u=v^{n}$.
   $\Gamma(\alpha )=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-(v^{n})^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\cdot n\cdot v^{n-1}dv=$
   $=\begin{bmatrix}\; du=n\cdot v^{n-1}dv\end{bmatrix}=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-v)^{\alpha -1}\cdot v^{n-1}dv=$
   $=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(n,\alpha )=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(\alpha,n)=$
   $=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot\frac{(n-1)!}{\alpha \cdot (\alpha +1)\cdot …\cdot (\alpha +n-1)}.$

   [свернуть]

5. Связь между бета- и гамма-функцией

   Связь бета- и гамма-функции определяется формулой
   $$B(\alpha ,\beta )=\frac{\Gamma(\alpha )\cdot \Gamma(\beta )}{\Gamma(\alpha +\beta )}.$$
   

   Доказательство

   Используем интегральное представление бета-функции. Для этого проведём замену переменной
   $B(x ,y )=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}\; dt=\begin{bmatrix}t=\frac{\tau }{1+\tau } \end{bmatrix}=$
   $=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\tau ^{x-1}}{(1+\tau )^{x-1}}\cdot (\frac{1}{1+\tau })^{y-1}\frac{\; d\tau }{(1+\tau )^{2}}=\begin{bmatrix}\; dt=\frac{1+\tau- \tau }{(1+\tau )^{2}\; d\tau }\end{bmatrix}=$ $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\tau ^{x-1}}{(1+\tau )^{x+y}}\; d\tau.$
   В интегральном представлении гамма-функции также проведём замену переменной:
   $\Gamma(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx=\begin{bmatrix}x=s\cdot u & \; \; dx=u\; \; ds\end{bmatrix}=$
   $=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}(s\cdot u)^{\alpha-1}\cdot e^{-s\cdot u}\cdot u\; \; ds=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}s^{\alpha-1}\cdot u^{\alpha}\cdot e^{-s\cdot u}\; \; ds.$
   Откуда
   $$\frac{\Gamma(\alpha )}{u^{\alpha }}= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{\alpha -1}\cdot e^{-s\cdot u}\; \; ds.\; (5)$$
   Положим в формуле $(5)\; \alpha =x+y,u=1+\tau$:
   $$\frac{\Gamma(x+y)}{(1+\tau )^{x+y}}= \overset {\infty}{\underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\cdot e^{-s\cdot (1+\tau )}\; \; ds.$$
   Умножим обе части полученного равенства на $\tau ^{x-1}$ и проинтегрируем на промежутке$\tau \in (0;+\infty)$:
   $\Gamma(x+y)\cdot \overset{\infty}{\underset {0}{\int}}(1+\tau)^{-x-y}\cdot \tau ^{x-1}\; d\tau=$
   $=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}\tau^{x-1}\int_{o}^{\infty}s^{x+y-1}\cdot e^{-s\cdot (1+\tau )}\; \; ds\; d\tau.$
   Подсчитаем интеграл в правой части полученного соотношения:
   $\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\tau ^{x-1}\cdot e^{-s\cdot (1+\tau )}\; d\tau=$
   $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\cdot e^{-s}\; \; ds\cdot \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\tau ^{x-1}\cdot e^{-s\cdot t}\; d\tau=$
   $=\begin{bmatrix}t=s\cdot \tau & \tau =\frac{t}{s} &\; dt=s\; d\tau \end{bmatrix}=$
   $=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\cdot e^{-s}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{t^{x-1}}{s^{x-1}}\cdot e^{-t}\frac{\; dt}{s}=$
   $=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\not{s^{x+y-1}}\cdot e^{-s}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{t^{x-1}\cdot e^{-t}}{\not{s}}\; dt=\overset {\infty}{\underset {0}{\int}}s^{y-1}\cdot e^{-s}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}t^{x-1}\cdot e^{-t}\; dt=$
   $=\Gamma(y)\cdot \Gamma(x); \; \Gamma(x+y)\cdot B(x,y)=\Gamma(y)\cdot \Gamma(x).$
   $B(x,y)=\frac{\Gamma(y)\cdot \Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}.$

   [свернуть]

Примеры

• Пример 1

  $\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\ln ^{p}\frac{1}{x}\; \; dx=\begin{bmatrix}\frac{1}{x}=e^{t} & x=e^{-t}& x=1 & t=\infty \\ \; \; dx=-e^{-t}\; dt& x=0 & t=\infty \end{bmatrix}=$
  $=-\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\ln ^{p}(e^{t})\cdot e^{-t}\; dt= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\ln^{p}(e^{t})\; dt}{e^{t}}= \overset {\infty}{ \underset{0}{\int}}\frac{(\ln e^{t})^{p}\; dt}{e^{t}}=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}t^{p}\cdot e^{-p}\; dt=$ $=\Gamma (p+1).$

  [свернуть]
• Пример 2

  $\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\sqrt{t-t^{2}}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\sqrt{t\cdot (1-t)}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{1}{2}}\cdot (1-t)^{\frac{1}{2}}\; dt=$
  $=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{3}{2}-1}\cdot (1-t)^{\frac{3}{2}-1}\; dt=B(\frac{3}{2};\frac{3}{2})=\frac{\Gamma (\frac{3}{2})\cdot \Gamma (\frac{3}{2}) }{\Gamma (\frac{3}{2}+\frac{3}{2})}=\frac{(\Gamma (1+\frac{1}{2}))^{2}}{\Gamma(3)}=$
  $=\begin{bmatrix}\Gamma (3)=2 \\ \Gamma (\frac{1}{2})= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}t^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-t}\; dt=\sqrt{\pi }\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2}\cdot \Gamma (\frac{1}{2}))^{2}=$
  $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \pi =\frac{\pi }{8}.$

  [свернуть]

Тесты на проверку усвоенного материала по гамма-функции Эйлера

Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
Информация
Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по гамма-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
1. Математический анализ 0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
Имя: E-Mail:
Капча:
максимум из 20 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
1. С ответом
2. С отметкой о просмотре
1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Расставьте ниже приведенные выражения в таком порядке, чтобы в результате получился правильный процесс замены переменной $u=v^{n}$ в соотношении $\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot (\frac{1}{u})\; du=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-u^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\; du.\;$.

   • $$\Gamma(\alpha )=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-(v^{n})^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\cdot n\cdot v^{n-1}dv=$$
   • $$=\begin{bmatrix}\; du=n\cdot v^{n-1}dv\end{bmatrix}=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-v)^{\alpha -1}\cdot v^{n-1}dv=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(n,\alpha )=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(\alpha,n)=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot\frac{(n-1)!}{\alpha \cdot (\alpha +1)\cdot ...\cdot (\alpha +n-1)}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Совместите функции с соответствующими производными.

   Элементы сортировки

   • $$\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{2}x\; dx$$
   • $$\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{3}x\; dx$$
   • $$\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{5}x\; dx$$

   • $${\Gamma}'' {(\alpha)}$$

   • $${\Gamma}''' {(\alpha)}$$

   • $${\Gamma}''''' {(\alpha)}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

   ${\Gamma}» {(\alpha)}= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{2}x\; dx$

   ${\Gamma}»’= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{3}x\; dx{(\alpha)}$

   ${\Gamma}»»’ {(\alpha)}= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{5}x\; dx$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   Дополните формулировку одного из свойств гамма-функции:
   Формулой $$\Gamma^{n}(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}e^{-x}\ln ^{n}x\; dx$$ определяется

   • (Производная) гамма-функции Эйлера.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Математический анализ

   Определите, чему равно $$\Gamma (6).$$

   • $$\Gamma (\frac{1}{6})$$
   • $$3\cdot \Gamma (2)$$
   • $$5\cdot \Gamma (6)$$
   • $$6 \cdot \Gamma (6)$$
   • $$6\cdot \Gamma (5)$$
   • $$5\cdot \Gamma (5)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Используя формулу понижения, в результате получаем $5\cdot \Gamma (5)$
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Математический анализ

   Определите, чему равно $\Gamma (\frac{1}{2})$.

   • $$\sqrt{\pi }$$
   • $$\pi$$
   • $$2\cdot \pi$$
   • $$\frac{1}{4}$$
   • $$\frac{1}{4}\cdot \Gamma (\frac{1}{2})$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, М.: Физмалит, 2001г., том 2, стр.750
• Зорич В.А. Математический анализ, М.: Фазис, 1984г., том 2, стр.431
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, М.: Дрофа, 2003г., том 2, стр.684