Processing math: 100%

Автор: Евгений Фищук

Векторное произведение векторов, свойства, координатное представление

Векторное произведение векторов

Определение. Если наблюдатель, идя против часовой стрелке сначала встречает вектор →c, затем встречает вектор →a, затем вектор →b, то тройка векторов {→a,→b,→c} называется правой (рис. 1), если же наблюдатель шел по часовой стрелке и встретил вектора в той же последовательности, то тогда тройка векторов {→a,→b,→c} называется левой.

Определение с использованием руки (мнемоническое правило). Если обозначить указательный палец как →a, средний палец как →b, а большой палец как их произведение, т.е. →c, то расположение пальцев на правой руке является правой тройкой векторов, а на левой руке левой тройкой векторов.

На рисунке 1 показано как будет выглядеть правая тройка векторов.

рис. 1

Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов →a и →b называется вектор →c, такой, что

  1. |→c|=|→a|⋅|→b|⋅sinφ, где φ — угол между векторами →a и →b;
  2. Вектор →c ортогонален вектору →a и вектору →b;
  3. Тройка векторов {→a,→b,→c} правая.

Векторное произведение →a и →b обозначается как [→a,→b].

Свойства векторного произведения

  • [→a,→b]=−[→b,→a] (антикоммутативность).

    Смотря на определение видно, что произведения →a×→b и →b×→a имеют одинаковую длину. Так же они имеют противоположное направление из-за того, что sinφ нечетен.

  • [λ→a,→b]=λ[→a,→b] (ассоциативность).

    Докажем данное св-во для случая λ>0, а для λ<0, доказательство проводится аналогично. Легко заметить, что при λ>0 вектор λ(→a×→b) имеет то же направление, что и →a×→b (обратное при λ<0). Теперь нам надо доказать равенство длин этих произведений. |(→a×→b)|=|λ|⋅|→a×→b|=λ⋅|→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b),

    |(λ→a)×→b|=|λ→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b)=λ|→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b).

  • →a×(→b+→c)=→a×→b+→a×→c (дистрибутивность).
  • Условие коллинеарности векторов.

    Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. →a‖→b,|→a|≠0,|→b|≠0⟺→a×→b=→0.

    Необходимость. Очевидно, что если вектора →a и →b коллинеарны, то синус угла между ними равен нулю, отсюда видим, что по определению, векторное произведение равно нулю.
    Достаточность. Теперь докажем в обратную сторону: если →a×→b=→0, то |→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b)=0⇒ один из сомножителей равен нулю. Так как ни один из векторов не равен нулю, то sin(→a;→b)=0, т.е. либо ^(→a;→b)=0, либо ^(→a;→b)=π и значит →a‖→b.

    Следствие: векторный квадрат равен нулевому вектору.

  • Геометрический смысл векторного произведения.

    Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на перемножаемых векторах (рис. 2).

    Если посмотреть векторного произведения |→a×→b|=|→a|⋅|→b|⋅sin(→a;→b), то мы видим общеизвестную формулу площади параллелограмма со сторонами, длины которых равны |→a| и |→b|.

    рис. 2

Координатное представление векторного произведения

Для того, чтобы выразить результат векторного произведения векторов →a=(ax,ay,az) и →b=(bx,by,bz) в координатах надо сначала найти все парные векторные произведения единичных векторов →i,→j,→k. →i×→i=→j×→j=→k×→k=0,

→i×→j=→k,→j×→k=→i,→k×→i=→j,
→j×→i=−→k,→k×→j=−→i,→i×→k=−→j.
→a×→b=(ax⋅→i+ay⋅→j+az⋅→k)×(bx⋅→i+by⋅→j+bz⋅→k)=
=axby⋅→i×→j+axbz⋅→i×→k+aybx⋅→j×→i+aybz⋅→j×→k+azbx⋅→k×→i+
+azby⋅→k×→j=axby⋅→k—axbz⋅→j—aybx⋅→k+aybz⋅→i+azbx⋅→j—
−azbv⋅→i=(aybz—azby)→i—(axbz—azbx)→j+(axby—aybx)→k.

Легко заметить, что разности, стоящие в скобочках, равны определителям второго порядка. →a×→b=|ayazbybz|⋅→i—|axazbxbz|⋅→j+|axaybxby|⋅→k.
Итак, видим, что справа от знака равно записано разложение определителя третьего порядка по первой строке. →a×→b=|→i→j→kaxayazbxbybz|.
То есть →c=(|ayazbybz|,—|axazbxbz|,|axaybxby|).

Примеры решения задач

  1. Найти модуль векторного произведения векторов →a=(0,3,4) и →b=(5,12,0),φ=π3.
    Решение

  2. Найти координаты вектора →c, который является результатом векторного произведения векторов →a=(1,−2,3) и →b=(3,4,6).
    Решение
  3. Найти длины и координаты всех векторов получившихся в результате векторного умножения векторов →a=(2,3,4),→b=(−1,3,−7),→c=(0,0,3) зная, что sin(→a,→b)=12,sin(→a,→c)=13,sin(→b,→c)=56.
    Решение
  4. Найти площадь треугольника, у которого заданы координаты его вершин. A=(1,2,3),B=(5,11−2),C=(3,−6,4).
    Решение
  5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a=(1,−3,4),→AB, если A=(3,8,6),B=(2,4,−7) и угол между ними равен φ=π6.
    Решение

Список литературы

  1. Ефимов Н.В.: Краткий курс аналитической геометрии, стр. 154-163
  2. Постников М.М. Аналитическая геометрия, стр 133-134
  3. Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С.

Векторное произведение векторов

Тест для проверки знаний по теме «Векторное произведение векторов»

М1827. Доказать, что прямая проходит через центр окружности

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 4 выпуск)

Условие

Пусть Q — произвольная точка окружности с диаметром AB,QH — перпендикуляр, опущенный на AB. Точки C и М — это точки пересечения окружности с центром Q и радиусом QH с первой окружностью.

Докажите, что прямая CM делит радиус QH пополам (рис.1).

рис. 1

Проведем прямые CH и MH до пересечения с окружностью в точках F и R соответственно (рис.2). Тогда ∠MCF=12∪MF=∠MRF и ∠MCF=∠MHA, так как AH — касательная; значит, ∠RHB=∠HRF, или AB‖FR. В ΔHRW угол ∠HWR=12∪QR=∠QMH, но ∠QMH=∠QHM(MQ=QH), т.е. ΔHRW — равнобедренный и RI — высота в ΔHRW(I=HW∩RF). Получим, что HI=IW,QH=HW. Пользуясь результатом задачи «Проблема бабочки», видим, что IH=HL=IW=LQ, что и требовалось доказать. (О «бабочках» см., например, книгу: Г.С.Коксетер, С.Л.Грейтцер «Новые встречи с геометрией» (стр. 59-60)).

рис. 2

В.Дубов

М1812. Доказать тождество

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 2 выпуск)

Условие

Натуральные числа а, b и с таковы, что НОД(a2−1,b2−1,c2−1)=1.

Докажите, что НОД(ab+c,bc+a,ca+b)=НОД(a,b,c) (НОД – наибольший общий делитель).

Рассмотрим произвольное простое число р и докажем, что оно входит в НОД(a2−1,b2−1,c2−1) и НОД(a,b,c) в равной степени. Заметим, что если НОД(a,b,c)⋮p, то степень вхождения р в оба НОДа равна наименьшей степени вхождения р в числа a,b,c (если НОД(a,b,c)⋮pk, но c не делится на pk+1, то ab+c делится на pk, но не делится на pk+1). Поэтому достаточно доказать, что любой простой делитель q числа НОД(ab+c,bc+a,ca+b) делит НОД(a,b,c). Пусть, скажем, а не делится на q, тогда, поскольку bc+a не делится на q, получаем, что b не делится на q и с не делится на q. Тогда (ab+c)(bc+a)—a(ab+c)—c(bc+a)=ac(b2−1)⋮q.
Стало быть, (b2−1)⋮q. Аналогично, (a2−1)⋮q и (c2−1)⋮q – это уже противоречие с тем, что НОД(a2−1,b2−1,c2−1)=1. Значит, НОД(ab+c,bc+a,ca+b)=НОД(a,b,c).

А.Голованов