Задача из журнала «Квант» (1994, №1)

Условие задачи:

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$. Известно, что равны отношения величин углов: $\dfrac{\angle CDE}{\angle BDE} = \dfrac{\angle CED}{\angle AED}.$
Верно ли, что треугольник $ABC$ равнобедренный, если $AE$ и $BD$

1. медианы
2. высоты
3. биссектрисы этого треугольника?

Решение:

Ответ во всех трех случаях положителен.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ABE$ — с общим основанием $AB$ и равными высотами: если, например угол $A$ в $ABD$ больше угла $B$ в $ABE$, то угол $DBA$ (в треугольнике $DBA$ ) меньше угла $EAB$ (в треугольнике $EAB$ ). Значит, если $\angle CDE > \angle CED$, то $\angle BDE < \angle AED$ — и равенство задачи невозможно.
   Замечание. Из приведенного рассуждения следует, что в любом треугольнике к большей стороне проведена меньшая медиана.
2. Из условий следует, что треугольник $ABC$ остроугольный.
   Поскольку $\dfrac{{\alpha }_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\alpha }_{1}} = \dfrac{{\beta}_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\beta}_{1}}$, то ${\alpha }_{1}={\beta}_{1}.$
   Значит, $CD=CE, \Delta CDB=\Delta CEA, CB=CA.$
   Можно рассуждать и по-другому. Опишем около четырехугольника $CDEO$, где $O$ — точка пересечения $AE$ и $BD$, окружность. Из равенства условия следует, что точка $D$ делит полуокружность $CDO$ в том же отношении,
   
   что точка $E$ — полуокружность $CEO$. Значит, $DO=OE, \angle DCO = \angle ECO.$ Следовательно, $\angle CAB = \angle CBA.$
3. Обозначим $k=\dfrac {{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}$ (см.рисунок). Имеем:

   ${\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=\pi — \gamma;, {\alpha }_{2}+{\beta}_{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\gamma}{2}.$
   Получили: ${\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=2({\alpha }_{2}+{\beta}_{2})=k{\alpha }_{2}+{\beta}_{2})$. Отсюда $k=2.$
   Пусть биссектрисы углов $CDE$ и $CED$ пересекаются в точке ${O}_{1}$. Так как $\angle {O}_{1}DE={\alpha}_{2}, \angle {O}_{1}ED={\beta}_{2}$, то $O{O}_{1} \perp DE$. С другой стороны точки $O$ и ${O}_{1}$ лежат на биссектрисе угла $C$. Значит, в треугольнике $CDE$ биссектриса угла $C$ совпадает с высотой, ${\alpha }_{1}={\beta}_{1}, \angle CAE=\angle CBD$, т.е. $\angle A = \angle B.$

В.Сендеров