M1417. Условия равнобедренности треугольника

Задача из журнала «Квант» (1994, №1)

Условие задачи:

На сторонах [latex]AC[/latex] и [latex]BC[/latex] треугольника [latex]ABC[/latex] выбраны точки [latex]D[/latex] и [latex]E[/latex]. Известно, что равны отношения величин углов: [latex]\dfrac{\angle CDE}{\angle BDE} = \dfrac{\angle CED}{\angle AED}.[/latex]
Верно ли, что треугольник [latex]ABC[/latex] равнобедренный, если [latex]AE[/latex] и [latex]BD[/latex]

  1. медианы
  2. высоты
  3. биссектрисы этого треугольника?

Решение:

Ответ во всех трех случаях положителен.

  1. Рассмотрим треугольники [latex]ABC[/latex] и [latex]ABE[/latex] — с общим основанием [latex]AB[/latex] и равными высотами: если, например угол [latex]A[/latex] в [latex]ABD[/latex] больше угла [latex]B[/latex] в [latex]ABE[/latex], то угол [latex]DBA[/latex] (в треугольнике [latex]DBA[/latex] ) меньше угла [latex]EAB[/latex] (в треугольнике [latex]EAB[/latex] ). Значит, если [latex]\angle CDE > \angle CED[/latex], то [latex]\angle BDE < \angle AED[/latex] — и равенство задачи невозможно.
    Замечание. Из приведенного рассуждения следует, что в любом треугольнике к большей стороне проведена меньшая медиана.
  2. Из условий следует, что треугольник [latex]ABC[/latex] остроугольный.
    Поскольку [latex]\dfrac{{\alpha }_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\alpha }_{1}} = \dfrac{{\beta}_{1}}{\dfrac{\pi}{2}-{\beta}_{1}}[/latex], то [latex]{\alpha }_{1}={\beta}_{1}.[/latex]
    Значит, [latex]CD=CE, \Delta CDB=\Delta CEA, CB=CA.[/latex]
    Можно рассуждать и по-другому. Опишем около четырехугольника [latex]CDEO[/latex], где [latex]O[/latex] — точка пересечения [latex]AE[/latex] и [latex]BD[/latex], окружность. Из равенства условия следует, что точка [latex]D[/latex] делит полуокружность [latex]CDO[/latex] в том же отношении,
    null
    что точка [latex]E[/latex] — полуокружность [latex]CEO[/latex]. Значит, [latex]DO=OE, \angle DCO = \angle ECO.[/latex] Следовательно, [latex]\angle CAB = \angle CBA.[/latex]
  3. Обозначим [latex]k=\dfrac {{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} [/latex] (см.рисунок). Имеем:

    [latex]{\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=\pi — \gamma;, {\alpha }_{2}+{\beta}_{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\gamma}{2}.[/latex]
    Получили: [latex]{\alpha }_{1}+{\beta}_{1}=2({\alpha }_{2}+{\beta}_{2})=k{\alpha }_{2}+{\beta}_{2})[/latex]. Отсюда [latex]k=2.[/latex]
    Пусть биссектрисы углов [latex]CDE[/latex] и [latex]CED[/latex] пересекаются в точке [latex]{O}_{1}[/latex]. Так как [latex]\angle {O}_{1}DE={\alpha}_{2}, \angle {O}_{1}ED={\beta}_{2}[/latex], то [latex]O{O}_{1} \perp DE[/latex]. С другой стороны точки [latex]O[/latex] и [latex]{O}_{1}[/latex] лежат на биссектрисе угла [latex]C[/latex]. Значит, в треугольнике [latex]CDE[/latex] биссектриса угла [latex]C[/latex] совпадает с высотой, [latex]{\alpha }_{1}={\beta}_{1}, \angle CAE=\angle CBD[/latex], т.е. [latex]\angle A = \angle B.[/latex]

В.Сендеров