Даны пространства , заданные следующим образом ,
Докажем, что
Если , то (по второму критерию прямой суммы)
Предположим, что существует ненулевой вектор удовлетворяющий условиям и , то есть
Так как , то одна из его координат отлична от нуля, а из первого условия следует, что и все координаты ненулевые.
Положим и используя второе условие получим, что , и так как получим противоречие с тем, что .
Найдем размерности и .
Очевидно, что и ее базисом может быть вектор (ЛНЗ тривиальна, полнота очевидна)
Теперь докажем, что система из векторов базис . Очевидно что она ЛНЗ, т.к.
Теперь проверим полноту системы. Покажем, что для выполняется условие .
Составим линейную комбинацию: любой вектор из выражается через эту систему.
Следовательно базис и . Из формулы получаем, что т.к. , то .
Докажем, что
Теперь докажем, что система из векторов .
Покажем, что на на .
Из формулы получаем, что , так как , то .
Так как сумма прямая, то по первому критерию объединение базисов суммируемых пространств: есть базис суммы этих пространств .
Дано пространство натянутое на вектора то есть
Найдем какое-либо дополнение к в .
Проверим ЛНЗ и . — базис . удовлетворяет условию .
Из первого критерия прямой суммы получаем, что объединение базисов и образуют базис . Так как и . Найдем какой-либо базис . Дополним для этого систему из векторов до базиса векторами стандартного базиса в .
Зафиксируем в полученной системе вектора , и выделим из этой системы ЛНЗ систему, содержащую эти вектора -ЛНЗ,
так как эта система максимальна, она и образует базис .
Отсюда и из рассуждения в начале получаем, что одно из прямых дополнений к .
Перестановка, содержащая четное количество инверсий, называется четной, в противном случае — нечетной.
Лемма. Если в перестановке длинны больше , поменять местами элемента , то четность поменяется на противоположную. Доказательство:
Докажем, что всякая транспозиция меняет четность перестановки. Для чисел, стоящих рядом, это утверждение очевидно. Их взаимное расположение относительно других чисел осталось прежним, а перестановка самих чисел меняет общее число инверсий на единицу.
Пусть теперь между переставляемыми числами и находятся других чисел , т. е. перестановка имеет вид .
Будем менять местами число последовательно с рядом стоящими числами . Затем число , стоящее уже перед , переместим влево при помощи транспозиций с числами . Таким образом, всего мы выполним транспозиций рядом стоящих чисел. Следовательно, четность перестановки изменится.
Лемма доказана.
Пример четной перестановки
Данная перестановка является четной, так как содержит 2 инверсии, числа 3 и 2, 6 и 5 образуют инверсии.
Пример нечетной перестановки
Данная перестановка является нечетной, так как содержит 3 инверсии, числа 2 и 1, 5 и 4, 7 и 6 образуют инверсии.
Транспозиция меняет четность. Лемма. Все -перестановок длины можно расположить одну за другой таким образом, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией. Причем можно начинать такое упорядочивание с любой перестановки.
Следствие. При число четных перестановок из символов равно числу нечетных, т.е. .
Литература
Белозёров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
Курош А.Г. Курс высшей алгебры 431 стр. М.: Наука, 1968, Стр. 28-30